高階導數(shù)的計算

1、高階導數(shù)的計算一、 高階導數(shù)定義定義（二階導數(shù)） 若函數(shù)的導函數(shù)在點可導，則稱在點的導數(shù)為在點的二階導數(shù)，記作，即，此時稱在點二階可導。 如果在區(qū)間I上每一點都二階可導，則得到一個定義在I上的二階可導函數(shù)，記作，或記作，。函數(shù)的二階導數(shù)一般仍舊是的函數(shù)。如果對它再求導數(shù)，如果導數(shù)存在的話，稱之為函數(shù)的三階導數(shù)，記為，或。函數(shù)的階導數(shù)的導數(shù)稱為函數(shù)的階導數(shù)，記為，或。相應(yīng)地，在的階導數(shù)記為： ，。二階及二階以上的導數(shù)都稱為高階導數(shù)。1 。 2 ， （Leibniz公式）其中，。注 將Leibniz公式與二項式展開作一比較可見：。（這里 ），在形式上二者有相似之處。（6）幾個初等函數(shù)的階導數(shù)公式；

2、 ；（4），（5）特別的，當時，有.（7）參數(shù)方程的高階導數(shù)求導法則設(shè)，均二階可導，且，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導數(shù)： ， .這里一定要注意，在求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)時，是中間變量，而符號表示對求二次導數(shù)，因此. 例1 （1）已知，求（2）已知，求解：（1）， （2），.例2 求函數(shù)的階導數(shù)解：，顯然對任意正整數(shù)，有例3 求的階導數(shù)。解 ，.同理可得 。求節(jié)導數(shù)，通常的方法是求一階導數(shù)、二階導數(shù)、三階導數(shù)、四階導數(shù)，然后仔細觀察得出規(guī)律，歸納出階導數(shù)的表達式，因此，求階導數(shù)的關(guān)鍵在于從各階導數(shù)中尋找共同的規(guī)律。例4 求函數(shù)的階導數(shù)解：，一般地，對任意正整數(shù)有例5 求次多項式的各階

3、導數(shù).解 這就是說，次多項式的一切高于階的導數(shù)都為0.例6 已知 求.解 兩端對求導，得 ，整理得 ，故 ，上式兩端再對求導，得=，將 代入上式，得.注意 在對隱函數(shù)求二階導數(shù)時，要將的表達式代入中，注意，在的最后表達式中，切不能出現(xiàn).例7 求方程所確定的函數(shù)的一階導數(shù)及二階導數(shù)。解 。例8 已知作直線運動物體的運動方程為，求在時物體運動速度和加速度。解 ，所以有，。二階導數(shù)1.設(shè)，其中為二階可導函數(shù)，則（ ）.A、； B、；C、； D、.2、設(shè)，其中為可微函數(shù)，則（ ）.A、； B、；C、； D、.3.設(shè)，則（ ）.A、； B、； C、2； D、.4、設(shè)，則（ ）.A、； B、； C、； D、.5.，其中是的函數(shù)，則.6.設(shè)，則.7、試求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù).8、設(shè)，求，； 10證明函數(shù)滿足關(guān)系式；11、 已知函數(shù)，求12、，求。解： 高階導數(shù)1、設(shè)，則（ ）.A、； B、； C、； D、.2、，則.4設(shè)，求。5設(shè)，求。6、，求各階導數(shù)。7、設(shè)的階導數(shù).8、設(shè), 求.二階導數(shù)1、C；2、D；5、；6、；7、解： 方程兩邊同時對求導，得 . 8、解： 9、12、解： ， ，