高考圓錐曲線壓軸題型總結(jié)

1、高考圓錐曲線壓軸題型總結(jié)直線與圓錐曲線相交，一般采取設(shè)而不求，利用韋達(dá)定理，在這里我將這個(gè)問(wèn)題分成了三種類型，其中第一種類型的變式比較多。而方程思想，函數(shù)思想在這里也用得多，兩種思想可以提供簡(jiǎn)單的思路，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是只需考慮未知數(shù)個(gè)數(shù)和條件個(gè)數(shù),。使用韋達(dá)定理時(shí)需注意成立的條件。題型4有關(guān)定點(diǎn)，定值問(wèn)題。將與之無(wú)關(guān)的參數(shù)提取出來(lái)，再對(duì)其系數(shù)進(jìn)行處理。（湖北卷）設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由.（I）解法1：依題意，可

2、設(shè)直線AB的方程為，整理得 設(shè)的兩個(gè)不同的根， 是線段AB的中點(diǎn)，得解得k=-1，代入得，>12，即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為解法2：設(shè)依題意，（II）解法1：代入橢圓方程，整理得 的兩根，于是由弦長(zhǎng)公式可得 將直線AB的方程 同理可得 假設(shè)在在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當(dāng)時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角 由式知，式左邊=由和知，式右邊= 式成立，即A、B、C、

3、D四點(diǎn)共圓解法2：由（II）解法1及.代入橢圓方程，整理得 將直線AB的方程代入橢圓方程，整理得解和式可得 不妨設(shè)計(jì)算可得，A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓.（注：也可用勾股定理證明ACAD）【點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)可以作為直線與圓的知識(shí)點(diǎn)，第二問(wèn)就作為函數(shù)思想算了，未知數(shù)一個(gè)嘛。（06遼寧卷）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求P的值?！窘馕觥?I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑

4、證明2: 整理得: .(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: (1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因?yàn)閤-2y+2=0與無(wú)公共點(diǎn),所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為將(

5、2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則又因當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .(山東理)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (II)設(shè)，由得，.以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，解得，且滿足.當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（07湖南理）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲

6、線相交于兩點(diǎn)（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡(jiǎn)得當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸

7、垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 由得當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，以上同解法一的（II）是題型1簡(jiǎn)單類型，其實(shí)重點(diǎn)是一個(gè)有關(guān)定值問(wèn)題。（07湖北）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由（此題不要求在答題卡上畫圖）ABxyNCO19本小題主要考查直線、圓

8、和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力解法1：（）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得NOACByx由韋達(dá)定理得，于是，當(dāng)時(shí)，（）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，NOACByxl則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線解法2：（）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得從而，當(dāng)時(shí)，（）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有令，得，此時(shí)為定值，故滿足

9、條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線（2010江蘇卷）18、（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。解析 本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾檫\(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力。滿分16分。（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢

10、圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為： 令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。因此，直線MN必過(guò)軸上的點(diǎn)（1，0）。（2009江蘇卷）（本小題滿分1

11、6分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)?！窘馕觥?本小題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問(wèn)題的能力。滿分16分。(1)設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得： 化簡(jiǎn)得：求直線的方程為：或，即或(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：21世紀(jì)教育網(wǎng) ，即：因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相

12、等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：圓心到直線與直線的距離相等。 故有：，化簡(jiǎn)得：關(guān)于的方程有無(wú)窮多解，有： 21世紀(jì)教育網(wǎng) 解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。題型5：函數(shù)思想，方程思想為主要思路解題。簡(jiǎn)單的說(shuō)就是看題目中未知數(shù)個(gè)數(shù)與條件個(gè)數(shù)。此題可作為函數(shù)思想的例題，點(diǎn)p含（橫坐標(biāo)已知）未知數(shù)一個(gè)，角可以表示成未知數(shù)的函數(shù)，利用函數(shù)求最值。 (05浙江) 17如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若直線l1：xm(|m|1)，P為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用m

13、表示)OF2F1A2A1PM解：（）設(shè)橢圓方程為（），半焦距為c, 則,由題意，得 ,解得 故橢圓方程為（II）設(shè)P(當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 只需求的最大值即可。直線的斜率，直線的斜率當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，最大，函數(shù)思想（未知數(shù)一個(gè)k，而面積是k的函數(shù)），弦長(zhǎng)公式（也是第一種類型的應(yīng)用）2.(全國(guó)卷II)、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)已知與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值 QPNMFO解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQMN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過(guò)點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(

14、2+)+21=0設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則從而亦即(1)當(dāng)0時(shí)，MN的斜率為，同上可推得 故四邊形面積令=得=2當(dāng)=±1時(shí)=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)當(dāng)=0時(shí)，MN為橢圓長(zhǎng)軸，|MN|=2，|PQ|=。S=|PQ|MN|=2綜合知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。設(shè)直線AB的方程未知數(shù)一個(gè)，利用N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，可消掉次未知數(shù)。點(diǎn)評(píng)：可以設(shè)直線方程斜截式，未知數(shù)兩個(gè)再+t共3個(gè)，條件兩個(gè)：相切與當(dāng)t取某個(gè)值的時(shí)候就可以求出來(lái)。題型一：條件和結(jié)論可以直接或經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后可用兩根之和與兩根之積來(lái)處理1. 福建 直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)(1,0)過(guò)作直線

15、的垂線，垂足為點(diǎn)，且（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，求的值；本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力滿分14分PBQMFOAxy解法一：（）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡(jiǎn)得（）設(shè)直線的方程為：設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，2所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：（）由已知，得則：過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：由得：，即2. (全國(guó)卷)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共

16、線。（）求橢圓的離心率；（）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。解：設(shè)橢圓方程為則直線AB的方程為，代入，化簡(jiǎn)得.令A(yù)（），B），則由與共線，得又，即，所以，故離心率（II）證明：（1）知，所以橢圓可化為設(shè)，由已知得 在橢圓上，即由（1）知又，代入得故為定值，定值為1.3.如圖、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn).（）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，值有,求a的取值范圍.本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí)，考查分類與整合思想，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分12分.

17、 解法一：()設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，因?yàn)镸NF為正三角形， 所以, 即1 因此，橢圓方程為()設(shè)()當(dāng)直線 AB與x軸重合時(shí)， ()當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)， 設(shè)直線AB的方程為：整理得 所以 因?yàn)楹阌?，所以AOB恒為鈍角. 即恒成立. 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對(duì)mR恒成立，即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對(duì)mR恒成立.當(dāng)mR時(shí)，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,因?yàn)閍>0,b>0,所以a<b2,即a

18、2-a-1>0,解得a>或a<(舍去)，即a>,綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x=1代入=1.因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1,解得a>或a<(舍去)，即a>.（ii）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)A（x1,y1）, B（x2,y2）.設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2<|AB

19、|2,所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y2<0恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2=(1+k2).由題意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0對(duì)kR恒成立.當(dāng)a2- a2 b2+b2>0時(shí)，不合題意；當(dāng)a2- a2 b2+b2=0時(shí)，a=;當(dāng)a2- a2 b2+b2<0時(shí)，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,解得a2>或a2>（舍去），a&g

20、t;，因此a.綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）解法1中的轉(zhuǎn)化才是亮點(diǎn)。4. 2010浙江理數(shù)）(21) （本題滿分15分）已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn). （）當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的重心分別為.若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解析：本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 （）解：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以,得，又因?yàn)椋?，故直線的方程為。（）解：設(shè)。 由，消去得 則由，知，且有。由于，故為的中點(diǎn)，由，可知設(shè)是的中點(diǎn)，則，由題意可知即即而所以即又因?yàn)?/p>

21、且所以。所以的取值范圍是。原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，也可以像第3題一樣處理，利用且不反向。5. （2010浙江文數(shù)）（22）、（本題滿分15分）已知m是非零實(shí)數(shù)，拋物線（p>0）的焦點(diǎn)F在直線上。（I）若m=2，求拋物線C的方程（II）設(shè)直線與拋物線C交于A、B，A,的重心分別為G,H求證：對(duì)任意非零實(shí)數(shù)m,拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的焦點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓外。也可以用第3題的思路6.（2009全國(guó)卷）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)。（）求r的取值范圍（）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：（

22、）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得（1）拋物線與圓相交于、四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程（1）有兩個(gè)不相等的正根即。解這個(gè)方程組得.（II） 設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、。則由（I）根據(jù)韋達(dá)定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。法2：設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、則直線AC、BD的方程分別為解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為。設(shè)，由及（）得 由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積則將，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為7. (2009湖北卷理)（本小題滿分14分）（

23、注意：在試題卷上作答無(wú)效）過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。 （）當(dāng)時(shí)，求證：；（）記、 、的面積分別為、，是否存在，使得對(duì)任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。解：依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有21世紀(jì)教育網(wǎng) 由消去x可得 從而有 于是 又由，可得 （）如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線此時(shí) 可得證法1： 21世紀(jì)教育網(wǎng) 證法2： ()存在，使得對(duì)任意的，都有成立，證明如下：證法1：記直線與x軸的交點(diǎn)為,則。于是有 將、代入上式化簡(jiǎn)可得上式恒成立，即對(duì)任意成立 證法2：如圖2，連接,則由可得,所以直線經(jīng)過(guò)原

24、點(diǎn)O，同理可證直線也經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O又設(shè)則8. （2010全國(guó)卷1理數(shù)）（21）(本小題滿分12分) 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.（）證明：點(diǎn)F在直線BD上；（）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程 .9. （2010全國(guó)卷2理數(shù)）（21）（本小題滿分12分） 己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為 （）求C的離心率； （）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，證明：過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切【點(diǎn)評(píng)】高考中的解析幾何問(wèn)題一般為綜合性較強(qiáng)的題目，命題者將好多考點(diǎn)以圓錐曲線為背景來(lái)考查，如向量問(wèn)題、三角形問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題等等，試題的難度相對(duì)比較穩(wěn)定.用焦

25、半徑不行嗎？10.（2010山東文數(shù)）（22）（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn).，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、.點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）設(shè)直線、的斜線分別為、.（i）證明：；（ii）問(wèn)直線上是否存在點(diǎn)，使得直線、的斜率、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.題型二：出現(xiàn)情形，兩根的關(guān)系不能直接使用使用韋達(dá)定理，可將兩根的關(guān)系帶入韋達(dá)定理。聯(lián)考中葉是經(jīng)常出現(xiàn)的。（2010遼寧文數(shù)）（20）（本小題滿分12分） 設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓 相交于,兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，

26、到直線的距離為.（）求橢圓的焦距；（）如果,求橢圓的方程.解：（）設(shè)焦距為，由已知可得到直線l的距離所以橢圓的焦距為4.（）設(shè)直線的方程為聯(lián)立解得因?yàn)榧吹霉蕶E圓的方程為題型三;直線與圓錐曲線，已知其中一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可迅速求出另外一個(gè)交點(diǎn)。OABEFM1. （05江西卷）如圖，M是拋物線上y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB. （1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值； （2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且EMF=90°，求EMF的重心G的軌跡解：（1）設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(l>0)則直線MF的斜率為k，方程為由，消解得(定值)所以直線EF的斜率

27、為定值（2）直線ME的方程為由得同理可得設(shè)重心G（x, y），則有消去參數(shù)得2. 09浙江文）（本題滿分15分）已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為 （I）求與的值； （II）設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)若是的切線，求的最小值解析（）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：，根據(jù)拋物線定義點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得（）由題意知，過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。則，當(dāng) 則。聯(lián)立方程，整理得：即：，解得或，而，直線斜率為 21世紀(jì)教育網(wǎng) ，聯(lián)立方程整理得：，即： ，解得：，或，而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率：MN

28、是拋物線的切線， 整理得，解得（舍去），或，3.05天津卷）拋物線C的方程為，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P(x0,y0)(x 00)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同)，且滿足.（）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；（）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.解：（）由拋物線的方程（）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解將式代入式得，于是，故又點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解將式代入式得于是，故由已

29、知得，則設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，則將式和式代入上式得，即線段的中點(diǎn)在軸上（）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，拋物線方程為由式知，代入得將代入式得，代入得因此，直線、分別與拋物線的交點(diǎn)、的坐標(biāo)為，于是，因?yàn)殁g角且、三點(diǎn)互不相同，故必有求得的取值范圍是或又點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即06湖北卷）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（）、求橢圓的方程；（）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力。解：（）依

30、題意得 a2c，4，解得a2，c1，從而b.故橢圓的方程為 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.M點(diǎn)在橢圓上，y0（4x02）. 又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，2<x0<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）.從而（x02，y0），（2，）.·2x04（x0243y02）. 將代入，化簡(jiǎn)得·（2x0）.2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，2<x2<

31、2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又直線AP的方程為y，直線BP的方程為y，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x4上，即y2 又點(diǎn)M在橢圓上，則，即 于是將、代入，化簡(jiǎn)后可得.從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。用了題型3與題型1，對(duì)B在圓內(nèi)處理方法比較好。(06重慶卷)如圖，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，是拋物線上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線角拋物線于另一點(diǎn)。（）試證：；（）取，并記為拋物線上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)。試證：；證明：（）對(duì)任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0,1）,所以可設(shè)直線的方程為將它與拋物線

32、方程聯(lián)立得: ,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得（）對(duì)任意固定的利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為： ，類似地，可求得在處的切線的方程為：，由得：，將代入并注意得交點(diǎn)的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間的距離公式得：現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：（2009江西卷文）（本小題滿分14分）如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點(diǎn). （1）求圓的半徑;（2）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)，G證明：直線與圓相切 解: （1）設(shè)，過(guò)圓心作于,交長(zhǎng)軸于由得,即 (1) 而點(diǎn)在橢圓上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為: (3)則

33、,即 (4)解得將(3)代入得,則異于零的解為設(shè),，則則直線的斜率為：于是直線的方程為: 即則圓心到直線的距離 21世紀(jì)教育網(wǎng) 故結(jié)論成立.已知M可以求出e,f 分別用兩個(gè)斜率表示設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為（）證明；（）求使得下述命題成立：設(shè)圓上任意點(diǎn)處的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，則（22）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力滿分14分（）證法一：由題設(shè)及，不妨設(shè)點(diǎn)，其中，由于點(diǎn)在橢圓上，有，解得，從而得到，直線的方程為，整理得由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即，將

34、代入原式并化簡(jiǎn)得，即證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知，故由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：圓上的任意點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí)，圓上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)和，因此點(diǎn)，的坐標(biāo)是方程組的解當(dāng)時(shí)，由式得代入式，得，即，于是，若，則所以，由，得在區(qū)間內(nèi)此方程的解為當(dāng)時(shí)，必有，同理求得在區(qū)間內(nèi)的解為另一方面，當(dāng)時(shí)，可推出，從而綜上所述，使得所述命題成立四川卷21）（本小題滿分12分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線為，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（）若，求的值；（）證明：當(dāng)取最小值時(shí)，與共線。【解】：由與，得 ，的方程為設(shè)則由得 （）由，

35、得 由、三式，消去，并求得故（）當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取最小值此時(shí)，故與共線。【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察橢圓中的基本量的關(guān)系，進(jìn)而求橢圓待定常數(shù)，考察向量的綜合應(yīng)用；【突破】：熟悉橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，熟練地進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問(wèn)題中的靈活應(yīng)用。(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b&

36、gt;0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 21世紀(jì)教育網(wǎng) 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 21世紀(jì)教育網(wǎng) 當(dāng)時(shí),.當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)

37、為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.題型6拋物線單獨(dú)作為一種題型處理，因?yàn)樗丝捎靡陨戏椒ㄍ?，還有其獨(dú)有的方法。至少設(shè)點(diǎn)的時(shí)候有特點(diǎn)。（05江西卷）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).OABPF（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方法1：因?yàn)橛捎赑點(diǎn)在拋物線外，則同理有AFP=PFB.方法2：當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：即所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.(全國(guó)卷III) 設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上