單擺實驗教學設計人教版(優(yōu)秀教案)

1、綜合設計性單擺實驗講義毛杰健，楊建榮單擺是由一擺線l連著重量為的擺錘所組成的力學系統(tǒng)，是力學基礎教科書中都要討論的一個力學模型。當年伽利略在觀察比薩教堂中的吊燈擺動時發(fā)現(xiàn)，擺長一定的擺，其擺動周 期不因擺角而變化，因此可用它來計時，后來惠更斯利用了伽利略的這個觀察結果，發(fā)明了 擺鐘。如今進行的單擺實驗，是要進一步精確地研究該力學系統(tǒng)所包含的力學線性和非線性 運動行為。練習一是單擺的基礎實驗，適用于大學低年級開設，練習二是單擺的設計性實驗， 適用于高年級學生學習和認識非線性物理開設。練習一單擺的基礎實驗實驗目的、學會使用計時器和米尺，測準擺的周期和擺長。、驗證擺長與周期的關系，掌握使用單擺測量當

2、地重力加速度的方法。、初步了解誤差的傳遞和合成。二儀器與用具單擺實驗裝置，計時器，米尺。三實驗原理利用單擺測量當?shù)氐闹亓铀俣戎涤靡徊豢缮扉L的輕線懸掛一小球，作幅角日很小的擺動就是一單擺。如圖所示。設小球的質量為，其質心到擺的支點。的距離為l （擺長）。作用在小球上的切向力的大小為mg sin 6 ,它總指向平衡點 O'。當日角很小，則sine,切向力的大小為 mgO ,按牛頓第二定律，質點的運動方程為ma切=-mg sin 0 , 即d汨ml 2dt=-mg sin 日,因為sin6電日,所以駕=3,出2 i()這是一簡諧運動方程（參閱普通物理學中的簡諧振動），（）式的解為e(t)=

3、Pcos(80t 十句,式中，P為振幅，中為幅角，切0為角頻率（固有頻率），T為周期?？梢?圖1單擺示意圖單擺在擺角很小，不計阻力時的擺動為簡諧振動，簡諧振動是一切線性 振動系統(tǒng)的共同特性，它們都以自己的固有頻率作正弦振動，與此同類的系統(tǒng)有：線性彈簧上的振子，振蕩回路中的電流，微波與光學諧振腔中的電磁場，電子圍 繞原子核的運動等，因此單擺的線性振動，是具有代表性的。由（）式可知該簡諧振動固有角頻率80的平方等于g/l,由此得出l2 lT =2冗 J一， g =4幾產，() g1單擺側面圖單擺正面圖圖2單擺結構示意圖由（）式可知，周期只與擺長有關。實驗時，測量一個周期的相對誤差較大，一般是測 量

4、連續(xù)擺動個周期的時間，由（）式得=4二2 n2lt2()式中冗和不考慮誤差，因此（）式的誤差傳遞公式為()從上式可以看出，在 國、N大體一定的情況下，增大l和對測量有利。四實驗內容1、分別用米尺和游標卡尺，測量擺線長和擺球的半徑.擺長l等于擺線長加擺球的半徑。2、當擺球的振幅小于擺長的 工時，擺角日<5'123、如果用停表測量周期，當擺錘過平衡位置 O,時，按表計時，握停表的手和小球同步運動， 為了防止數(shù)錯值，應在計時開始時數(shù)“零”，以后每過一個周期，數(shù)，。以減少測量周期的誤差。4、如果用計時器測量周期，參見附錄有關計時器的使用.5、重力加速度的測量實驗方案一：改變單擺的擺長l

5、,測量在5 <5二的情況下，連續(xù)擺動次的時間，填入表中。表：改變擺長l ,在日<5 =的情況下，連續(xù)擺動次時間的測量結果擺長l ()周期()周期()周期()周期()表的測量數(shù)據(jù)，有二種處理方法：(1)作圖法：根據(jù)表的數(shù)據(jù)，作l直線，在直線上取二點和，求直線斜率K = y1 - y2 ,由()x1 - x2根據(jù)()式求重力加速度(2)計算法：根據(jù)表的數(shù)據(jù) 的重力加速度， 算不確定度.，分別計算，不同擺長 然后取平均，再計式知實驗方案二：不改變單擺的擺長l ,測量在5 <5二的情況下，連續(xù)擺動次的時間。參考“六測量舉例”處理實驗數(shù)據(jù)。測量同一擺長不同擺角下的周期，比較擺角對的影響

6、。 表擺角對周期的影響擺角0 (度)周期()五回答問題、設單擺擺角H接近0一時的周期為To,任意擺角日時周期，二周期間的關系近似為12 1T=T0(1+sin2), 42若在e =10 =條件下測得值，將給值引入多大的相對誤差？、有一擺長很長的單擺，不許直接去測量擺長，你設法用測時間的工具測出擺長?六測量舉例用單擺測表 用游標卡尺測求的直徑()表用米尺測擺線長x1 (cm)x2 (cm)dl =x2 - x1 + 一2表 用電子秒表或用計時器測的值()l =1.1362 ±0.0001 (m),t = 106.88 士 0.02(s),已知 g =4n2l n2/t2,Ag/g/l

7、+2xM/t ,結果 g =9.817 ±0.005(m/s2),上述結果中的0.005(m/s2)僅為標準偏差，未估計其它的不確定度。練習二單擺的設計性實驗一實驗目的、學會用相圖法探究單擺的運動行為。、改變擺線和擺球，考查阻力對單擺運動行為的影響。二實驗原理單擺的線性振動是一種近似，實際上，單擺在振動的過程中，既受到阻力又與擺角有關, 在小阻尼條件下，可認為單擺所受到的阻尼力與擺的速度成正比，因此，在單擺的運動方程 中加進了阻尼力項后，其動力學方程為：d汨d1m l -+ 11 +m g sin 日=0 ,()dt2dt式中，第二項就是單擺受到的阻尼力,尸為阻尼系數(shù)，在小阻尼條件下

8、,了可視為常數(shù)，取P =一，P為無量級阻尼系數(shù)，由（）式，得 2md2 二d?2- +2P +«o sin 0 = 0 , 出 dt（）式為一非線性方程。物體運動的非線性行為比較復雜，下面我們討論（）式的幾種特殊 情況，介紹描述運行行為的相圖法。、小角度無阻尼單擺運行的相軌圖無阻尼情況下，¥ =0（p =0）。正弦函數(shù)用級數(shù)展開為sin 3一二3!5!十7!在小角度情況下，忽略（）式的高次項, 進行一次積分，得sine =日，由式退化到（）式，并對（）式02 r22 = E,d為積分常數(shù)，設 日=2為角速度，則有dt2 =2E,如果設（）式中的 日為橫坐標，e,為縱坐標，（

9、）式表示的圖像如圖所示。把以S和日定義的平面稱為相平面（相空間），在相平面中，表示的運動關系圖稱為相圖，由（）式決定的 單擺運動行為的相圖，為一橢圓，這種在相平面上表示運動狀態(tài)的方法，稱為相平面法。相 圖上每一個點表示了系統(tǒng)在某一時刻的狀態(tài)，如圖中的擺角與角速度運動狀態(tài)圖，系統(tǒng)的運 動狀態(tài)則用相圖上的點的移動來表示，點的運動軌道稱為軌線。這種用相空間里的軌線來表示系統(tǒng)運動狀態(tài)的方法是法國數(shù)學家寵加萊（）于世紀末提出的，已成為廣泛使用的一種描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的方法。對于小擺角無阻尼的單擺運動，擺長I 一定時，其橢圓軌線的長短軸不變，當改變擺長 i時，將得到不同的橢圓軌線。相軌線的測量：選定擺長I,

10、使擺球作小角度擺動，調節(jié)光電門豎直和水平控制桿，使擺 球的檔光片經過光電門，將光電門豎直桿調節(jié)到某一角度，測量擺球經過該位置時，來回的即時速度，角速度 S=v/1。調節(jié)光電門到新的位置，測量結果填入表中，根據(jù)表的測量結果作日S圖。表 小角度無阻尼單擺的角度與角速度的測量結果6向左向右e = v /1向左向右利用0日相軌圖，研究小角度無阻尼的單擺動運行規(guī)律，并與練習一進行比較。、小角度阻尼單擺的運動行為研究將單擺的擺線加粗，擺球的質量減小而體積增大，如用乒乓球，組成一個阻尼單擺，此時阻力對單擺的影響更加明顯，不能忽略，（）式中的¥, P不為零，由于是小角度，可近似認為sinH =日。由

11、（）式得d2ud12.2 +2P +60 6=0,（）dtdt設（）式有如下形式的解e =e”,（）式中，九為待定常數(shù)，將（）式代入（）式，得特征方程九2十2廿九十802 = 0,（）解特征根方程（）式，得%,2 =± V B 2 一切0 ,（）由于單擺是小阻尼，所以P2 -W02 <0,取8=¥%02 P2 ,代入（）式，得%,2 = P 士陵，（）由此，可得（）式的解為C =Ge（羋6t +c2e（""） ne*Cei +c2e*'）,（）因為e為實函數(shù)，所以g,c2必須滿足條件c；etC2ei - ciei t c?et,由此得 g

12、=c2,c2 =。,將滿足這種條件的系數(shù) 0,儲2寫成指數(shù)形式，有P iP 4c1 = e , c2 =e ,22式中，為它們的模，中為幅角，代入（）式，得（）日=pe" cos俾t +中），可見，阻尼單擺是幅度 pe/隨時間作指數(shù)衰減的周期振蕩，且振動頻率 8=寸%；因阻尼P >而減小。為了給出在相平面的圖像，對（）式微分，得（）P p -pe* P cos®t +中）+缶 sin（t +中）。圖3小角度無阻尼單擺運動的相軌線圖4小角度有阻尼單擺運動的相軌圖如果設日為橫坐標，S為縱坐標，借助符號運算軟件，作（）和（）式聯(lián)合的參數(shù)圖，結果如圖所示?？梢?，小角度有阻尼單擺的運動相軌圖為螺旋線，單擺的運動因阻尼的存在， 而停止在坐標的原點，這一點稱為不動點。自行設計實驗方案，測量小角度有阻尼單擺運動的行為，并用相軌圖法，研究阻尼單擺 的運動行為。附錄：單擺的調節(jié)調節(jié)使用說明附錄：計時器的調節(jié)使用說明學習是一件增長知識的工作，在茫茫的學海中，或許我們困苦過，在艱難的競爭中，或許我們疲勞過，在失敗的陰影中，或許我們失望過。但我們發(fā)現(xiàn)自己的知識在慢慢的增長，從啞啞學語的嬰兒到無所不能的青年時，這種奇妙而巨大的變化怎能不讓我們感到驕傲而自豪呢？當我們在學習中遇到困難而艱難的戰(zhàn)勝時，當我們在漫長的奮斗后成功時，那種無與倫比的感受又有誰能表