一元二次方程根的分布07190

1、方程根的分布專題講義一知識要點二次方程的根從幾何意義上來說就是拋物線與軸交點的橫坐標(biāo)，所以研究方程的實根的情況，可從的圖象上進行研究若在內(nèi)研究方程的實根情況，只需考察函數(shù)與軸交點個數(shù)及交點橫坐標(biāo)的符號，根據(jù)判別式以及韋達定理，由的系數(shù)可判斷出的符號，從而判斷出實根的情況若在區(qū)間內(nèi)研究二次方程，則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來確定1二次方程有且只有一個實根屬于的充要條件若其中一個是方程的根，則由韋達定理可求出另一根若不是二次方程的根，二次函數(shù)的圖象有以下幾種可能： （1） （2） （3） （4） 由圖象可以看出，在處的值與在處的值符號總是相反，即；反之，若，的圖象的相對位置只能是圖中四種情況之一所

2、以得出結(jié)論：若都不是方程的根，記，則有且只有一個實根屬于的充要條件是 2二次方程兩個根都屬于的充要條件方程的兩個實根都屬于，則二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點或相切于點，且兩個交點或切點的橫坐標(biāo)都大于小于，它的圖象有以下幾種情形： （1） （2）（3） （4）由此可得出結(jié)論：方程的兩個實根都屬于區(qū)間的充要條件是： 這里 3二次方程的兩個實根分別在區(qū)間的兩側(cè)（一根小于，另一根大于）的充要條件是： 這里4二次方程的兩個實根都在的右側(cè)的充要條件是： 二次方程的兩個實根都在的左側(cè)（兩根都小于）的充要條件是： 這里二例題選講例設(shè)關(guān)于的方程R），（1）若方程有實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍；（2）當(dāng)方程有實數(shù)解時

3、，討論方程實根的個數(shù)，并求出方程的解。例已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0).若方程f(x)=x無實根，求證：方程ff(x)=x也無實根例設(shè)，若，求實數(shù)的取值范圍變式：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的兩個根都屬于( -3, 3)，且其中至少有一個根小于1，求m的取值范圍例已知方程有兩個負根，求的取值范圍例求實數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程（）有兩個實根，且一個比大，一個比小（）有兩個實根，且滿足（）至少有一個正根例 已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2) 若方程兩根

4、均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.變式：已知方程2x2 2(2a-1)x + a+2=0的兩個根在-3與3之間，求a的取值范圍例已知二次方程的兩個根都小于1，求的取值范圍變式：如果二次函數(shù)y=mx2+(m3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍.例已知是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍二次方程實根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情況，在其它的一些場合下也可以適當(dāng)運用下面再舉兩個例子：例求函數(shù)y = (1<x<2)的值域例10已知拋物線y = 2x2-mx+m與直角坐標(biāo)平面上兩點(0,0), (1,1)為端點的線段（除去兩個端點）

5、有公共點，求m的取值范圍三鞏固練習(xí)1已知二次方程有且只有一個實根屬于( -1, 1)，求m的取值范圍2已知方程在上有兩個根，求的取值范圍3已知二次方程有且只有一個實根屬于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范圍4已知二次方程的兩個根都屬于（1，1），求的取值范圍5若關(guān)于x的方程x2+(a-1)x+1=0有兩相異實根，且兩根均在區(qū)間0,2上，求實數(shù)a的取值范圍6二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實數(shù)p、q、r滿足=0, 其中m>0,求證(1) pf()<0;(2) 方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解。參考答案例分析：可用換元法，設(shè)，原方程化為二次方程，但要注意，故原方程有解并不

6、等價于方程有解，而等價于方程在內(nèi)有解另外，方程有解的問題也可以通過參變分離轉(zhuǎn)化為求值域的問題，它的原理是：若關(guān)于的方程有解，則的值域解：（1）原方程為，時方程有實數(shù)解；（2）當(dāng)時，方程有唯一解；當(dāng)時，.的解為；令的解為；綜合、，得1）當(dāng)時原方程有兩解：；2）當(dāng)時，原方程有唯一解；3）當(dāng)時，原方程無解。例證明：方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0無實根，f(x)-x仍是二次函數(shù)，f(x)-x=0仍是二次方程，它無實根即=(b-1)2-4ac0 若a0，則函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸上方， y0，即f(x)-x0恒成立，即：f(x)x對任意實數(shù)x恒成立。 對f(x)，有

7、f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x無實根 若a0，函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸下方 y0，即f(x)-x0恒成立 對任意實數(shù)x，f(x) 0恒成立 對實數(shù)f(x)，有：f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x無實根 綜上可知，當(dāng)f(x)=x無實根時，方程f(f(x)=x也無實根例分析：觀察到方程有兩個實根，故此題不妨用求根公式來解決解：因有兩個實根 ，故等價于且，即且，解之得變式：解：原方程即為 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程兩根分別為-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，則由題意，另一根滿足 -3<2-3m<3 Û - <

8、;m< .例解：依題意有例解：設(shè)（） 依題意有，即，得（） 依題意有解得：（）方程至少有一個正根，則有三種可能：有兩個正根，此時可得，即有一個正根，一個負根，此時可得，得有一個正根，另一根為，此時可得綜上所述，得例解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，則 Û ，實數(shù)m的范圍是.(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間 (0，1) 內(nèi)，列不等式組 Û - <m1-, 實數(shù)m的范圍是.變式：解：設(shè)f(x) = 2x2 2(2a-1)x + a+2，則原方程兩根都屬于 (-3, 3)的充要條件為 Û

9、Û - <m或m<.故a的取值范圍是 (- , , )例解一：二次方程兩個根都小于1，其充要條件為 （1）即為，它的解集是（2）即為，它的解集是（3）的解集是所以，的取值范圍是解二：二次方程有兩個根的充要條件是設(shè)兩根為，由于都小于1，即，其充要條件為： 即 因此，方程兩個根都小于1的充要條件是： 以下同解法一（略）解三：令，原方程轉(zhuǎn)化為，即 （*）因為原方程兩根都小于1，所以方程（*）的兩個實根都小于0，其充要條件是： 同樣可求出的取值范圍（略）變式：解：f(0)=1>0(1)當(dāng)m0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.(2）當(dāng)m>0時，

10、則解得0m1綜上所述，m的取值范圍是m|m1且m0.例解析1：函數(shù)在區(qū)間-1，1上有零點，即方程=0在-1，1上有解， a=0時，不符合題意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解<=>或或或或a1.所以實數(shù)a的取值范圍是或a1.解析2：a=0時，不符合題意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)-1，1上的值域；設(shè)t=3-2x，x-1，1，則，t1,5,，設(shè)，時，此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，時，>0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，y的取值范圍是，=0在-1，1上有解ó或。例解：原函數(shù)即為 y (x2-3x+2)=x+1, y

11、x2-(3y+1)x+2y-1=0, 由題意，關(guān)于的方程在(1,2)上有實根易知y<0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，則f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方程在(1,2)上有實根當(dāng)且僅當(dāng) ，解得y-5-2. 原函數(shù)的值域為 (-¥, -5-2.例10解：以(0,0), (1,1)為端點的線段所在直線為y=x，代入拋物線方程得： x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, 由題意，方程在區(qū)間(0, 1)上有實根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，則當(dāng)且僅當(dāng)f(0)·f(1)<0或 Û

12、; m<0或 Û m3-2且m0故m的取值范圍為 (-¥, 0)(0, 3-2.鞏固練習(xí)1解：易知x1 = -1是方程的一個根，則另一根為x2 = ，所以原方程有且僅有一個實根屬于( -1, 1)當(dāng)且僅當(dāng) -1< <1，即 Û Û m< - 或m> ， m的取值范圍為 (-¥,- )( , +¥).2解：令，當(dāng)時，由于是一一映射的函數(shù)，所以在上有兩個值，則在上有兩個對應(yīng)的值因而方程在（0，2）上有兩個不等實根，其充要條件為 由（1）得： ，由（2）得： ，由（3）得： 或，由（4）得： ，即的取值范圍為3

13、解：設(shè)f(x) = ，由于f(x)是二次函數(shù)，所以2m+1 0，即m - .f(x) =0在（1，2）上有且僅有一個實根當(dāng)且僅當(dāng)f(1)·f(2)<0 Û (5m+3)(m-2)<0 Û - <m<2.綜上得：m的取值范圍是(- , - )(- , 2)4令二次函數(shù)f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1，則m-1 0，即m 1f(x)=0的兩個實根均在(-1,1)上，當(dāng)且僅當(dāng) Û m的取值范圍為5解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，則滿足題意當(dāng)且僅當(dāng) 解得 - a<-1.a的取值范圍是 - , -1)6證明 (1),由于