條件極值問(wèn)題與Lagrange乘數(shù)法

1、12.7 條件極值問(wèn)題條件極值問(wèn)題與與LagrangeLagrange乘數(shù)法乘數(shù)法光的折射問(wèn)題光的折射問(wèn)題空氣空氣水水ABabc問(wèn)：光線沿何路徑由光線沿何路徑由A A到到B B？物理：光線依時(shí)間最短路線行進(jìn)！物理：光線依時(shí)間最短路線行進(jìn)！C12coscosabtvv求求t t的最小值！的最小值！tantanabc條件極值條件極值以前討論的極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制，以前討論的極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制，xyyzxzS )(2有時(shí)，除受自變量定義域限制外有時(shí)，除受自變量定義域限制外, 還受到其他的限制還受到其他的限制.例如，要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為例如，要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為 V V 的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱

2、，試的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱，試問(wèn)水箱的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其表面積最??？問(wèn)水箱的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其表面積最??？為此，設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為為此，設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為 x , y , z , , 則表面積為則表面積為依題意，上述的長(zhǎng)、寬、高不僅要符合定義域的要依題意，上述的長(zhǎng)、寬、高不僅要符合定義域的要求：求： x x 0 , 0 , y y 0, 0, z z 0, 0, 而且還須滿足條件而且還須滿足條件Vxyz 這類(lèi)附有約束條件的極值問(wèn)題稱(chēng)為這類(lèi)附有約束條件的極值問(wèn)題稱(chēng)為條件極值條件極值. 條件極值問(wèn)題的一般形式條件極值問(wèn)題的一般形式是等式約束：即在條件組：是等式約束：即在條件組：)

3、(, 2, 1, 0),(21nmmkxxxnk 的限制下，求的限制下，求目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)),(21nxxxfy 的極值的極值.2()Sxzyzxy求的極值xyzV條件：條件極值的一種求解方法是條件極值的一種求解方法是代入法代入法. 例如，在上述例子中，由條件例如，在上述例子中，由條件Vxyz 解出解出xyVz 代入目標(biāo)函數(shù)中，代入目標(biāo)函數(shù)中，xyxyVS )11(2然后求這個(gè)函數(shù)的無(wú)條件極值然后求這個(gè)函數(shù)的無(wú)條件極值.xyyzxzS )(2得到得到思路思路：將條件極值化為無(wú)條件極值！：將條件極值化為無(wú)條件極值！條件極值的幾何解釋然而在一般情形下，這種方法往往是行然而在一般情形下，這種方法往往

4、是行不通的，因不通的，因?yàn)橐獜臈l件組為要從條件組 下面介紹的下面介紹的拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法是求條件極是求條件極值的一種有效方法值的一種有效方法. .解出解出 m 個(gè)變?cè)３Ｊ遣豢赡艿膫€(gè)變?cè)３Ｊ遣豢赡艿? )(, 2, 1, 0),(21nmmkxxxnk 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法,0),(下下在在條條件件 yx 則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題的極值問(wèn)題, 由極值的必要條件，知極值點(diǎn)由極值的必要條件，知極值點(diǎn) x0 必滿足必滿足設(shè)設(shè) 記記.),(的的極極值值求求函函數(shù)數(shù)yxfz 0),( yx , )(xgy )()(,(xhxgxfz

5、0)(),(),()(000000 xgyxfyxfxhyx,yxg 0 yxyxff 故有故有 因因yyxxff 即即yyxxff 引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù)L 稱(chēng)為稱(chēng)為拉格朗日拉格朗日( Lagrange )函數(shù)函數(shù).0 xxxfL 0 yyyfL 0),( yxL 利用拉格利用拉格 極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足0 xxf 0 yyf 0),( yx 則極值點(diǎn)滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱(chēng)為朗日函數(shù)求極值的方法稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.),(),(),(yxyxfyxL 想法想法：把上面的條件極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一般極值點(diǎn)問(wèn)題：把上面的條件極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一般極值點(diǎn)問(wèn)題構(gòu)造

6、一個(gè)函數(shù)使得其極值點(diǎn)就是上面函數(shù)的條件極值點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)使得其極值點(diǎn)就是上面函數(shù)的條件極值點(diǎn)1. 作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù)0 xxxfL 0 yyyfL 0),( yxL 利用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)利用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)),(),(),(yxyxfyxL 0),( yx ),(yxfz 在條件在條件下的極值步驟如下：下的極值步驟如下：2. 求拉格朗日函數(shù)的極值求拉格朗日函數(shù)的極值先求解拉格朗日函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的方程組：先求解拉格朗日函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的方程組：再考察再考察駐駐點(diǎn)點(diǎn)是否是是否是極值點(diǎn)極值點(diǎn)拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件

7、的情形件的情形. 設(shè)設(shè)解方程組解方程組例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.在條件在條件),(zyxfu ,0),( zyx 0),( zyx ),(),(),(),(2121zyxzyxzyxfzyxL 021 xxxxfL 021 yyyyfL 021 zzzzfL 0),(1 zyxL 0),(2 zyxL 可得到條件極值的可疑點(diǎn)可得到條件極值的可疑點(diǎn) . . 例例. .要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為 V V 的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱, , 問(wèn)問(wèn) 求求 x , y , z令令解方程組解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高分別表示長(zhǎng)、寬、高, 下水箱表面

8、積下水箱表面積最小最小.使在條件使在條件 xL02 zyyz yL02 zxxz zL0)(2 yxyx L0 Vzyx水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？Vzyx yxzyzxS )(2)()(2VzyxyxzyzxL 0)1)( zxy 得得, 01 z 若若于是于是,1 z代入式得代入式得, 02 不合題意不合題意.若若,xy 代入式得代入式得,4 xy代入式得代入式得,42 zxy代入式得代入式得324V 得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn),223Vzyx 324V 由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，

9、所用材料最省倍時(shí)，所用材料最省.因此因此 , 當(dāng)高為當(dāng)高為,43V思考思考:當(dāng)水箱封閉時(shí)當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用利用對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性可知可知,3Vzyx 2()()LxzyzxyxyzV例例.拋物面拋物面這個(gè)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是求函數(shù)這個(gè)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是求函數(shù)解解 zyx 22被平面被平面1 zyx求這個(gè)橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)與最短距離求這個(gè)橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)與最短距離.截成一個(gè)橢圓截成一個(gè)橢圓. 222),(zyxzyxf , 022 zyx01 zyx在條件在條件下的最大值、最小值問(wèn)題下的最大值、最小值問(wèn)題. 應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日

10、函數(shù)作拉格朗日函數(shù)222),(zyxzyxL )1()(22 zyxzyx 令令 L 的一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零，則有的一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零，則有 xL022 xx yL022 yy zL02 z L022 zyx L01 zyx 得得(22 )()0 xy1如 ，0則 ，1z2從而 不合題意，舍去；yx 則則代入式后，再將代入代入式后，再將代入得得01222 xx解得解得,231 xy,32 z這就是拉格朗日函數(shù)的這就是拉格朗日函數(shù)的駐駐點(diǎn)，由于點(diǎn)，由于 f 在有界閉集在有界閉集,3353 ,33117 上連續(xù)，故所求問(wèn)題存在最大值與最小值上連續(xù)，故所求問(wèn)題存在最大值與最小值. 1,| ),(22

11、zyxzyxzyx計(jì)算計(jì)算,359 得得所以該橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為所以該橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為最短距離最短距離 ,359 .359 )32,231,231( f,359 得：得：計(jì)算計(jì)算1313(, 23)22f 例例 試求函數(shù)試求函數(shù) 111( , , )(0,0,0)f x y zxyzxyz3(0)xyzaa在條件在條件 下的最小值下的最小值, 并由此導(dǎo)出相并由此導(dǎo)出相 應(yīng)的不等式應(yīng)的不等式. 解解 設(shè)設(shè) 3111(),Lxyzaxyz 222310,10,10,0.xyzLxyzLyxzLzxyLxyza 并使并使由此方程組易得由此方程組易得 ,( , , )3.xyzaf a a

12、aa并有并有下面給出下面給出3 a是條件最小值的理由是條件最小值的理由. 3:.( , , ),0,Sxyzax y zSxy記當(dāng)且或記當(dāng)且或(02),( , , ),0, 0ax y zSxy當(dāng)且當(dāng)且, 0,z時(shí) 使得時(shí) 使得( , , )3.f x y za 0,0,z 時(shí)時(shí)或或( , , ).f x y z 都使得都使得 故存在故存在 1( , , ) ( , , ),.Sx y zx y zS xyz又設(shè)又設(shè) 1Sff由于由于 為一有界閉集為一有界閉集, 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 因此因此 在在 1S1SS1S 上存在最大值和最小值上存在最大值和最小值. 而在而在 及及 上上, 1( ,

13、 , )( , , )min( , , )min( , , )3.x y zSx y zSf x y zf x y za3,a1Sf 的值已大于的值已大于 故故 f 在在 S 上的最小值必在上的最小值必在 1S( , , ),a a a的內(nèi)部取得的內(nèi)部取得. 又因又因 內(nèi)部只有惟一可疑點(diǎn)內(nèi)部只有惟一可疑點(diǎn) 所以必定有所以必定有 1113, ( , , )x y zSxyza最后最后, 在不等式在不等式 中中, 用用 代入代入, 就得到一個(gè)新的不等式就得到一個(gè)新的不等式: 3axyz 31113,0,0,0.xyzxyzxyz經(jīng)整理后經(jīng)整理后, , 就是就是 “調(diào)和平均不大于幾何平均調(diào)和平均不大于幾何平均” 這個(gè)這個(gè)著名的不等式著名的不等式: :131113,0,0,0 .xyzxyzxyz 注 意 應(yīng)用應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法求解條件極值問(wèn)題，乘數(shù)法求解條件極值問(wèn)題，產(chǎn)生的方程組變量個(gè)數(shù)可能比較大，似乎產(chǎn)生的方程組變量個(gè)數(shù)可能比較大，似乎解這個(gè)方程組往往是很困難的。但注意我解這個(gè)方程組往往是很困難的。但注意我們可以利用變量之間的關(guān)系（也就是