高等數(shù)學(xué)公式定理整理

1、高等數(shù)學(xué)公式定理整理1.01版本定理，公式整理僅用于參考，具體學(xué)習(xí)請(qǐng)多做題目以增進(jìn)對(duì)知識(shí)的掌握。藍(lán)色為定理 紅色為公式 三角函數(shù)恒等公式：兩角和差和差化積積化和差倍角公式（部分）：很重要！1、 函數(shù)函數(shù)的特性：1. 有界性：假設(shè)函數(shù)在D上有定義，如果存在正數(shù)M，使得對(duì)于任何的xD都滿(mǎn)足|f(x)|M。則稱(chēng)f（x）是D的有界函數(shù)。如果正數(shù)M不存在，則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是D上的無(wú)界函數(shù)。2. 單調(diào)性設(shè)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID。X1，x2I，那么，如果x1<x2,那么就是單調(diào)增加函數(shù)；如果x1>x2,那么就是單調(diào)減少函數(shù)。3. 奇偶性如果f(-x)=f(x),那就成為偶函數(shù)，如果f(-x)

2、=-f(x)，那就是奇函數(shù)。4. 周期性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在不為零的數(shù)T，使得任一xD有（x±T）D，且f（x±T）=f（x）總是成立，就稱(chēng)該函數(shù)為周期函數(shù)，如sin x，cos x，它們就是以2為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)：就是用自變量X來(lái)表示原函數(shù)Y，如下列式子：原函數(shù)f(x)=x+5，它的反函數(shù)為x=f(x)-5,也就是f（x）=x-5；復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)：重要?。毫鶄€(gè)基本初等函數(shù)是：冪函數(shù)（xa）,指數(shù)函數(shù)（ax），對(duì)數(shù)函數(shù)（logax，lg x【log10x】，ln x【logex】），三角函數(shù)（sinx，cosx，tanx，ctnx，secx，cscx），反三

3、角函數(shù)（常見(jiàn)反三角函數(shù)為arcsinx，arccosx，arctanx）復(fù)合函數(shù)就是初等函數(shù)，初等函數(shù)是基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的運(yùn)算后得到的，分段函數(shù)不是初等函數(shù)。2、 極限與連續(xù)極限就是一個(gè)數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)值，函數(shù)極限就是函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)值，用limxx0 f（x）=A如何得知一個(gè)函數(shù)有極限？算出左極限和右極限。并且左右極限相等。極限運(yùn)算法則limxx0 f（x）±g(x)=limxx0 f（x）±limxx0 g（x）=A±Blimxx0 cf（x）=climxx0 f（x）=cAlimxx0 f（x）·limxx0 g（x）=limxx0 f（x

4、）·g（x）=A·B=（B0）重要?。簝蓚€(gè)重要極限1. 夾逼準(zhǔn)則如果xn，yn，zn 滿(mǎn)足xnynzn 那么這就是夾逼準(zhǔn)則。2.圖 1如圖1，AOC=x（0<x<2/），由于|BD|=x，弧BC=x，|CA|=tan x且OBC面積扇形OBC面積AOC面積，于是有：化簡(jiǎn)兩邊同時(shí)除以sinx根據(jù)夾逼準(zhǔn)則得出所以3. （這是標(biāo)準(zhǔn)公式，題目有類(lèi)似的把它轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)公式即可）4. 無(wú)窮大量和無(wú)窮小量（1） 性質(zhì)1，無(wú)窮小量和有界函數(shù)的積仍為無(wú)窮小量（2） 性質(zhì)2，兩個(gè)無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量（3） 性質(zhì)3，兩個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍為無(wú)窮小量定理1，在自變量變化過(guò)程中，函數(shù)有

5、極限的充分必要條件是函數(shù)可寫(xiě)成常數(shù)和無(wú)窮小量的和。定理2，b與a是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為b=a+o（a）定理3,設(shè)aa,bb，且limb/a存在，則lima/b=lima/b。無(wú)窮小量的比較： 其中等價(jià)無(wú)窮小可運(yùn)用到極限運(yùn)算中（加減關(guān)系不能用，乘除關(guān)系可以用，且x趨于0）等價(jià)公式：當(dāng)x0時(shí)，sinxx ，tanxx， arcsinxx ，arctanxx ，1-cosx(1/2)*（x2）secx-1， （ax）-1x*lna (（ax-1)/xlna)， （ex）-1x ，ln(1+x)x ，(1+Bx)a-1aBx，(1+x)1/n-1（1/n）*x，loga(1+x)x/lna ，（

6、1+x)a-1ax(a0)，5. 連續(xù)定義 設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若lim（x0）y=0，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在x0這個(gè)點(diǎn)連續(xù)。條件：（1）f（x0）有定義，有數(shù)值；（2）lim（xx0）有極限，（3）且左右極限相等；才連續(xù)。左右連續(xù)和左右極限相同，如圖：就是說(shuō)只有左右連續(xù)相等，且有定義，那么才連續(xù)。（1） 間斷點(diǎn)根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義，可以分成四個(gè)間斷點(diǎn)?？扇ラg斷點(diǎn)：左右極限存在且相等，但是卻沒(méi)有定義。跳躍間斷點(diǎn)：左右極限存在卻不相等，在該點(diǎn)有（無(wú)）定義。震蕩間斷點(diǎn)：極限不存在，函數(shù)值在幾個(gè)數(shù)之間搖擺。無(wú)窮間斷點(diǎn)：在區(qū)間內(nèi)極限區(qū)域無(wú)窮大。閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：1、 a,b區(qū)間里

7、連續(xù)函數(shù)，必定存在最小值和最大值；2、 函數(shù)f（x）在a,b區(qū)間連續(xù)，則在a,b必定有界；3、 若函數(shù)f(x)在a,b連續(xù)，且f(a)=A,f(b)=B,又AB，C是介于A，B的一個(gè)值，則必定存在一個(gè)點(diǎn)，使得f（）=C；4、 若函數(shù)f(x)在a,b連續(xù)，且f(a)，f(b)異號(hào)，則一定存在一個(gè)x0（a，b），使得f（x0）=0；3、 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是f(x)在x點(diǎn)函數(shù)的切線(xiàn)的斜率；求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)；導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式： 1.y=c(c為常數(shù)) y'=02.y=xn y'=nx(n-1)3.y=ax y'=axlnay=ex y'=ex

8、y=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos2x8.y=cotx y'=-1/sin2x9.y=arcsinx y'=1/1-x210.y=arccosx y'=-1/1-x211.y=arctanx y'=1/1+x212.y=arccotx y'=-1/1+x2函數(shù)的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：鏈?zhǔn)椒▌t：例：隱函數(shù)求導(dǎo)法：（1） 兩端同時(shí)求導(dǎo)（2） 等式兩端取對(duì)數(shù)1. 先將等式兩邊取自然對(duì)數(shù)；2.對(duì)等式兩邊求導(dǎo)；參數(shù)方程求導(dǎo)法：羅爾定理：a

9、,b連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且f(a)=f(b),則有一個(gè)數(shù)，使得f()=0。拉格朗日定理：a,b連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，則(a,b)至少有一點(diǎn)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)即羅必塔法則，求極限，如果函數(shù)的關(guān)系諸如或者的未定式，可以直接對(duì)分子分母求導(dǎo)運(yùn)算。如果是 0·時(shí)可通過(guò)來(lái)求。如果是0-0或-可以通分來(lái)求。函數(shù)的單調(diào)性和極值：四步走：1.求定義域；2.求導(dǎo)；3.在定義域中求一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)（駐點(diǎn)）；4.列表說(shuō)明單調(diào)增減函數(shù)的凹凸率，1.求定義域；2.求二階導(dǎo)；3.求定義域中二階導(dǎo)為0的點(diǎn)（拐點(diǎn)）；4.根據(jù)拐點(diǎn)和定義域列表。二階導(dǎo)為正數(shù)則是凹，為負(fù)數(shù)則是凸；4、 不定積分不

10、定積分和導(dǎo)數(shù)是逆運(yùn)算關(guān)系；不定積分求法分三種：直接積分（直接使用基本公式求）；第一類(lèi)換元積分（用一個(gè)字母代替變量，如：）；第二類(lèi)換元積分法（當(dāng)被積函數(shù)中有諸如這樣的根式，可令根式為u，然后依次往下，帶入原式）；分部積分法：5、 定積分1. 求定積分上限函數(shù)和下限函數(shù)2.牛頓拉布尼茨公式（用不定積分的公式求，最后不加常數(shù)c）3.廣義積分（積分上（下）限無(wú)窮和瑕積分）（1）積分區(qū)間的無(wú)窮區(qū)間即求廣義積分的斂散性，如果（2） 瑕積分（在無(wú)窮間斷點(diǎn)的廣義積分）這題可別被外表蒙蔽，因?yàn)楹瘮?shù)極限在f（0）外連續(xù)，在f（0）處無(wú)定義，所以x=0是被積函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)；于是：6、 微分方程1. 可分離變量的通解，直接計(jì)算2. 齊次方程通解，用u代替3. 一階線(xiàn)性非齊次方程的通解形如附：一階線(xiàn)性齊次方程的通解4. 可降解二階微分方程通解5. 二階線(xiàn)性齊次方程通解形如參數(shù)方程求法如果r1，r2是不相同的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（單根），那么如果r1，r2是兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根（重根），那么如果r1，r2是兩個(gè)非實(shí)數(shù)根（共軛復(fù)數(shù)根），那么二階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解二階線(xiàn)性非齊次方程的通解等于 對(duì)應(yīng)二階線(xiàn)性