高三文科數(shù)學(xué)立體幾何平行垂直問(wèn)題專題復(fù)習(xí)(含答案)

1、高三文科數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí):立體幾何平行、垂直問(wèn)題【基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)】一、平行問(wèn)題1 直線與平面平行的判定與性質(zhì)定義判定定理性質(zhì)性質(zhì)定理圖形條件a結(jié)論abaab2. 面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件，a結(jié)論aba平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：二、垂直問(wèn)題一、直線與平面垂直1直線和平面垂直的定義：直線l與平面內(nèi)的 都垂直，就說(shuō)直線l與平面互相垂直2直線與平面垂直的判定定理及推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 推論如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直這個(gè)平面3直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理垂直于

2、同一個(gè)平面的兩條直線平行4.直線和平面垂直的常用性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩平面平行二、平面與平面垂直1平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直2平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面【典例探究】類型一、平行與垂直例1、如圖，已知三棱錐中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，且為正三角形。（）求證：平面；（）求證：平面平面；（）若，求三棱錐的體積。ABCA1B1C1MN例2. 如圖，已知三棱柱中，底面，分別是棱，中點(diǎn)

3、. （）求證：平面； （）求證：平面；（）求三棱錐的體積【變式1】. 如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，且，分別是的中點(diǎn)。（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）設(shè)，求三棱錐的體積。二、線面平行與垂直的性質(zhì)例3、如圖4，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知， （1）求證：平面； （2）求三棱錐的體積例4、如圖，四棱錐PABCD中，平面ABCD，底面為正方形，BC=PD=2，E為PC的中點(diǎn)， （I）求證：； （II）求三棱錐CDEG的體積； （III）AD邊上是否存在一點(diǎn)M，使得平面MEG。若存在，求AM的長(zhǎng)；否則，說(shuō)明理由?！咀兪?】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD

4、是直角梯形，BADADC90°，AB2AD2CD2.()求證：AC平面BB1C1C；() A1B1上是否存一點(diǎn)P，使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論.4422444正視圖側(cè)視圖俯視圖三、三視圖與折疊問(wèn)題例5、如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。若為的中點(diǎn)，求證：面；（1） 證明：面；（2） 求三棱錐的體積。ABEPDC例6.已知四邊形是等腰梯形，（如圖1）?，F(xiàn)將沿折起，使得（如圖2），連結(jié)。（I）求證：平面平面；（II）試在棱上確定一點(diǎn)，使截面把幾何體分成兩部分的體積比；（III）在點(diǎn)滿足（II）的情況下，判斷直線是否平行于平面，并說(shuō)明理由。圖1圖2

5、【變式3】一個(gè)四棱錐的直觀圖和三視圖如下圖所示，E為PD中點(diǎn).科網(wǎng)（I）求證：PB/平面AEC；（II）求四棱錐的體積；（）若F為側(cè)棱PA上一點(diǎn)，且，則為何值時(shí)，平面BDF. 【變式4】如圖1所示，正的邊長(zhǎng)為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)。現(xiàn)將沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如圖2）（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求三棱錐C-DEF的體積。四、立體幾何中的最值問(wèn)題例7.圖4，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，A1A= AB=2.(1)求證: BC平面A1AC；(2)求三棱錐A1

6、-ABC的體積的最大值.圖4ABCA1例8. 如圖，在交AC于 點(diǎn)D,現(xiàn)將（1）當(dāng)棱錐的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為【變式5】如圖3，已知在中，平面ABC，于E，于F，當(dāng)變化時(shí)，求三棱錐體積的最大值。高三文科數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí):立體幾何平行、垂直問(wèn)題（答案）【典例探究】例1解：（），又（）為正三角形,且為中點(diǎn)， 又由（1）知 又已知 ，又,平面平面, （），,又，例2.（）證明：因?yàn)槿庵?，底面又因?yàn)槠矫妫?所以. 1分ABCA1B1C1MNG因?yàn)椋侵悬c(diǎn)，所以. 2分因?yàn)椋?3分所以平面 4分（）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，分別是棱，中點(diǎn)，所以，. 又因?yàn)?，所以?所以

7、四邊形是平行四邊形. 6分所以. 7分因?yàn)槠矫妫矫妫?8分所以平面 9分（）由（）知平面. 10分所以. 13分變式1.（1）根據(jù)中點(diǎn)尋找平行線即可；（2）易證，在根據(jù)勾股定理的逆定理證明；（3）由于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，故點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面距離的，求出高按照三棱錐的體積公式計(jì)算即可。【解析】（1）取中點(diǎn)，連接平行四邊形，平面，平面，平面。 （4分）（2）等腰直角三角形中為斜邊的中點(diǎn)，又直三棱柱，面面，面，設(shè)又面。 （8分）（3）由于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，故點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面距離的。，所以三棱錐的高為；在中，所以三棱錐的底面面積為，故三棱錐的體積為。（12分）二、線面平行與垂直的性質(zhì)例3.（

8、1）證明：在中，由于， . 2分 又平面平面，平面平面，平面，平面. 4分（2）解：過(guò)作交于.又平面平面， 平面 6分是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形， .由（1）知，在中，斜邊邊上的高為. 8分，. 10分. 14分例4、（I）證明：平面ABCD， 又ABCD是正方形，BCCD， PDICE=D， BC平面PCD又PC面PBC，PCBC （II）解：BC平面PCD，GC是三棱錐GDEC的高。E是PC的中點(diǎn)， （III）連結(jié)AC，取A C中點(diǎn)O，連結(jié)EO、GO，延長(zhǎng)GO交AD于點(diǎn)M，則PA/平面MEG。下面證明之E為PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，EO/平面PA，又，PA/平面MEG在正方形ABCD中，O是

9、AC中點(diǎn)， 所求AM的長(zhǎng)為變式2.證明：()直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BAD=ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，AC=，CAB=45°，BC=，BCAC.又BB1BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.()存在點(diǎn)P，P為A1B1的中點(diǎn)。證明：由P為A1B1的中點(diǎn)，有PB1AB，且PB1=AB. 又DCAB，DC=AB，DCPB1，且DC=PB1，DCB1P為平行四邊形，從而CB1DP.又CB1ACB1,DP面ACB1，DP面ACB1.同理，DP面BCB1.4422444正視圖側(cè)視圖俯視圖ABEPDC例

10、5、（1）由幾何體的三視圖可知，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，面，為中點(diǎn)，又面。（2）取的中點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，故為平行四邊形，面。（3）例6.答案略變式3.解：（）由三視圖得，四棱錐底面ABCD為菱形,棱錐的高為3,設(shè),則即是棱錐的高,底面邊長(zhǎng)是2，連接，分別是的中點(diǎn)， （2）（3）過(guò)作-10分-12分-14分變式4.解：（1）判斷：AB/平面DEF.2分M證明：因在中，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，有EF/AB.5分又因AB平面DEF，EF平面DEF.6分所以AB/平面DEF.7分（2）過(guò)點(diǎn)E作EMDC于點(diǎn)M，面ACD面BCD，面ACD面BCDCD，而EM面ACD故EM平面BCD 于是EM是三棱錐E

11、-CDF的高.9分又CDF的面積為EM11分故三棱錐C-DEF的體積為四、立體幾何中的最值問(wèn)題例7.圖4ABCA1證明:C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，AB是圓柱底面圓的直徑，BCAC, 2分AA1平面ABC，BCÌ平面ABC，AA1BC， 4分AA1AC=A，AA1Ì平面AA1 C，ACÌ平面AA1 C，BC平面AA1C. 6分(2)解法1：設(shè)AC=x，在RtABC中，(0<x<2) , 7分故(0<x<2),9分即. 11分0<x<2，0<x2<4，當(dāng)x2=2，即時(shí)，三棱錐A1-ABC的體積的最大值為. 14分解法2: 在RtABC中，AC2+BC2=AB2=4， 7分 9分. 11分當(dāng)且僅當(dāng) AC=BC 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)AC=BC=.例8.解：（1）設(shè)，則 令 則 單調(diào)