十二--全等三角形的常用輔助線作法完美版本(備用版本)(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十二講全等三角形的常用輔助線作法【知識(shí)梳理】：1、找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。2、三角形中常見(jiàn)輔助線的作法：延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。3、常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維

2、模式是全等變換中的“對(duì)折”?！緦ｎ}精講】：例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。矚慫潤(rùn)厲釤瘞睞櫪廡賴。思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)橛蠦D平分ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來(lái)。聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛(ài)氌譴凈。解答過(guò)程： （2）若遇到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟。例2：如圖，已知

3、ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。 思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)。2）解題思路：在證明三角形的問(wèn)題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長(zhǎng)AD得全等三角形，從而問(wèn)題得證。彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。解答過(guò)程：   （3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或

4、逆定理。謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔。例3：已知，如圖，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD。求證：B+ADC=180°。思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路：因?yàn)锳C是BAD的平分線，所以可過(guò)點(diǎn)C作BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明三角形全等解決問(wèn)題。廈礴懇蹣駢時(shí)盡繼價(jià)騷。解答過(guò)程：解題后的思考：關(guān)于角平行線的問(wèn)題，常用兩種輔助線；見(jiàn)中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。 （4）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚。例4：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC

5、延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。鵝婭盡損鵪慘歷蘢鴛賴。  求證：DE=DF。思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形DEB與DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過(guò)添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過(guò)E作EG/CF，構(gòu)造中心對(duì)稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問(wèn)題得以解決?；[叢媽羥為贍僨蟶練淨(jìng)。解答過(guò)程：解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：例5：ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q

6、，求證：AB+BP=BQ+AQ。預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢(shì)較為復(fù)雜，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^(guò)O作BC的平行線。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦。解答過(guò)程：                 

7、0;   解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過(guò)O作ODBC交AC于D，則ADOABO從而得以解決。如圖（5），過(guò)P作PDBQ交AC于D，則ABPADP從而得以解決。小結(jié)：通過(guò)一題的多種輔助線添加方法，體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。鐃

8、誅臥瀉噦圣騁貺頂廡。 （5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。例6：如圖甲，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求證：CD=AD+BC。思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法。2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問(wèn)題，從而

9、達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的。贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷。解答過(guò)程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。1）對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。壇摶鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。蠟變黲癟報(bào)倀鉉錨鈰贅?！菊n后作業(yè)】：溫馨提示：這幾道題一定要認(rèn)真思考啊，都是要添加輔助線的，開(kāi)動(dòng)腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！1、已知，如圖1，在四邊形AB