直線與圓知識點總結及例題

1、1直線和圓知識點總結直線和圓知識點總結1 1、直線的傾斜角、直線的傾斜角： （1）定義定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，如果把x軸繞著交點按逆時針方向轉逆時針方向轉到和直線直線l重合重合時所轉的最小正角最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線l與x軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為 0； （2）傾斜角的范圍傾斜角的范圍, 0。 如如 （1 1） 直線023cosyx的傾斜角的范圍是_ （答：50)66，） ；傾斜角的取值范圍是 0180.傾斜角不是 90的直線， 它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示.傾斜角是 90的直線沒有斜率.（2 2）過點), 0(),1 ,

2、3(mQP 的直線的傾斜角的范圍m那么,32,3值的范圍是_（答：42mm或）2 2、直線的斜率、直線的斜率： （1）定義定義：傾斜角不是 90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即ktan(90)；傾斜角為 90的直線沒有斜率； （2）斜率公式斜率公式：經(jīng)過兩點111( ,)P x y、222(,)P xy的直線的斜率為212121xxxxyyk； （3）直線的方向直線的方向向量向量(1, )ak，直線的方向向量與直線的斜率有何關系？（4）應用應用：證明三點共線：ABBCkk。如如(1)(1) 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的_條件（答：既不充分也不必要） ； （2 2）實數(shù),

3、x y滿足3250 xy(31 x)，則xy的最大值、最小值分別為_（答：2, 13）3 3、直線的方程、直線的方程： （1）點斜式點斜式：已知直線過點00(,)xy斜率為k，則直線方程為00()yyk xx,它不包括垂直于x軸的直線。直線的斜率0k時，直線方程為1yy ； 當直線的斜率k不存在時， 不能用點斜式求它的方程， 這時的直線方程為1xx .（2）斜截式斜截式：已知直線在y軸上的截距為b和斜率k，則直線方程為ykxb,它不包括垂直于x軸的直線。 （3）兩點式兩點式：已知直線經(jīng)過111( ,)P x y、222(,)P xy兩點，則直線方程為121121xxxxyyyy，它不包括垂直于

4、坐標軸的直線。若要包含傾斜角為00或090的直線，兩點式應變?yōu)?()(121121yyxxxxyy的形式.（4）截距式截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為, a b,則直線方程為1byax，它不包括垂直于坐標軸的直線2和過原點的直線。 （5）一般式一般式：任何直線均可寫成0AxByC(A,B 不同時為 0)的形式。 如如（1 1） 經(jīng)過點 （2， 1） 且方向向量為v=(1,3)的直線的點斜式方程是_（答：13(2)yx ） ； （2 2）直線(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎樣變化恒過點_（答：( 1, 2) ） ； （3 3）若曲線|ya x與(0)yxa a有兩個公共點，則a

5、的取值范圍是_（答：1a ）提醒提醒：(1)(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？） ； (2)(2)直線在坐標軸上的截距可正、 可負、 也可為 0.直線兩截距相等直線的斜率為-1 或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為 1 或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為1或直線過原點。如如過點(1,4)A，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有_條（答：3）4.4.設直線方程的一些常用技巧設直線方程的一些常用技巧： （1）知直線縱截距b，常設其方程為ykxb； （2）知直線橫截距0 x，常設其方程為0 xmyx(它不適用于斜率為 0 的直線)

6、； （3）知直線過點00(,)xy，當斜率k存在時，常設其方程為00()yk xxy，當斜率k不存在時，則其方程為0 xx； （4）與直線:0l AxByC平行的直線可表示為10AxByC；（5）與直線:0l AxByC垂直的直線可表示為10BxAyC.提醒提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。5 5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：（1）點00(,)P xy到直線0AxByC的距離0022AxByCdAB；（2） 兩平行線1122:0,:0lAxByClAxByC間的距離為1222CCdAB。6 6、直線、直線111

7、1:0lAxB yC與直線與直線2222:0lA xB yC的位置關系的位置關系：（1）平行12210ABA B（斜率）且12210BCB C（在y軸上截距） ；（2）相交12210ABA B；（3）重合12210ABA B且12210BCB C。提醒提醒： （1 1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2 2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線； （3 3）直線1111:0lAxB yC與直線2222:0lA xB yC垂直垂直1

8、2120A AB B。如如（1 1）設直線1:60lxmy和2:(2)320lmxym，當m_時1l2l；當m_時1l 2l；當m_時1l與2l相交；當m_時1l與2l重合（答：31；12；31且mm ；3） ； （2 2）已知直線l的方程為34120 xy，則與l平行，且過點 （1， 3） 的直線方程是_ （答：3490 xy） ； （3 3） 兩條直線40axy與20 xy相交于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是_（答：12a ） ； （4 4）設, ,a b c分別是ABC 中A、B、C 所對邊的邊長，則直線sin0A xayc與sinsin0bxB yC的位置關系是_（答：垂直） ； （5

9、 5）已知點111( ,)P x y是直線:( , )0lf x y 上一點，222(,)P xy是直線l外一點， 則方程1122( , )( ,)(,)f x yf x yf xy0 所表示的直線與l的關系是_（答：平行） ； （6 6）直線l過點（，） ，且被兩平行直線360 xy和330 xy所截得的線段長為 9， 則直線l的方程是_ （答：43401xyx和）7 7、特殊情況下的兩直線平行與垂直特殊情況下的兩直線平行與垂直:當兩條直線中有一條直線沒有斜率時：(1)當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為 90，互相平行；(2)當另一條直線的斜率為 0 時，一條直線的傾斜角為 9

10、0，另一條直線的傾斜角為 0，兩直線互相垂直8 8、對稱對稱（中心對稱和軸對稱）問題問題代入法代入法：如如（1 1）已知點( , )M a b與點N關于x軸對稱，點 P 與點 N 關于y軸對稱，點 Q 與點 P 關于直線0 xy對稱，則點 Q 的坐標為_（答：( , )b a） ； （3 3）點（，）關于直線l的對稱點為(2,7)，則l的方程是_（答：3y=3x） ； （4 4）已知一束光線通過點（，） ，經(jīng)直線l:3x4y+4=0 反射。如果反射光線通過點（，15） ，則反射光線所在直線的方程是_（答：18x510y ） ； （5 5）已知ABC 頂點 A(3，)，邊上的中線所在直線的方程為

11、 6x+10y59=0，B 的平分線所在的方程為 x4y+10=0，求邊所在的直線方程（答：29650 xy） ； （6 6）直線 2xy4=0 上有一點，它與兩定點（4,1） 、（3,4）的距離之差最大，則的坐標是_（答： （5,6） ） ； （7 7）已知Ax軸，:Bl yx，C（2，1） ，ABC周長的最小值為_（答：10） 。提醒提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。9.9.（1）直線過定點。如直線（3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0,不論 m 取 何值恒過定點（-1，2）（2）直線系方程（1）與已知直線 Ax+By+C=0 平行的直線的設法:Ax+By+m

12、=0 (mC)( 2 ) 與已知直線 Ax+By+C=0 垂直的直線的設法: Bx-Ay+m=0（3）經(jīng)過直線1l1Ax+1By+1C=0，2l2Ax+2By+2C=0 交點的直線設法：1Ax+1By+1C+（2Ax+2By+2C）=0（為參數(shù)，不包括2l）（3）關于對稱（1）點關于點對稱（中點坐標公式）（2）線關于點對稱（轉化為點關于點對稱，或代入法，兩條直線平行）（3）點關于線對稱（點和對稱點的連線被線垂直平分，中點在對稱軸上、kk= -1 二個方程）4（4）線關于線對稱（求交點，轉化為點關于線對稱）1010、圓的方程、圓的方程：圓的標準方程：222xaybr。圓的一般方程：22220(D

13、E4F0)xyDxEyF，特別提醒特別提醒：只有當22DE4F0時，方程220 xyDxEyF才表示圓心為(,)22DE，半徑為22142DEF的圓 （二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圓的充要條件是什么？ （0,AC且0B 且2240DEAF） ） ；圓的參數(shù)方程：cossinxarybr（為參數(shù)） ，其中圓心為( , )a b，半徑為r。圓的參數(shù)方程的主要應用是三角換元：222cos ,sinxyrxryr；22xytcos ,sin (0)xryrrt。1122A,x yB xy為直徑端點的圓方程 12120 xxxxyyyy如（如（1 1）圓 C 與圓22(1)1xy關于直

14、線yx 對稱，則圓 C 的方程為_（答：22(1)1xy） ； （2 2）圓心在直線32 yx上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是_（答：9)3()3(22yx或1) 1() 1(22yx） ； （3 3）已知( 1, 3)P 是圓cossinxryr（為參數(shù)，02 )上的點， 則圓的普通方程為_，P 點對應的值為_， 過 P 點的圓的切線方程是_ （答：224xy；23；340 xy） ； （4 4）如果直線l將圓：x2+y2-2x-4y=0 平分，且不過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是_（答：0，2） ； （5 5）方程 x2+yx+y+k=0 表示一個圓，則實數(shù) k的取值范圍為_ （

15、答：21k） ；（6 6） 若3cos( , )|3sinxMx yy（為參數(shù)，0)，bxyyxN| ),(， 若NM ， 則 b 的取值范圍是_ （答：3,3 2）1111、點與圓的位置關系、點與圓的位置關系：已知點00M,xy及圓222C0：x-aybrr，（1）點 M 在圓 C 外22200CMrxaybr； （2）點 M 在圓 C 內(nèi)22200CMrxaybr； （3）點 M 在圓 C 上20CMrxa220ybr。如如點 P(5a+1,12a)在圓(x)y2=1 的內(nèi)部,則 a 的取值范圍是_（答：131|a）1212、直線與圓的位置關系、直線與圓的位置關系：直線:0l AxByC和

16、圓222C：xaybr0r 有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷： （1）代數(shù)方法（判斷直5線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況） ：0 相交；0 相離；0 相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大小） ：設圓心到直線的距離為d，則dr相交；dr相離；dr相切。提醒提醒：判斷直線與圓的位置關系一般用幾何方法較簡捷。如如（1 1）圓12222yx與直線sin10(,2xyR k，)kz的位置關系為_ （答： 相離） ； （2 2） 若直線30axby與圓22410 xyx 切 于 點( 1,2)P ， 則ab的 值 _ （ 答 ： 2 ）；（ 3 3 ） 直 線20 xy被

17、 曲 線2262xyxy150所截得的弦長等于（答：4 5） ； （4 4）一束光線從點 A(1,1)出發(fā)經(jīng) x 軸反射到圓 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是（答：4） ； （5 5）已知( , )(0)M a b ab 是圓222:O xyr內(nèi)一點，現(xiàn)有以M為中點的弦所在直線m和直線2: l axbyr，則 A/ml，且l與圓相交Blm，且l與圓相交C/ml，且l與圓相離Dlm，且l與圓相離（答：C） ； （6 6）已知圓 C：22(1)5xy，直線 L：10mxym 。求證：對mR，直線 L 與圓 C 總有兩個不同的交點；設 L 與圓 C 交于 A、B 兩點，若17AB

18、，求 L 的傾斜角；求直線 L 中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程. （答：60或120最長：1y ，最短：1x ）1313、圓與圓的位置關系、圓與圓的位置關系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷） ：已知兩圓的圓心分別為12OO，半徑分別為12,r r，則（1）當1212|O Orr時，兩圓外離； （2）當1212|O Orr時，兩圓外切； （3）當121212|O Orrrr時，兩圓相交； （4）當1212|O O|rr時，兩圓內(nèi)切； （5）當12120|O O|rr時，兩圓內(nèi)含。如如雙曲線22221xyab的左焦點為 F1，頂點為 A1、A2，P 是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段

19、PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關系為（答：內(nèi)切）1414、圓的切線與弦長、圓的切線與弦長：(1)切線：過圓過圓222xyR上一點上一點00(,)P xy圓的切線方程圓的切線方程是：200 xxyyR，過圓222()()xaybR上一點00(,)P xy圓的切線方程是：200()()()()xa xayayaR，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑） ；從圓外一點引圓的切線一定有兩條圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；過兩切點的直線（即“切點弦” ）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端

20、點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程；切線長切線長：過圓220 xyDxEyF（222()()xaybR） 外 一 點00(,)P xy所 引 圓 的 切 線 的 長 為220000 xyDxEyF（22200()()xaybR） ；如如設 A 為圓1) 1(22yx上動點， PA 是圓的切線， 且|PA|=1， 則 P 點的軌跡方程為_ （答：22(1)2xy） ；（2）弦長問題弦長問題：圓的弦長的計算： （垂徑定理）常用弦心距d，半弦長12a及圓的半 徑r所 構成 的直 角三 角 形來 解：2221()2rda； 過 兩圓1:( , )0Cf x y 、62: ( , )0C

21、g x y 交 點 的 圓 ( 公 共 弦 ) 系 為( , )( , )0f x yg x y， 當1 時 ， 方 程( , )( , )0f x yg x y為兩圓公共弦所在直線方程.。1 15.5.解決直線與圓的關系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質的作用平面幾何性質的作用(如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!16. 圓的切線和圓系方程1過圓上一點的切線方程：圓222ryx，圓上一點為(00, yx)，則過此點的切線方程為0 xx+0yy=2r(課本命題)圓222ryx，圓外一點為(00, yx)，則過此點的兩條切線與圓相切，切點弦方程為200r

22、yyxx。2圓系方程：設圓 C1011122FyExDyx和圓 C2 022222FyExDyx 若 兩 圓 相 交 ， 則 過 交 點 的 圓 系 方 程 為11122FyExDyx+（22222FyExDyx）=0(為參數(shù)，圓系中不包括圓 C2，=-1 為兩圓的公共弦所在直線方程)設圓 C022FEyDxyx與直線 l：Ax+By+C=0，若直線與圓相交，則過交點的圓系方程為FEyDxyx22+(Ax+By+C)=0(為參數(shù))例題例題1 經(jīng)過點經(jīng)過點 P(2，m)和和 Q(2m，5)的直線的斜率等于的直線的斜率等于12，則則 m 的值是的值是(B)A4B3C1 或或 3D1 或或 4變：的

23、取值范圍的斜率的直線求經(jīng)過點 ) 1 ,cos(),sin, 2( klBA2. 已知直線 l 過 P(1，2)，且與以 A(2，3)、B(3，0)為端點的線段相交，求直線 l的斜率的取值范圍點評：要用運動的觀點，研究斜率與傾斜角之間的關系！答案：，12 5，)3.已知坐標平面內(nèi)三點 A(1，1)，B(1，1)，C(2， 31)，若 D 為ABC 的邊 AB 上一動點，求直線CD 斜率 k 的變化范圍 答案：，12 5，)71.求 a 為何值時，直線 l1：(a2)x(1a)y10 與直線 l2：(a1)x(2a3)y20 互相垂直？答案：a=-12.求過點 P(1，1)，且與直線 l2：2x

24、3y10 垂直的直線方程答案：3x2y50.例 2.求過定點 P(2，3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程例 3.已知ABC 的頂點 A(1，1)，線段 BC 的中點為 D(3，23)(1)求 BC 邊上的中線所在直線的方程；(2)若邊 BC 所在直線在兩坐標軸上的截距和是 9，求 BC 所在直線的方程例 4.方程(m22m3)x(2m2m1)y2m6 滿足下列條件，請根據(jù)條件分別確定實數(shù) m 的值(1)方程能夠表示一條直線； （答案：m1）(2)方程表示一條斜率為1 的直線 （答案：m2）例 5.直線 l 的方程為(a2)y(3a1)x1(aR)(1)求證：直線 l 必過定點； （答案：(

25、15，35)）(2)若直線 l 在兩坐標軸上的截距相等，求 l 的方程； （答案：5x5y40）(3)若直線 l 不過第二象限，求實數(shù) a 的取值范圍 （答案：分斜率存在與不存在）例 1：求點 A(-2,3)到直線l:3x+4y+3=0 的距離 d=。例 2：已知點（a,2）到直線 l: x-y+1=0 的距離為 2，則 a=。 (a0)例 3:求直線 y=2x+3 關于直線 l: y=x+1 對稱的直線方程。類型一：圓的方程類型一：圓的方程例例 1 求過兩點)4,1 (A、)2,3(B且圓心在直線0y上的圓的標準方程并判斷點)4,2(P與圓的關系變式 1：求過兩點)4,1 (A、)2,3(B且被直線0y平分的圓的標準方程.變式 2：求過兩點)4,1 (A、)2,3(B且圓上所有的點均關于直線0y對稱的圓的標準方程.類型二：切線方程