化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

1、第二節(jié) 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形若二次型經(jīng)可逆線性變換化為只含平方項(xiàng)的形式則稱之為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.由上節(jié)討論知,二次型在線性變換下,可化為 如果為對角矩陣則就可化為標(biāo)準(zhǔn)形其標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)恰好為對角陣B的對角線上的元素,因此上面的問題歸結(jié)為A能否合同于一個(gè)對角矩陣.內(nèi)容分布圖示 二次型的標(biāo)準(zhǔn)性 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 例1 例2 例3 例4 用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 例5 例6 定理3 -4 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 例7 例8 二次型與對稱矩陣的規(guī)范形 例9 例10 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題5-2 返回內(nèi)容要點(diǎn)：一、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.定理1 任一二次型都可以通過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.拉

2、格朗日配方法的步驟:(1) 若二次型含有的平方項(xiàng),則先把含有的乘積項(xiàng)集中,然后配方,再對其余的變量進(jìn)行同樣過程直到所有變量都配成平方項(xiàng)為止, 經(jīng)過可逆線性變換, 就得到標(biāo)準(zhǔn)形;(2) 若二次型中不含有平方項(xiàng), 但是,則先作可逆變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型, 然后再按()中方法配方.注：配方法是一種可逆線性變換, 但平方項(xiàng)的系數(shù)與的特征值無關(guān).因?yàn)槎涡团c它的對稱矩陣有一一對應(yīng)的關(guān)系，由定理1即得:定理2 對任一實(shí)對稱矩陣，存在非奇異矩陣，使為對角矩陣. 即任一實(shí)對稱矩陣都與一個(gè)對角矩陣合同.二、用初等變換化二次為標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)有可逆線性變換為，它把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，則 . 已知任一非奇異矩陣均可

3、表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積, 故存在初等矩陣，使 , 于是.由此可見, 對矩陣施以相應(yīng)于右乘的初等列變換, 再對施以相應(yīng)于左乘的初等行變換, 則矩陣變?yōu)閷蔷仃? 而單位矩陣就變?yōu)樗蟮目赡婢仃?三、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理2 若A為對稱矩陣，C為任一可逆矩陣,令,則B也為對稱矩陣,且注: (1) 二次型經(jīng)可逆變換后,其秩不變,但f的矩陣由A變?yōu)?2) 要使二次型f經(jīng)可逆變換變成標(biāo)準(zhǔn)形,即要使成為對角矩陣, 即定理3 任給二次型 總有正交變換 使f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是f的矩陣的特征值.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(1) 將二次型表成矩陣形式 求出;(2) 求出A的所有特征值 ;(3) 求出對

4、應(yīng)于特征值的特征向量 ;(4) 將特征向量正交化, 單位化, 得, 記(5) 作正交變換,則得f的標(biāo)準(zhǔn)形四、二次型與對稱矩陣的規(guī)范型將二次型化為平方項(xiàng)之代數(shù)和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相當(dāng)于作一次可逆線性變換),使這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形為其中定理4 任何二次型都可通過可逆線性變換化為規(guī)范形.且規(guī)范形是由二次型本身決定的唯一形式,與所作的可逆線性變換無關(guān).注: 把規(guī)范形中的正項(xiàng)個(gè)數(shù)p稱為二次型的正慣性指數(shù),負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù), 是二次型的秩.注: 任何合同的對稱矩陣具有相同的規(guī)范形定理5 設(shè)A為任意對稱矩陣,如果存在可逆矩陣，且使得，則 注: 說明二次型的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)是被二次型本身唯一確定的。例題選講:例1(講義例1) 將化為標(biāo)準(zhǔn)形.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.例2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形, 并求所用的變換矩陣.例3 (講義例2) 化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形, 并求所用的變換矩陣.例4 用配方法將以下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型. 用初等變換化二次為標(biāo)準(zhǔn)型例5(講義例3) 設(shè)求非奇異矩陣C, 使為對角矩陣.例6 求一可逆線性變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例7 (講義例4) 將二次型通過正交變換 化成標(biāo)準(zhǔn)形.例8 設(shè), 求一個(gè)正交變換 把該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.二次型與對稱矩陣的規(guī)范型例9