估計的評價標(biāo)準(zhǔn)

1、第三節(jié)第三節(jié) 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)一、問題的提出一、問題的提出二、無偏性二、無偏性三、有效性三、有效性四、相合性四、相合性五、小結(jié)五、小結(jié)一、問題的提出一、問題的提出問題問題(1)對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好?(2)評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)是什么評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)是什么? 如如 XU(0,q q ) , q q 的矩法估計量為的矩法估計量為 ，X2 對于總體的參數(shù)，可用各種不同的方法去對于總體的參數(shù)，可用各種不同的方法去估計它，因此一個參數(shù)的估計量不唯一估計它，因此一個參數(shù)的估計量不唯一.max1iniX 極大似然估計量為極大似然估計量為q q定義

2、定義6.1 若參數(shù)若參數(shù)的估計量的估計量對一切對一切 n 及及 ，有，有),.,(21nXXXT q qnq q稱稱 為為的的q qq q ),.,()(21nnXXXTEE二、無偏性二、無偏性.1 , ,)1()(121的的無無偏偏估估計計階階總總體體矩矩是是階階樣樣本本矩矩總總體體服服從從什什么么分分布布論論的的一一個個樣樣本本，試試證證明明不不是是又又設(shè)設(shè)存存在在階階矩矩的的設(shè)設(shè)總總體體knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX 證證同分布，同分布，與與因為因為XXXXn,21)()(kkiXEXE 故故有有., 2 , 1,nik nikikXEnAE1)(1)(即即.k 例例6.

3、10. 的的無無偏偏估估計計階階總總體體矩矩是是階階樣樣本本矩矩故故kkkAk 特別的特別的:不論總體不論總體 X 服從什么分布服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在只要它的數(shù)學(xué)期望存在,證明證明 S2 是是2 的無偏估計量的無偏估計量 例例6.11 設(shè)總體的方差設(shè)總體的方差 D(X)=2 0，則樣本方，則樣本方差差S2 是是2的無偏估計的無偏估計.212122)()1(XnXXXSnniinii )()()(1)(2122XnEXESEnnii )()(22XnEXnE )()()()(22XEXDnXEXDn 222221)()()( nnnn.)(22 SE.),max(12, 0,0, 2

4、121的的無無偏偏估估計計都都是是和和的的樣樣本本，試試證證明明是是來來自自總總體體參參數(shù)數(shù)上上服服從從均均勻勻分分布布在在設(shè)設(shè)總總體體q qq qq qnnXXXnnXXXXXX 證證)(2)2(XEXE 因因為為)(2XE ,22q qq q . 2的無偏估計量的無偏估計量是是所以所以q qX的的概概率率密密度度為為因因為為),max( 21nhXXXX 其他其他, 0,0,)(1q qq qxnxxfnn例例6.12xnxxXEnnhd)(01 q qq q所所以以,1q q nn,1q q hXnnE故有故有.),max(121的的無無偏偏估估計計量量也也是是故故q qnXXXnn 由

5、以上兩例可知由以上兩例可知,一個參數(shù)可以有不同的無一個參數(shù)可以有不同的無偏估計量偏估計量.7 . 02 . 01 . 0. 4;. 3;. 2;. 1321211XXXXXXX ：已知總體：已知總體X的樣本的樣本X1, X2, X3,下列估下列估計量是否為總體均值計量是否為總體均值 的無偏估計量？的無偏估計量？哪個更好？哪個更好？參數(shù)的無偏估計量不惟一參數(shù)的無偏估計量不惟一.0)( q qq qE無偏估計只能保證估計無系統(tǒng)誤差：無偏估計只能保證估計無系統(tǒng)誤差：三、有效性三、有效性 希望的取值在希望的取值在及其附近越密集越好，及其附近越密集越好，q q其方差應(yīng)盡量小其方差應(yīng)盡量小.都是未知參數(shù)都

6、是未知參數(shù)的無偏估計量的無偏估計量, ,若若 q qq qq q),()(21DD).(21優(yōu)效優(yōu)效有效有效比比稱稱q qq q),.,(211nXXXq q設(shè)設(shè)),.,(212nXXXq q和和定義定義6.2 q qq qq q),()(0DD0q q稱稱 為為的最小方差無偏估計量的最小方差無偏估計量. .0q qq q 設(shè)設(shè) 是是的無偏估計，如果對的無偏估計，如果對的任何一個的任何一個無偏估計量無偏估計量 都有都有 和和S2 分別是分別是 和和 2 的最小方差無偏估計的最小方差無偏估計X 無偏性：反映估計量相對待估參數(shù)有無系無偏性：反映估計量相對待估參數(shù)有無系統(tǒng)偏差統(tǒng)偏差. 有效性：在無偏

7、類中反映估計量相對待估有效性：在無偏類中反映估計量相對待估參數(shù)的偏離程度參數(shù)的偏離程度. 問題問題：在：在“偏差性偏差性”和和“離散性離散性”兩者兩者兼顧的原則下建立估計量為兼顧的原則下建立估計量為“最優(yōu)最優(yōu)”準(zhǔn)則準(zhǔn)則.四、相合性四、相合性 定義定義6.3 設(shè)設(shè) 是未知參數(shù)是未知參數(shù)的的估計量，若對任意的估計量，若對任意的0，有，有),.,(21nnXXXq qq q 1lim q qq qnnPq q則稱則稱 為為的的 例例6.15 設(shè)總體設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望存在的數(shù)學(xué)期望存在, 估計量估計量 ,是是=E(X)的無偏、相合估計量的無偏、相合估計量.X 證證 樣本構(gòu)成的隨機變量序列樣本構(gòu)成的隨機

8、變量序列X1，X2，Xn, 相互獨立同分布，服從切比雪夫大數(shù)定相互獨立同分布，服從切比雪夫大數(shù)定理，對任給的理，對任給的0，有，有)(lim XEXPn0)(1lim1 XEXnPniin即即 為為E(X) 的相合估計量的相合估計量.X 例例 設(shè)總體設(shè)總體X的的k階原點矩階原點矩E(Xk)存在存在, 證明樣證明樣k階階原點矩原點矩 是其無偏、相合估計量是其無偏、相合估計量. nikiXn11證證 樣本構(gòu)成的隨機變量序列樣本構(gòu)成的隨機變量序列X1,X2,Xn, 相互獨立同分布，相互獨立同分布，服從辛欽大數(shù)定理，對任給的服從辛欽大數(shù)定理，對任給的0，有，有)()(, 2 , 1,kkikiXEXEiX 相互獨立同分布相互獨立同分布)()(1111knikinikiXEXEnXnE 1 )(1lim1 knikinXEXnP或者或者0)(lim1 knikinXEXP五、小結(jié)五、小結(jié)估計量的評選的三個標(biāo)準(zhǔn)估計量的評選的三個標(biāo)準(zhǔn) 無偏性無偏性有效性有效性相合性相合性 相合性是對估計量的一個基本要求相合性是對估計量的一個基本要求, 不具備不具備相合性的估計量是不予以考慮的相合性的估計量是不予以考慮的. 由最大似然估計法得到的估計量由最大似然估計法得到的估計量, 在一定條在一定條件下也