應(yīng)用回歸分析第8章課后習(xí)題參考答案概要

1、第8章非線性回歸思考與練習(xí)參考答案&1在非線性回歸線性化時(shí)，對(duì)因變量作變換應(yīng)注意什么問題？答：在對(duì)非線性回歸模型線性化時(shí)，對(duì)因變量作變換時(shí)不僅要注意回歸函數(shù)的形式，還要注意誤差項(xiàng)的形式。如：（1）乘性誤差項(xiàng)，模型形式為/AKlPe客，加性誤差項(xiàng)，模型形式為=AKy對(duì)乘法誤差項(xiàng)模型（1）可通過兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成線性模型，（2）不能線性化。一般總是假定非線性模型誤差項(xiàng)的形式就是能夠使回歸模型線性化的形式，為了方便通常省去誤差項(xiàng)，僅考慮回歸函數(shù)的形式。8.2為了研究生產(chǎn)率與廢料率之間的關(guān)系，記錄了如表&15所示的數(shù)據(jù)，請(qǐng)畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)擬合適當(dāng)?shù)幕貧w模型。表&15生

2、產(chǎn)率X（單位/周）1000200030003500400045005000廢品率y(%)5.26.56.88.110.210.313.0解：先畫出散點(diǎn)圖如下圖:12.0010.008.006.001000. 002000. 003000. 001000. 005000. 00從散點(diǎn)圖大致可以判斷出X和y之間呈拋物線或指數(shù)曲線，由此采用二次方程式和指數(shù)函數(shù)進(jìn)行曲線回歸。(1)二次曲線SPSS輸出結(jié)果如下：ModelSummaryRRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimate.981.962.942.651Theindependentvariableis

3、x.ANOVASumofSquaresdfMeanSquareFSig.Regression42.571221.28650.160.001Residual1.6974.424Total44.2696Theindependentariableisx.CoefficientsUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErorBetaX001.001-449891.423x*24.47E-007.0001.4172.812.048(Constant)5.8431.3244.414.012從上表可以得到回歸方程為：0=5.8

4、43-0.087X+4.47X10=由X的系數(shù)檢驗(yàn)P值大于0.05,得到X的系數(shù)未通過顯著性檢驗(yàn)。由X?的系數(shù)檢驗(yàn)P值小于0.05,得到X?的系數(shù)通過了顯著性檢驗(yàn)。(2)指數(shù)曲線ModelSummaryRRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimate.970.941.9291.085Theindependentvariableisx.ANOVASumofSquaresdfMeanSquareFSig.Regression.5731.57379.538.000Residual.0365.007Total.6096Theindependentvriable

5、isx.CoefficientsUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErorBetaX.000.000.9708.918.000(Constant)4.003.34811.514.000Thedependentvariableisln(y).從上表可以得到回歸方程為：44.003e由參數(shù)檢驗(yàn)M直0V0.05,得到回歸方程的參數(shù)都非常顯著。uadiatic!i Exponem 也 1從R2值,(7的估計(jì)值和模型檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值、值及擬合圖綜合考慮,指數(shù)擬合效果更好一些。及3已知變量x與y的樣本數(shù)據(jù)如表8.16,畫出

6、散點(diǎn)圖，試用de1來擬合回歸模型，假設(shè)：(1)乘性誤差項(xiàng)，模型形式為y=ae%(2)加性誤差項(xiàng)，模型形式為y=ae%+表&16序號(hào)Xy序號(hào)Xy序號(hào)Xy14.200.08663.200.150112.200.35024.060.09073.000.170122.000.44033.800.10082.800.190131.800.62043.600.12092.600.220141.600.94053.400.130102.400.240151.401.620解：散點(diǎn)圖:1.500-1.000-0.500-OO°0°oo*0.000-X1.002.003.004.00

7、(1)乘性誤差項(xiàng)，模型形式為y=ae%線性化：lny=lna+(3/x+£令yl=Iny,a=lna,xl=l/x.做yl與xl的線性回歸，SPSS輸出結(jié)果如下:ModelSummaryModelRRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimate1.999*.997.997.04783a.Predictors:(Constant),x1b.DependentVariable:ylAN0VAbModelSumofSquaresdfMeanSquareFSig.1RegressionResidualTotal10.930.03010.9601131

8、410.930.0024778.305.00療a. Predictors:(Constant),xlb. DependentVariable:yCoefficientsModelUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1(Constant)xl-3.8566.080.037.088.999-103.83069.125.000.000a.DependentVariable:y從以上結(jié)果可以得到回歸方程為：yl=-3.856+6.08x1F檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)的P值0V0.05,得到回歸方程及其參數(shù)都非常顯著

9、?；卮鸀樵匠虨椋簓=0-021e-(2)加性誤差項(xiàng)，模型形式為y=ae葉£不能線性化，直接非線性擬合。給初值a=0.021,P=6.08(線性化結(jié)果),NLS結(jié)果如下:ParameterEstimatesParameterEstimateStd.Error95%ConfidenceIntervalLowerBoundUpperBounda.021.001.020.023b6.061.0445.9656.157IterationHistorvIterationNumber-ResidualSumofSquaresParameterab1.0001.0216.0801.1001.021

10、6.0612.0.001.0216.06121.001.021606130.001.021606131001.0216.061ANOVASourceSumofSquaresdfMeanSquaresRegression4.45822.229Residual.00113.000UncorrectedTotal4.45915CorrectedTotal2.46714Dependentvariable:ya.Rsquared=1-(ResidualSumofSquares)/(CorrectedSumofSquares)=1.000.從以上結(jié)果可以得到回歸方程為：y=0.021e-根據(jù)R?-1,參數(shù)

11、的區(qū)間估計(jì)不包括零點(diǎn)且較短，可知回歸方程擬合非常好，且其參數(shù)都顯著。7Predicted Values也4Logistic函數(shù)常用于擬合某種消費(fèi)品的擁有率，表8.17（書上239頁，此處略）是北京市每百戶家庭平均擁有的照相機(jī)數(shù)，試針對(duì)以下兩種情況擬合Logistic回歸函數(shù)。已知U=100,用線性化方法擬合，u未知，用非線性最小二乘法擬合。解：（1）,u=100時(shí)，的線性擬合。對(duì)八一函數(shù)線性化得到：-+bobru1 11111lny-）=1.851-0.264<100inbtinb,y3inT100）,作“J關(guān)于t的線性回歸分析，SPSS輸出結(jié)果如下：ModelSummaryModelR

12、RSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimate1.994'.988.987.16820a.Predictors:(Constant),tb.DependentVariable:y3AN0VAbModelSumofSquaresdfMeanSauareFSig.1Regression39.839139.8391408.165.GGCfResidual.48117.028Total40.32018a.Predictors:(Constant),tb.DependentVariable:y3CoefficientsModelUnstandardize

13、dCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1(Constant)t-1.851264.080.007994-23.039-37.526.000.000a.DependentVariable:y3由表ModelSummary得到，R=0.994趨于1,回歸方程的擬合優(yōu)度好,由表AN0VA得到回歸方程顯著，由Coefficients表得到，回歸系數(shù)都是顯著的，得到方程：吩一舟)一.加264,進(jìn)一步計(jì)算得到:bo=0.157,b=0.768(u=100)回代變量得到最終方程形式為：70.00.150.768*(2)非線性最小二乘擬

14、合，取初值u=100,bo=0.157,b,=0.768：一共循環(huán)迭代8次，得到回歸分析結(jié)果為：ParameterEstimatesParameterEstimateStd.Error95%ConfidenceIntervalLowerBoundUpperBoundu91.0622.03586.74795.377b.211.028.152.271e.727.012.701.753ANOVA"SourceSumofSquaresdfMeanSquaresRegression60774.331320258.110Residual85.369165.336UncorrectedTotal6

15、0859.70019CorrectedTotal15690.38618Dependentvariable:ya.Rsquared=1-(ResidualSumofSquares)/(CorrectedSumofSquares)=.995.R=0.995>0.994,得到回歸效果比線性擬合要好,且:u = 91. 062 ,bo =0.211,八=0. 727 ,回歸方程為：y=-191. 062 +0. 211*0. 72?最后看擬合效果，由sequenee畫圖: Predicated Values得到回歸效果很好，而且較優(yōu)于線性回歸。8.5表&18（書上240頁，此處略）數(shù)據(jù)中

16、GDP和投資額K都是用定基居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）縮減后的，以佃78年的價(jià)格指數(shù)為100。（1）用線性化乘性誤差項(xiàng)模型擬合C-D生產(chǎn)函數(shù)；用非線性最小二乘擬合加性誤差項(xiàng)模型的C-D生產(chǎn)函數(shù)；對(duì)線性化檢驗(yàn)自相關(guān)，如果存在自相關(guān)則用自回歸方法改進(jìn)；對(duì)線性化檢驗(yàn)多重共線性，如果存在多重共線性則用嶺回歸方法改進(jìn)；用線性化的乘法誤差項(xiàng)模型擬合C-D生產(chǎn)函數(shù)；解：（1）對(duì)乘法誤差項(xiàng)模型可通過兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成線性模型。Iny=lnA+aInK+pInL令y'=lny,po=lnA,Xi=lnK,X2=lnL,則轉(zhuǎn)化為線性同歸方程:y'=p。+aXi+P$2+zSPSS輸出結(jié)果如下：模型綜述

17、表ModelSummaryModelRRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimate1.997a.994.993.04836aPredictors:(Constant),InL,InKb.DependentVariable:InY從模型綜述表中可以看到，調(diào)整后的F為0.993,說明C-D生產(chǎn)函數(shù)擬合效果很好，也說明GDP的增長(zhǎng)是一個(gè)指數(shù)模型。方差分析表AN0VAbModelSumofSquaresdfMeanSquareFSig.1Regression8.44624.2231805.601.00(Residual.05122.002Total8.497

18、24a.Predictors:(Constant),1nL,1nKb.DependentVariable:InY從方差分析表中可以看到，F(xiàn)值很大，P值為零，說明模型通過了檢驗(yàn)，這與上述分析結(jié)果一致。系數(shù)表CoefficientsModelUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1(Constant)-1.7851.438-1.241.228InK.801.056.86114.370.000InL.402.171.1412.354.028a.DependentVariable:InY根據(jù)系數(shù)表顯示，

19、回歸方程為：liiYll.785+0.8011I1K+0*4021iiL盡管模型通過了檢驗(yàn)，但是也可以看到，常數(shù)項(xiàng)沒有通過檢驗(yàn)，但在這個(gè)模型里，當(dāng)InK和InL都為零時(shí)，InY為-1.785,即當(dāng)K和L都為1時(shí)，GDP為0.168,也就是說當(dāng)投入資本和勞動(dòng)力都為1個(gè)單位時(shí)，GDP將增加0.168個(gè)單位，這種解釋在我們的承受范圍內(nèi)，可以認(rèn)為模型可以用。最終方程結(jié)果為：y=0.618K。-L(2) 用非線性最小二乘法擬合加性誤差項(xiàng)模型的C-D生產(chǎn)函數(shù)；上述假設(shè)誤差是乘性的，現(xiàn)假設(shè)誤差是加性的情況下使用非線性最小二乘法估計(jì)。初值采用(1)中參數(shù)的結(jié)果，SPSS輸出結(jié)果如下：參數(shù)估計(jì)表Paramete

20、rEstimatesParameterEstimateStd.Error95%ConfidenceIntervalLowerBoundUpperBoundP.407.885-1.4292.243a.868.066.7311.006b.270.243234.774SPSS經(jīng)過多步迭代，最終得到的穩(wěn)定參數(shù)值為P=0.407,a=0.868,b=0.270y=0.407K。-”L。為了比較這兩個(gè)方程，我們觀察下面兩個(gè)圖線性回歸估計(jì)擬合曲線圖25,000-<SDPnGDP5.000-20t000-15t000-10.000-I2345678»1011121314151617181620

21、212223242tSequencenumberPredicted Values非線性最小二乘估計(jì)擬合曲線圖我們知道，乘性誤差相當(dāng)于是異方差的，做了對(duì)數(shù)變換后，乘性誤差轉(zhuǎn)為加性誤差，這種情況下認(rèn)為方差是相等的，那么第一種情況(對(duì)數(shù)變換線性化)就大大低估了GDP數(shù)值大的項(xiàng)，因此，它對(duì)GDP前期擬合的很好，而在后期偏差就變大了，同時(shí)也會(huì)受到自變量之間的自相關(guān)和多重共線性的綜合影響；非線性最小二乘法完全依賴數(shù)據(jù)，如果自變量之間存在比較嚴(yán)重的異方差、自相關(guān)以及多重共線性，將對(duì)擬合結(jié)果造成很大的影響。因此，不排除異方差、自相關(guān)以及多重共線性的存在。(3) 對(duì)線性化回歸模型采用DW檢驗(yàn)自相關(guān)，結(jié)果如下：模

22、型綜述表ModelSummarybModelRRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimateDurbin-Watson1.997a.994.993.04836.715a.Predictors:(Constant),InL,InKb.DependentVariable:InYDW=0.715vl.27,落在自相關(guān)的區(qū)間，所以采用迭代法改進(jìn)DW0=11=0.6425廠9將得到的數(shù)據(jù)再取對(duì)數(shù)，而后用普通最小二乘法估計(jì)，保留DW值模型綜述表ModelSummaryModelRRSauareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimat

23、eDurbinWatson1.9831.967.964478.902711.618a. Predictors:(Constant),Ltt,Kttb. DependentVariable:Ytt方差分析表ANOVA'ModelSumofSquaresdfMeanSquareFSig.1Regression7.55423.777601.286.oocfResidual.13221.006Total7.68623aPredictors:(Constant),InLtt,InKttb.DependentVariable:InYtt系數(shù)表CoefficientsModelUnstandardi

24、zedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1(Constant)-1.8591.470-L265.220InKtt.755.054.85214.098.000InLtt.465.180.1562.577.018a.DependentVariable:InYtt從模型綜述表中可以看到，DW=L618>1.45,認(rèn)為消除了自相關(guān)；方差分析表中可以看到F值很大，P值為零，說明模型通過了檢驗(yàn)。從系數(shù)表可得回歸方程：liiYt=-1.859+0,ySSliiKt+0,46BnLl再迭代回去，最終得方程為：LnytLnyti=

25、-1.859+0755(LnKt-LnKti)+0465(LnLtLnLi)(4) 對(duì)線性化回歸方程通過VIF檢驗(yàn)多重共線性:方差分析表AN0VAbModelSumofSquaresdfMeanSquareFSig.1Regression8.44624.2231805.601.00療Residual.05122.002Total8.49724a. Predictors:(Constant),1nL,1nKb. DependentVariable:InY系數(shù)表CoefficientsModelUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstS

26、ig.CollinearityStatisticsB1Std.ErrorBetaToleranceVIF1(Constant)-1.7851.438241.228InK.801.056.86114.370.000.07713.034InL.402.171.1412.354.028.07713.034aDependentVariable:InY多重共線性診斷表直觀法：從模型綜述表上可以看到，F(xiàn)值很大，而t值很小，這是多重共線性造CollinearityDiagnosticsModelDimensionEigenvalueConditionIndexVarianeeProportions(Constant)InKInL112.9971.000.00.00.002.00330.539.00.09.0031.63E-005429.0121.00.911.00a.DependentVa