穿根法解不等式的原理

1、穿根法解不等式的原理、步驟和應(yīng)用范例摘要：本文通過(guò)闡述穿根法解不等式的原理、步驟和應(yīng)用范例，嘗試對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)性的論述。在原理層面，提出該方法中不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)0，規(guī)范了序軸的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，動(dòng)態(tài)考察了f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，并介紹如何使用穿根法表達(dá)此規(guī)律；在步驟層面，對(duì)解高次不等式、分式不等式和含等號(hào)不等式的操作步驟進(jìn)行了分類詳述；然后通過(guò)6個(gè)應(yīng)用范例，進(jìn)一步展現(xiàn)了穿根法解不等式的具體操作細(xì)節(jié)和若干注意事項(xiàng)。論文最后概括說(shuō)明了穿根法的特征和實(shí)用意義。關(guān)鍵詞：穿根法；解不等式；原理；步驟；應(yīng)用穿根法，又稱序軸標(biāo)根法，是解一元

2、整式、分式不等式的重要通用方法，特別在解簡(jiǎn)單高次不等式時(shí)，一直居于主流地位。然而，該方法目前尚未進(jìn)入中學(xué)正式教材，在很多資料中，對(duì)此法也往往是只提應(yīng)用，而對(duì)其來(lái)龍去脈，敘述不清，建構(gòu)模糊?，F(xiàn)結(jié)合中學(xué)一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)闡述其原理、步驟和應(yīng)用范例，嘗試對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)性的論述。一、 原理穿根法解不等式時(shí)，一般先將其化為形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0 （或<0）的標(biāo)準(zhǔn)形式，主要考察f(x)的符號(hào)規(guī)律。在穿根法中我們引入序軸的概念。序軸是一條有向直線，類似于數(shù)軸，但上面不必標(biāo)出原點(diǎn)，也不必考慮長(zhǎng)度單位，只要求在其上標(biāo)數(shù)時(shí)，按由左至右，從小到大的順序即可。（一） 一次不

3、等式標(biāo)準(zhǔn)形式：f(x)=x-x1>0 （或<0）我們將x-x1=0的根x1標(biāo)在序軸上，可以發(fā)現(xiàn)：x1右邊的點(diǎn)都是大于x1的點(diǎn)，即是x-x1>0的解；而x1左邊的點(diǎn)都是小于x1的點(diǎn)，即是x-x1<0的解。所以可以如圖標(biāo)注，圖中+、- 用以表示f(x)=x-x1的符號(hào)。我們還可以以動(dòng)態(tài)的思想來(lái)考察該問(wèn)題。當(dāng)一點(diǎn)x=a 從x1右側(cè)向x1左側(cè)移動(dòng)時(shí)，f(x)=x-x1經(jīng)歷了由正到0又到負(fù)的符號(hào)變換。由此也可得出f(x)的符號(hào)可以如圖標(biāo)注的結(jié)論。（二） 二次不等式標(biāo)準(zhǔn)形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0）(1) x1x2時(shí)，不妨設(shè)x1<x2

4、將f(x)=0的二根x1、x2標(biāo)在序軸上，則可以發(fā)現(xiàn)：處于(-, x1)，(x2,+)內(nèi)的點(diǎn)滿足f(x) >0，處于(x1,x2)內(nèi)的點(diǎn)滿足f(x) <0。當(dāng)我們動(dòng)態(tài)考察該問(wèn)題時(shí)，我們也可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)x=a在x2右方時(shí)，x-x1、x-x2均正，故有f(x) >0；而當(dāng)點(diǎn)x=a從x2右側(cè)移動(dòng)到左側(cè)時(shí)，x-x2變?yōu)樨?fù)值，而x-x1符號(hào)不變，所以有f(x)必然變號(hào)，此時(shí)由正變負(fù)；而再當(dāng)點(diǎn)x=a從x1右側(cè)移動(dòng)到左側(cè)時(shí)，x-x1由正變負(fù)，而x-x2符號(hào)不變，所以f(x)又一次變號(hào)，此時(shí)由負(fù)變正?？傊瑹o(wú)論從哪個(gè)方面看，f(x)的符號(hào)都可以如圖標(biāo)注。(2) x1=x2時(shí)，即形如f(x)=

5、(x-x1)2時(shí)顯然，(-,x1)與( x1 ,+)都是f(x) >0的解。而若動(dòng)態(tài)的考察此問(wèn)題，則有點(diǎn)x=a 從x1右側(cè)移動(dòng)向左側(cè)移動(dòng)時(shí)，由于平方項(xiàng)內(nèi)的x-x1由正到0又到負(fù)，所以f(x)經(jīng)歷了由正到0又回到正的過(guò)程。故而f(x)在x1兩側(cè)符號(hào)同正，只有在x=x1處為0。（三） 高次不等式標(biāo)準(zhǔn)形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0 （或<0），x1x2xn(1) x1<x2<<xn時(shí)動(dòng)態(tài)考察f(x)的符號(hào)，則有當(dāng)點(diǎn)x=a在xn右方時(shí)，x-xi (i=1,2,n)均大于0，故而f(x) >0；而當(dāng)點(diǎn)x=a從xn右側(cè)移動(dòng)到左側(cè)時(shí)，x-x

6、n符號(hào)變化，而其余任一x-xi均不變號(hào)，所以有f(x)由正變負(fù)；類似可得：對(duì)任一i，當(dāng)點(diǎn)x=a從xi右側(cè)移動(dòng)到左側(cè)時(shí)，x-xi符號(hào)變化，而其余每個(gè)x-xj (ji)都不變號(hào)，所以有f(x)必然變號(hào)，或由正變負(fù)，或由負(fù)變正。就這樣，由于每過(guò)一個(gè)xi都恰有一個(gè)因式x-xi變號(hào)，所以我們可以從最右上方開始畫一條依次穿過(guò)各根的線，這正是穿根法的原理和名稱由來(lái)。(2) x1x2xn且有等號(hào)成立時(shí)其標(biāo)準(zhǔn)形式可寫為f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2(x-xn) mn >0 （或<0），x1<x2<<xn , miN* (i=1,2,n)當(dāng)點(diǎn)x=a在xn右方時(shí)，所有x-

7、xi (i=1,2,n)均為正，故而f(x)為正。而每當(dāng)x=a從xi右側(cè)移動(dòng)到xi左側(cè)時(shí)，若mi為奇，則(x-xi) mi由正變負(fù)，f(x)符號(hào)改變；而若mi為偶，則(x-xi) mi符號(hào)不變，f(x) 符號(hào)也不變，原正仍為正，原負(fù)仍為負(fù)。這里值得一提的是，每當(dāng)x=xi成立，即有f(x)= 0。所以，使用穿根法當(dāng)遇到mi為奇，則穿根線在根xi穿過(guò)序軸；當(dāng)遇到mi為偶，則穿根線與根xi接觸即回，好像被序軸彈了回去。此稱為“奇穿偶回”。二、 步驟（一） 一元高次不等式對(duì)于不等式f(x) >0，其中f(x)為x的高次多項(xiàng)式，用穿根法解的步驟如下：（1）整理原式化為標(biāo)準(zhǔn)型 把f(x)進(jìn)行因式分解

8、，并化簡(jiǎn)為下面的形式：f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2(x-xn) mn >0（或<0），miN* (i=1,2,n)（2） 標(biāo)根在序軸上標(biāo)根 將f(x)=0的n個(gè)不同的根x1,x2,xn按照大小順序標(biāo)在序軸上，將序軸分為n+1個(gè)區(qū)間。（3） 畫線畫穿根線 從最大根右上方開始，按照大小順序依次經(jīng)過(guò)每個(gè)根畫一條連續(xù)曲線，作為穿根線。遇奇次根穿過(guò)序軸，遇偶次根彈回，即“奇穿偶回”。（4） 選解寫出解集 如例圖，在序軸上方的曲線對(duì)應(yīng)的區(qū)間為f(x)>0解集，在序軸下方的曲線對(duì)應(yīng)的區(qū)間為f(x)<0解集。（二） 分式不等式一、先將不等式整理成f(x)/g(x)>

9、;0或f(x)/g(x)<0的形式，其中，f(x)、g(x)為整式。二、f(x)/g(x)>0 f(x)·g(x)>0 f(x)/g(x)<0 f(x)·g(x) <0即將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式再處理。（三） 含等號(hào)的整式、分式不等式對(duì)于整式不等式，要注意寫解集時(shí)將各個(gè)根包括進(jìn)去。一般只需將開區(qū)間符號(hào)改為閉區(qū)間符號(hào)，同時(shí)注意必要時(shí)合并區(qū)間。對(duì)于分式不等式，尤其要注意分母非0。 f(x)/g(x)0 f(x)·g(x)0 且 g(x)0 f(x)/g(x)0 f(x)·g(x)0且 g(x)0這樣就要求在標(biāo)根時(shí)，將能夠使不

10、等式成立的根標(biāo)為實(shí)點(diǎn)，否則標(biāo)為虛點(diǎn)。（四） 注意分式不等式和高次不等式在化簡(jiǎn)時(shí)每一步變形都應(yīng)是不等式的等價(jià)變形。對(duì)于變形中出現(xiàn)的形如x2+px+q=0的因式，若其0，則繼續(xù)分解。若<0，則直接消去，因?yàn)榇藭r(shí)該式恒大于0。三、 應(yīng)用范例例1 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0具體步驟：1 將(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)=0的根記入演算數(shù)據(jù)區(qū)。其中，由于1是偶次根，在其下加一點(diǎn)以區(qū)別于其它奇次根。2 畫有向直線作為序軸，在序軸上由小到大、由左到右標(biāo)根。每標(biāo)一根，在數(shù)據(jù)區(qū)相應(yīng)根下打一標(biāo)記表示已取。標(biāo)偶次根時(shí)，在序軸該根位置上方或下方加一點(diǎn)，即偶次根標(biāo)重

11、（cong）點(diǎn)。3 從最大根2的右上方開始畫穿根線，首先讓線穿過(guò)根2，當(dāng)接著到1時(shí)，由于1是偶次根，附近有重點(diǎn)，故線被彈回。然后線又依次穿過(guò)根-1和-4。如圖。4穿根線與序軸圍成的區(qū)域，序軸上方標(biāo)“+”號(hào)，表示f(x)在該區(qū)間取正值。序軸下方標(biāo)“-”號(hào)，表示f(x)在該區(qū)間取負(fù)值。5 所有的根均不能使不等式成立，故各根均標(biāo)上虛點(diǎn)。6 寫出解集，一般用區(qū)間方式列出。解：用穿根法作圖如右，可知原不等式解集為：(-,-4)(-1,1)(1,2)例2 解不等式：(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-2)0解：用穿根法作圖如右。（注意“奇穿偶回”，每個(gè)根都標(biāo)為實(shí)點(diǎn)。） 可知原不等式解集為：(-,-2-

12、11,2說(shuō)明：也可將原不等式轉(zhuǎn)化為(x+2)(x+1)2(x-1)(x-2)0以后，再用穿根法做。例3 解不等式：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>120解：將原不等式變形：(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)-120>0(x2-5x+4)(x2-5x+6)-120>0(x2-5x)2+10(x2-5x)-96>0(x2-5x+16)(x2-5x-6)>0(x2-5x+16)(x-6)( x+1)>0 x2-5x+16恒大于零，于是得與原不等式同解的不等式(x-6)( x+1)>0對(duì)此也可用穿根法解決，如圖所以，原不等式的解集是：(-,-1

13、)(6,+)例4 解不等式： (3x-5)/( x2+2x-3) 2解：原不等式 (3x-5-2x2-4x+6)/(x2+2x-3)0 (2x2+4x-6-3x+5)/(x2+2x-3)0 (2x2+x-1)/(x2+2x-3)0 (x+1)(2x-1)/(x+3)(x-1)0 (x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)0 且 (x+3)(x-1)0 如圖，用穿根法，注意區(qū)分實(shí)點(diǎn)和虛點(diǎn)，可得原不等式解集為：(-,-3)-1，1/2(1,+ )例5 解關(guān)于x的不等式：(x-1)(x-t)<0解：1) t<1時(shí)，如圖用穿根法，可得原不等式解集為：(t,1) 2） t=1時(shí)，如圖用穿根法，可得原不等式解集為：3） t>1時(shí)，如圖用穿根法，可得原不等式解集為：(1,t)例6 若a±1，解關(guān)于x的不等式 (x-a)/(x+1)(x-1)0解：1) a<-1時(shí)，如圖用穿根法，原不等式解集為：(-,a)(-1,1)2） -1<a<1時(shí)，如圖用穿根法，原不等式解集為：(-, -1)a,1)3） a>1時(shí)，如圖用穿根法，原不等式解集為：(-, -1)(1, a說(shuō)明：解整式、分式不等式注意事項(xiàng)，可記以下口訣：移項(xiàng)調(diào)號(hào)，分解排序，奇穿偶回，分母非零，參數(shù)討論，小心等號(hào)。四、 小結(jié)穿根法通過(guò)序軸、標(biāo)根、穿根線及區(qū)間正負(fù)標(biāo)志，形象的