高考數(shù)學講義導數(shù)應用歸類解析(解韙策略)

1、導數(shù)應用歸類解析一、用于研究函數(shù)的三大性質(zhì)：單調(diào)性、極值、最值導數(shù)是研究函數(shù)問題的有力工具，主要應用于三個方面（設函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導）： （1）單調(diào)性判斷：如果，則單調(diào)遞增；如果，則單調(diào)遞減 （2）極值判斷：檢驗使的點左右值的符號，左正右負為極大值，左負右正為極小值 （3）閉區(qū)間最值判斷：先求出其開區(qū)間上的極值，再與端點的函數(shù)值比較即可求解應注意有時以逆向題形式給出，即已知以上的性質(zhì)，求參數(shù)的值或范圍例1（2005年北京卷）已知函數(shù)（）求的單調(diào)減區(qū)間；（）若在區(qū)間上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值分析：本題主要研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，運用導數(shù)可輕易獲解解：（）令，解得，或所以函數(shù)的單調(diào)

2、遞減區(qū)間為（）因為，所以因為在上，所以在上單調(diào)遞增，又由于在上單調(diào)遞減，因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值于是有，解得故因此評注：運用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法簡單，避免了運用定義時繁雜的運算及高難度變形技巧例2（2005年全國卷）設為實數(shù)，函數(shù)（）求的極值（）當在什么范圍內(nèi)取值時，曲線與軸僅有一個交點解：（） 若，則，或當變化時，變化情況如下表：的極大值是，極小值是（）函數(shù)由此可知，取足夠大的正數(shù)時，有，取足夠小的負數(shù)時，有，所以曲線與軸至少有一個交點結合的單調(diào)性可知：當?shù)臉O大值，即時，它的極小值也小于0，因此曲線與軸僅有一個交點，它在上當?shù)臉O小值，即時，它的極大值也大于0，因此曲線與軸僅

3、有一個交點，結合的單調(diào)性可知：當?shù)臉O大值，即時，它的極小值也小于0，因此曲線與軸僅有一個交點，它在上當?shù)臉O小值，即時，它的極大值也大于0，因此曲線與軸僅有一個交點，它在上當時，曲線與軸僅有一個交點二、用于解決不等式問題主要是指運用導數(shù)求解不等式，比較大小，證明不等式等下面以比較大小為例加以說明例3（1）（2005年全國卷）若，則（） （2）（2005年湖北卷）若，則與的大小關系（） 與的取值有關解：（1）設，令，得又，故通過模擬函數(shù)的圖象，得，故選（2）令，則，又，故有，即曲線上切線斜率范圍為，而直線斜率為2，故選評注：對于（1）比較大小是利用單調(diào)性，關鍵在于構造相應的函數(shù)，然后在相應區(qū)間上用

4、導數(shù)知識判斷其單調(diào)性而（2）比較大小運用構造相應的函數(shù)，運用幾何意義，即斜率法加以解決三、用于解決幾何問題例4（1）（2005年湖北文科卷）在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是（）3210（2）（2005年重慶文科卷）曲線在點處的切線與軸，直線所以圍成三角形的面積為解：（1）切線的傾斜角小于，則，且，即，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)為0個，選 （2）在點處的切線方程為，即作圖可知：評注：函數(shù)在點處導數(shù)的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，即例5（2005年全國卷文）用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)角，再焊

5、接而成（如圖），問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設容器的高為cm，容器的容積為則求的導數(shù)，得當時，那么是增函數(shù)；當時，那么是減函數(shù)因此，在定義域內(nèi)，函數(shù)只有當時取得最大值，其最大值為答：當容器的高為10cm時，容器的容積最大，最大容積是19600cm評注：這是一道實際生活中的最優(yōu)化問題，一般先建立目標函數(shù)，通過配湊變形轉(zhuǎn)化為符合二元或三元均值不等式的形式求最值，但配湊過程是一個難點，如果運用導數(shù)知識求目標函數(shù)的最值則使以上問題變得非常簡單可見，導數(shù)的引入開辟了求最值問題的新途徑四、研究函數(shù)的性質(zhì)導數(shù)是研究函數(shù)問題的有力工具，主要應用于三個方面（設函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導）

6、：（1）單調(diào)性判斷：如果，則單調(diào)遞增；如果，則單調(diào)遞減（2）極值判斷：檢驗使的點左右值的符號，左正右負為極大值，左負右正為極不值（3）閉區(qū)間最值判斷：先求出其開區(qū)間上的極值，再與端點的函數(shù)值比較即可求解應注意有時以逆向題形式給出，即已知以上的性質(zhì)，求參數(shù)的值或范圍例1已知函數(shù)（）求的單調(diào)減區(qū)間；（）若在區(qū)間上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值分析：本題主要研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，運用導數(shù)可輕易獲解解：（）令，解得，或所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）因為，所以因為在上，所以在上單調(diào)遞增，又由于在上單調(diào)遞減，因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值于是有，解得故因此即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為評注：運用導

7、數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法簡單，避免了運用定義時繁雜的運算及高難度變形技巧二、解決幾何問題例2曲線在點處的切線與軸，直線所圍成的三角形的面積為解：在點處的切線方程為，即作圖可知：評注：函數(shù)在點處導數(shù)的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，即三、解決不等式問題例3若，則（）解：設，令，得0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減又，故通過模擬函數(shù)的圖象，得，故選評注：本題通過構造函數(shù)，再借助導數(shù)來判斷所構造函數(shù)的單調(diào)性，準確、簡捷，不失為解決此類問題的好方法五、導數(shù)應用中的兩個誤區(qū) 導數(shù)的應用在高考中的位置越來越重要，每一套高考試題都有一個解答題。導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)中強有力的工具，特別在研究函數(shù)的單調(diào)性、最值方面有著

8、獨特的作用，但有兩個地方學生容易發(fā)生知識性的錯誤，下面歸納如下：一. 求曲線的切線的方程例1. 已知曲線y=求曲線在點P(1，1)的切線方程求曲線過點Q（1，0）的切線方程求滿足斜率為-的曲線的切線方程解：=-，又P（1，1）在曲線上P為切點，所求切線方程的斜率是k=-1，曲線在點P(1，1)的切線方程為y-1= -(x-1),即y=-x+2顯然Q（1，0）不在曲線上，則設過該點的切線的切點為A（a,）,該切線的斜率是k= -則切線方程是y-= -(x-a) 將點Q（1，0）代入方程得：0-= -(1-a)解得a=,故切線方程為y=-4x+4設切點為B（b,）則切線的斜率為k= -= - ,解

9、得a=, B（,）或(-,- ),所以所求的切線方程是y-=-(x-)或y+=-(x+)即x+3y-2=0或x+3y+2=0總結：求切線方程時應該注意判斷已知點是否在曲線上，這一點容易忽略。點不在曲線上，而按在曲線上求，就會背道而馳。無論點是否在曲線上方法是一樣的，先求函數(shù)的導數(shù)由切點（或設切點）求切線斜率，然后寫出點斜式方程。二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2.已知函數(shù)=-ax-1。 (1).若a0，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2).若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a取值范圍；(3).是否存在實數(shù)a，使在（-1，1）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍，若不存在說明理由。解：. 由已知=3-a,令0，則3（）（

10、）0,解不等式，可得 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.在上是單調(diào)增函數(shù)，=3-a0在上恒成立。即a3對xR恒成立.30, 只需a0,又a=0時，=30，=-1在R上單調(diào)遞增，a0.由=3-a0在（-1，1）上恒成立,得：a3，x（-1，1）恒成立-1<x<1, 3<3, 只需a3當a=3時=3（-1）在x（-1，1）上，<0,即在x（-1，1）上為減函數(shù)， a3.故存在實數(shù)a3，使在（-1，1）上單調(diào)遞減.總結：1 方法對比：求函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需>0；求單調(diào)遞減區(qū)間時，只需0。 若函數(shù)在某個區(qū)間單調(diào)遞增，則0；在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則0.2 對比分析: 0，（

11、或0）是函數(shù)在某個區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分條件，而在區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充要條件是0（或0）。因為在上不排除有一個或幾個點=0，端點處的導數(shù)也可能是0，當然不能恒等0，即f(x)是常數(shù)函數(shù)，因此，在知道函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時，應該取0（0）。然后再轉(zhuǎn)化成恒成立問題解決，檢驗解出的參數(shù)是否=0恒成立，若恒成立，舍去。例2. 若=在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+）為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍。分析：這樣的問題，學生容易得到的錯誤。原因是混淆了題目類型，若該題改為：若=在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（4，+）為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍。則。暴露出的問題是函數(shù)極值的概念理解得不透徹，掌握了問題的“形式”，沒有把握問題的“內(nèi)