北師大版七年級數(shù)學下冊知識點梳理

1、七年級數(shù)學（下）重要知識點總結第一章：整式的運算一、概念1、代數(shù)式：2、單項式:由數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項式。單項式不含加減運算，分母中不含字母。3、多項式:幾個單項式的和叫做多項式。多項式含加減運算。4、整式:單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。二、公式、法則：（1）同底數(shù)冪的乘法：aman=am+n（同底，冪乘，指加）逆用： am+n =aman（指加，冪乘，同底）（2）同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n（a0）。（同底，冪除，指減）逆用：am-n = am÷an（a0）（指減，冪除，同底）（3）冪的乘方：（am）n =amn（底數(shù)不變，指數(shù)相乘）逆用：amn =（am

2、）n（4）積的乘方：（ab）n=anbn 推廣：逆用， anbn =（ab）n（當ab=1或-1時常逆用）（5）零指數(shù)冪：a0=1（注意考底數(shù)范圍a0）。（6）負指數(shù)冪：(底倒，指反)（7）單項式與多項式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc。（8）多項式與多項式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。（9）平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 公式特點：（有一項完全相同，另一項只有符號不同，結果= 推廣（項數(shù)變化）：連用變化：（10）完全平方公式： 逆用：完全平方公式變形（知二求一）： 完全平方和公式中間項=完全平方差公式中間項=完全平方公式中間項=例如：是一個完全平方

3、和公式，則= ；是一個完全平方差公式，則= ；是一個完全平方公式，則= ；（11）多項式除以單項式的法則:（12）常用變形：第二章平行線與相交線一、余角與補角1、如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱為互余，稱其中一個角是另一個角的余角。2、如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角，簡稱為互補，稱其中一個角是另一個角的補角。3、余角和補角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等。二、對頂角1、兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角是對頂角。2、一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。3、對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。三、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

4、1、兩條直線被第三條直線所截，形成了8個角。2、同位角：兩個角都在兩條直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫做同位角。3、內(nèi)錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。4、同旁內(nèi)角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫同旁內(nèi)角。四、平行線的判定方法1、同位角相等，兩直線平行。 2、內(nèi)錯角相等，兩直線平行。3、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。4、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。（簡稱為：平行于同一直線的兩直線平行）5、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條

5、直線平行（簡稱為：垂直于同一直線的兩直線平行）平行線的性質(zhì) 1、兩直線平行，同位角相等。 2、兩直線平行，內(nèi)錯角相等。3、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。尺規(guī)作線段和角1、在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。2、尺規(guī)作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。第三章生活中的數(shù)據(jù)一、單位換算 1、長度單位：（1）百萬分之一米又稱微米，即1微米=10-6米。（2）10億分之一米又稱納米，即1納米=10-9米。（3）1微米=103納米。（4）1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109納米。2、面積單位：（1）10-6千米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米

6、2=1012微米2=1018納米2。3、質(zhì)量單位（1）1噸=103千克=106克。二、科學計數(shù)法1、用科學計數(shù)法表示絕對值小于1的較小數(shù)據(jù)時，可以表示為a×10n的形式，其中1a<10,n為負整數(shù)，例如：2、用科學計數(shù)法表示絕對值較大數(shù)據(jù)時，可以表示為a×10n的形式，其中1a<10,n為正整數(shù)，例如：三、近似數(shù)與精確數(shù)例如：考范圍題目：近似數(shù)X=2.8,則X的范圍是 近似數(shù)X=4.0,則X的范圍是 （規(guī)律：左邊為最后一位數(shù)字減5，且有等號，右邊為最后一位數(shù)字后面多寫一個數(shù)字5，且沒有等號）四、有效數(shù)字 1、對于一個近似數(shù)，從左邊第一個不為零的數(shù)字起，到精確到的

7、數(shù)位為止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字。2、對于科學計數(shù)法型的近似數(shù)，由a×10n（1a<10）中的a來確定，a的有效數(shù)字就是這個近似數(shù)的有效數(shù)字。與×10n無關。五、近似數(shù)的精確度1、近似數(shù)的精確度是近似數(shù)精確的程度。2、近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。3、精確度是由該近似數(shù)的最后一位有效數(shù)字在該數(shù)中所處的位置決定的。例如：2.10萬精確到 位，有效數(shù)字 個，分別是 精確到 位，有效數(shù)字 個，分別是 六、統(tǒng)計圖（表） 1、條形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出每個項目的具體數(shù)目。2、折線統(tǒng)計圖：能清楚地反映事物的變化情況。3、扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部

8、分在總體中所占的百分比。4、象形統(tǒng)計圖：能直觀地反映數(shù)據(jù)之間的意義。第四章概率 一、事件: 1、事件分為必然事件、不可能事件、不確定事件。2、必然事件：事先就能肯定一定會發(fā)生的事件。也就是指該事件每次一定發(fā)生，不可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能是100%（或1）。3、不可能事件：事先就能肯定一定不會發(fā)生的事件。也就是指該事件每次都完全沒有機會發(fā)生，即發(fā)生的可能性為零。4、不確定事件：事先無法肯定會不會發(fā)生的事件，也就是說該事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能性在0和1之間。二、等可能性：是指幾種事件發(fā)生的可能性相等。1、概率：是反映事件發(fā)生的可能性的大小的量，它是一個比例數(shù)，一般用P來表示，P（A

9、）=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)/所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)。2、必然事件發(fā)生的概率為1，記作P（必然事件）=1；3、不可能事件發(fā)生的概率為0，記作P（不可能事件）=0；4、不確定事件發(fā)生的概率在01之間，記作0<P（不確定事件）<1。5、概率的計算：（1）直接數(shù)數(shù)法：即直接數(shù)出所有可能出現(xiàn)的結果的總數(shù)n，再數(shù)出事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)m，利用概率公式直接得出事件A的概率。（2）對于較復雜的 題目，我們可采用“列表法”或畫“樹狀圖法”。四、幾何概率1、事件A發(fā)生的概率等于此事件A發(fā)生的可能結果所組成的面積（用SA表示）除以所有可能結果組成圖形的面積（用S全表示），所以幾何概率公式可表示為P（A）

10、=SA/S全，這是因為事件發(fā)生在每個單位面積上的概率是相同的。2、求幾何概率：（1）首先分析事件所占的面積與總面積的關系；（2）然后計算出各部分的面積；（3）最后代入公式求出幾何概率。第五章三角形一、1、不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，稱為三角形，可以用符號“”表示。2、頂點是A、B、C的三角形，記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。3、組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，即邊AB、BC、AC，有時也用a，b，c來表示，頂點A所對的邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b，c來表示；4、A、B、C為ABC的三個內(nèi)角。二、三角形中三邊的關系1、三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三

11、邊，任意兩邊之差小于第三邊。用字母可表示為a+b>c, a+c>b, b+c>a；a-b<c ,a-c<b, b-c<a。2、判斷三條線段a,b,c能否組成三角形：（1）當a+b>c,a+c>b,b+c>a同時成立時，能組成三角形；（2）當兩條較短線段之和大于最長線段時，則可以組成三角形。3、確定第三邊（未知邊）的取值范圍時，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即.三、三角形中三角的關系1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于1800。 n邊行內(nèi)角和公式（n-2）2、三角形按內(nèi)角的大小可分為三類：（1）銳角三角形，即三角形的三個

12、內(nèi)角都是銳角的三角形；（2）直角三角形，即有一個內(nèi)角是直角的三角形，我們通常用“Rt”表示“直角三角形”,其中直角C所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。注：直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余。（3）鈍角三角形，即有一個內(nèi)角是鈍角的三角形。3、判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數(shù)。4、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。四、三角形的三條重要線段1、三角形的角平分線：（1）三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。（2）任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點。（內(nèi)心）3、三角

13、形的中線：（1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。（2）三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點。（重心）（3）三角形的中線把這個三角形分成面積相等的兩個三角形4、三角形的高線：（1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。（垂心）（3）注意等底等高知識的考試五、全等圖形1、兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形。2、全等圖形的性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。六、全等三角形1、能夠重合的兩個三角形是全等三角形，用符號“”連接，讀作“全等于”。2、用“”

14、連接的兩個全等三角形，表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。八、全等三角形的判定1、三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。2、兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。3、兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS”。4、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。九、作三角形; 十、利用三角形全等測距離;十一、直角三角形全等的條件在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。第六章變量之間的關系一、變量、自變量、因變量1、在某一變化過程

15、中，不斷變化的量叫做變量。2、如果一個變量y隨另一個變量x的變化而變化，則把x叫做自變量，y叫做因變量。一.列表法。      采用數(shù)表相結合的形式，運用表格可以表示兩個變量之間的關系。列表時要選取能代表自變量的一些數(shù)據(jù)，并按從小到大的順序列出，再分別求出因變量的對應值。列表法最大的特點是直觀，可以直接從表中找出自變量與因變量的對應值，但缺點是具有局限性，只能表示因變量的一部分。    例1：在全國抗擊“非典”的斗爭中，黃城研究所的醫(yī)學專家們經(jīng)過日夜奮戰(zhàn)，終于研制出一種治療非典型肺炎的抗生素。據(jù)臨床觀察：如果成人按

16、規(guī)定的劑量注射這種抗生素，注射藥液后每毫升血液中的含藥量（微克）與時間（分鐘）之間的關系近似地滿足下表：時間(分鐘)020406080100120140160180200220240260含藥量(微克)02465.75.24.84.443.63.22.82.42（1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？（2）當注射藥液60分鐘后血液中含藥量是多少？（3）據(jù)臨床觀察：每毫升血液中含藥量不少于4微克時，控制“非典”病情是有效的。如果病人按規(guī)定的劑量注射該藥液后，那么這一次注射的藥液經(jīng)過多長時間后控制病情開始有效？這個有效時間有多長？【解】（1）上表反映了注射藥液的時間和血液

17、中的含藥量這兩個變量之間的關系，自變量是注射藥液的時間，因變量是血液中的含藥量。（2）當注射藥液60分鐘后血液中含藥量是6微克。（3）據(jù)臨床觀察：每毫升血液中含藥量不少于4微克時，控制“非典”病情是有效的。如果病人按規(guī)定的劑量注射該藥液后，那么這一次注射的藥液經(jīng)過40分鐘后控制病情開始有效，這個有效時間是120分鐘（從表格中可以看出：當注射藥液達到40分鐘時，血液中的含藥量上升到4微克，之后繼續(xù)上升至最高值為6微克，然后緩慢下降，當注射藥液160分鐘后，血液中的含藥量下降至4微克，所以，如果按規(guī)定的劑量注射該藥液后需要經(jīng)過40分鐘控制病情開始有效，這個有效時間為160分鐘40分鐘=120分鐘）

18、。 二.關系式法。 關系式是利用數(shù)學式子來表示變量之間關系的等式，利用關系式，可以根據(jù)任何一個自變量的值求出相應的因變量的值，也可以已知因變量的值求出相應的自變量的值。例2：已知梯形上底的長是 x，下底的長是 15，高是 8，梯形面積 為y。 (原題見課本197頁數(shù)學理解第1題) （1）梯形面積 y 與上底長 x 之間的關系式是什么？（2）用表格表示當 x 從 10 變到 20 時（每次增加1），y 的相應值；（3） 當 x 每增加 1 時，y如何變化？說說你的理由；（4） 當 x 0時，y 等于什么？此時它表示的什么？【解】（1）梯形面積 y 與上底長 x 之間的關系式是y=4x+

19、10。（2）用表格表示當 x 從 10 變到 20 時（每次增加1），y 的相應值如下表：梯形的上底x1011121314151617181920梯形的面積y100104108112116120124128132136140（3） 當 x 每增加 1 時，y增加4。（4）當 x 0時，y 等于60。此時它表示的是三角形的面積。三.圖象法。例3： 如圖是某天溫度變化的情況。(原題見課本198頁)（1）上午9時的溫度是多少？ 12時呢？（2） 這一天的最高溫度是多少？是在幾時達到的？最低溫度呢？（3） 這一天的溫差是多少？從最低溫度到最高溫度經(jīng)過了多長時間？（4）在什么時間范圍內(nèi)溫度在上升？在什么

20、時間范圍內(nèi)溫度在下降？（5） 圖中A點表示的是什么？B點呢？【解】（1）上午9時的溫度是27，12時是31。（2）這一天的最高溫度是37，是在15時達到的，最低溫度是23，是在3時達到的。（3）這一天的溫差（最高溫度和最低溫度的差值）是3723=14，從最低溫度到最高溫度經(jīng)過了15時3時=12時。（4）在3時到15時溫度在上升，在0時到3時、15時到24時溫度在下降。（5）A點表示的是21時的溫度是31，B點表示的是0時的溫度是26。一、概念：變量：在某一過程中發(fā)生變化的量，其中包括自變量與因變量。自變量是最初變動的量，它在研究對象反應形式、特征、目的上是獨立的；因變量是由于自變量變動而引起變

21、動的量，它“依賴于” 自變量的改變。常量：一個變化過程中數(shù)值始終保持不變的量叫做常量.二、圖像注意：a.認真理解圖象的含義，注意選擇一個能反映題意的圖象； b.從橫軸和縱軸的實際意義理解圖象上特殊點的含義（坐標），特別是圖像的起點、拐點、交點三、事物變化趨勢的描述 對事物變化趨勢的描述一般有兩種：1.隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸增加（大）（或者用函數(shù)語言描述也可：因變量y隨著自變量x的增加（大）而增加（大）；2. 隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸減?。ɑ蛘哂煤瘮?shù)語言描述也可：因變量y隨著自變量x的增加（大）而減?。?注意：如果在整個過程中事物的變化趨勢不一樣，可以采用分

22、段描述.例如在什么范圍內(nèi)隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸增加（大）等等.四、估計（或者估算） 對事物的估計（或者估算）有三種： 1.利用事物的變化規(guī)律進行估計（或者估算）.例如：自變量x每增加一定量，因變量y的變化情況；平均每次（年）的變化情況（平均每次的變化量=（尾數(shù)首數(shù)）/次數(shù)或相差年數(shù)）等等； 2.利用圖象：首先根據(jù)若干個對應組值，作出相應的圖象，再在圖象上找到對應的點對應的因變量y的值； 3.利用關系式：首先求出關系式，然后直接代入求值即可.第七章生活中的軸對稱一、軸對稱圖形如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。二、軸對稱對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸。可以說成：這兩個圖形關于某條直線對稱。三、角平分線的性質(zhì)1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。2、性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。四、線段的垂直平分線1