橢圓知識點歸納總結和經典例題11078

1、 橢圓典型例題例1 已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值解：方程變形為因為焦點在軸上，所以，解得又，所以，適合故例2 已知橢圓的中心在原點，且經過點，求橢圓的標準方程分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況根據題設條件，運用待定系數法，求出參數和（或和）的值，即可求得橢圓的標準方程解：當焦點在軸上時，設其方程為由橢圓過點，知又，代入得，故橢圓的方程為當焦點在軸上時，設其方程為由橢圓過點，知又，聯立解得，故橢圓的方程為例3 的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標的關系，利用代入法求的軌跡方程解：

2、 （1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標系設點坐標為，由，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點因，有，故其方程為（2）設，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）例4 已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程解：設兩焦點為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或例5 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設，由橢圓的對稱性，不妨設，由

3、橢圓的對稱性，不妨設在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故 例6 已知橢圓（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；解：設弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內部分）例7 已知橢圓及直線（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入

4、橢圓方程得 ，即，解得（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為，由（1）得，根據弦長公式得 ：解得方程為例8求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經過和兩點的橢圓方程分析：由題設條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標準方程有兩種情形，為了計算簡便起見，可設其方程為(，)，且不必去考慮焦點在哪個坐標軸上，直接可求出方程解：設所求橢圓方程為(，)由和兩點在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例9已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式

5、求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯立得：設，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用焦半徑求解先根據直線與橢圓聯立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標再根據焦半徑，從而求出例10 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關于該直線對稱分析：若設橢圓上，兩點關于直線對稱，則已知條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設橢圓上，兩點關于直線對稱，直線與交于點的斜率，設直線的方程為由方程組消去得。于是，即點的坐標為點在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點，解得(法

6、2)同解法1得出，即點坐標為，為橢圓上的兩點，點在橢圓的內部，解得(法3)設，是橢圓上關于對稱的兩點，直線與的交點的坐標為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點在直線上，。由，得點的坐標為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點，關于直線恒對稱，求有關參數的取值范圍問題，可以采用列參數滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數方程(2)利用弦的中點在橢圓內部，滿足，將，利用參數表示，建立參數不等式例11已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關系問題通常將直線方程與橢圓方程聯立消去(或)，得到關于(或)的一元二次方程，再由根與系數的關系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設而不求”的方法，在解析