算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性的深度解析(發(fā)表于《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》)(共4頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性的深度解析 江蘇海安紫石中學(xué) 黃本華 .算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性。一是被開(kāi)方數(shù)具有非負(fù)性，即。二是算術(shù)平方根本身具有非負(fù)性，即。算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性還有兩個(gè)特征，一是兼容性，容易與其它知識(shí)點(diǎn)組合成有一定分值的綜合題，而雙重非負(fù)性往往是解題的切入點(diǎn)，更是解題的關(guān)鍵。二是隱含性，如果不仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析，要么就無(wú)從下手要么造成多解或漏解。因此算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性是歷年中考的熱點(diǎn)。只有深度研究算術(shù)平方根的這兩個(gè)非負(fù)性，我們解題時(shí)才能居高臨下，游刃有余。一、確定字母的取值范圍例1（中考題改編）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求的值分析：如何去絕對(duì)值？如何去根號(hào)？如何

2、確定a的范圍?分析的時(shí)候不斷地給自己提一些小問(wèn)題，就會(huì)逐漸地挖掘出此題的切入點(diǎn)！那就是隱含條件：被開(kāi)方數(shù)?！窘獯稹?，【評(píng)注】不要求去求字母的取值范圍，而又必須求字母的取值范圍，這就是被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)的隱含性，挖掘出這個(gè)隱含性，就是解題的關(guān)鍵。【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)。【提示】貌似與例題風(fēng)馬牛不相及，實(shí)質(zhì)相同。 二、確定最大值或最小值例2 （2017寧波）當(dāng)x取時(shí)，的值最小，最小值是；當(dāng)x取時(shí)，2的值最大，最大值是【分析】依據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性可知當(dāng)10+2x=0時(shí)，的值最小，當(dāng)5x=0時(shí)，2的值最大【解答】當(dāng)10+2x=0時(shí)，的值最小，解得x=5，此時(shí)的最小值為0當(dāng)5x=0時(shí)，即x=5時(shí)，=0，此時(shí)2

3、的值最大，最大值是2【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握算術(shù)平方根的非負(fù)性是解本題的關(guān)鍵【變式】（2017 寧都）設(shè)a，b是不小于3的實(shí)數(shù)，則+|2|的最小值是 【提示】分別求出和|2|的最小值即可。三、求字母的值例3 （2016扶溝縣）王老師給同學(xué)們布置了這樣一道習(xí)題：一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為2m6，它的平方根為±（m2），求這個(gè)數(shù)小張的解法如下：依題意可知，2m6是m2或者是（m2）兩數(shù)中的一個(gè)（1）當(dāng)2m6=m2，解得m=4（2）（2m6）=（2×46）=2（3）這個(gè)數(shù)為4當(dāng)2m6=（m2）時(shí)，解得m=（4） （2m6）=（2×6）=（5）這個(gè)數(shù)為綜上可得，這個(gè)數(shù)為4或（6）王老師

4、看后說(shuō)，小張的解法是錯(cuò)誤的你知道小張錯(cuò)在哪里嗎？為什么？請(qǐng)予改正?！痉治觥啃埖慕夥菜坪苋?，錯(cuò)在哪里呢？仔細(xì)審題，發(fā)現(xiàn)2m6是算術(shù)平方根。由算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)可知2m60，因此要對(duì)求得的m的值作出取舍【解答】2m6是某數(shù)的算術(shù)平方根，2m60解得：m3當(dāng)m=不符合題意應(yīng)舍去故答案為：這個(gè)數(shù)為4【點(diǎn)評(píng)】本題若直接給出這個(gè)題目：一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為2m6，它的平方根為±（m2），求這個(gè)數(shù)很多同學(xué)就會(huì)因不注意算術(shù)平方根的非負(fù)性而造成多解。【變式訓(xùn)練】（2016秋資中縣月考）一天，楊老師給同學(xué)們布置了這樣一道習(xí)題：一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為m-6，它的平方根為，求這個(gè)數(shù)。例4 如果y=+3，

5、試求2x+y的值【分析】觀察到被開(kāi)方數(shù)和互為相反數(shù)，而它們又必須都大于等于0，所以它們必須都為0。從而求出的值。【解答】由題意得，解得，所以，所以，【評(píng)注】：如果一條題目中出現(xiàn)的兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)數(shù)都為0。即若題目中同時(shí)出現(xiàn)和，則。【變式訓(xùn)練】已知a、b為實(shí)數(shù)，且+2=b+4，則ab= 【提示】例5 已知：=0，求：代數(shù)式的值【分析】右邊為0，左邊分子是兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和，所以這兩個(gè)非負(fù)數(shù)都必須為0同時(shí)必須注意分母的，既是被開(kāi)方數(shù)，又在分母上，故，這樣避免多解?！窘獯稹拷?=2【評(píng)注】根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0是解決本題的關(guān)鍵而被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性，則可以避

6、免 避免多解?！咀兪接?xùn)練】已知與|2x3|互為相反數(shù)求x+y的平方根【提示】互為相反數(shù)兩數(shù)相加得0例6 (2016 南通)已知a，b為實(shí)數(shù)，且（b1）=0，求的值【分析】有邊為0，而左邊不是和的形式，怎么辦？挖掘出隱含條件被開(kāi)方數(shù)，可把等式變形為+（1b）=0，再根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)和的性質(zhì)得到1+a=0，1b=0，解得a=1，b=1，于是問(wèn)題迎刃而解【解答】 （b1）=0，+（1b）=0，1b0，1+a=0，1b=0，解得a=1，b=1，【評(píng)注】本題需同時(shí)考慮算術(shù)平方根的雙重非負(fù)數(shù)的性質(zhì)。算術(shù)平方根具有非負(fù)性，非負(fù)數(shù)之和等于0則各項(xiàng)都等于0這兩個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，而被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性則是解決此題的突破口。例7 （原創(chuàng)）計(jì)算【分析】本題猛一瞅，無(wú)從下手。仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)最后一項(xiàng)的被開(kāi)方數(shù)是，這是一個(gè)非正數(shù)，而被開(kāi)方數(shù)又必須是非負(fù)數(shù)，從而必有。從而迎刃而解?！窘獯稹坑深}意得，又，原式= 【評(píng)注】題目中出現(xiàn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)敏銳地發(fā)現(xiàn)【變式訓(xùn)練】（中考題改編）化簡(jiǎn)四、比較大小例8 （原創(chuàng)）比較與的大小?！痉治觥勘绢}貌似無(wú)從下手，想分類(lèi)討論又感覺(jué)太繁。其實(shí)根據(jù)被開(kāi)方數(shù)非負(fù)的性質(zhì)，可以得到x的范圍：。再由平方根的非負(fù)性得到，由可得?！窘獯稹浚?/p>