高中物理復(fù)習——彈簧專題

1、一、“輕彈簧”類問題在中學(xué)階段，凡涉及的彈簧都不考慮其質(zhì)量，稱之為“輕彈簧”，是一種常見的理想化物理模型.由于“輕彈簧”質(zhì)量不計，選取任意小段彈簧，其兩端所受張力一定平衡，否則，這小段彈簧的加速度會無限大.故輕彈簧中各部分間的張力處處相等，均等于彈簧兩端的受力.彈簧一端受力為，另一端受力一定也為,若是彈簧秤，則彈簧秤示數(shù)為.圖 3-7-1【例1】如圖3-7-1所示，一個彈簧秤放在光滑的水平面上，外殼質(zhì)量不能忽略，彈簧及掛鉤質(zhì)量不計，施加彈簧上水平方向的力和稱外殼上的力，且，則彈簧秤沿水平方向的加速度為 ，彈簧秤的讀數(shù)為 .【解析】 以整個彈簧秤為研究對象，利用牛頓運動定律得： ，即僅以輕質(zhì)彈簧

2、為研究對象，則彈簧兩端的受力都，所以彈簧秤的讀數(shù)為.說明:作用在彈簧秤外殼上，并沒有作用在彈簧左端，彈簧左端的受力是由外殼內(nèi)側(cè)提供的.【答案】 二、質(zhì)量不可忽略的彈簧圖 3-7-2 【例2】如圖3-7-2所示，一質(zhì)量為、長為的均質(zhì)彈簧平放在光滑的水平面,在彈簧右端施加一水平力使彈簧向右做加速運動.試分析彈簧上各部分的受力情況.【解析】 彈簧在水平力作用下向右加速運動，據(jù)牛頓第二定律得其加速度,取彈簧左部任意長度為研究對象，設(shè)其質(zhì)量為得彈簧上的彈力為：【答案】三、彈簧的彈力不能突變(彈簧彈力瞬時)問題圖 3-7-3彈簧(尤其是軟質(zhì)彈簧)彈力與彈簧的形變量有關(guān)，由于彈簧兩端一般與物體連接，因彈簧形

3、變過程需要一段時間，其長度變化不能在瞬間完成，因此彈簧的彈力不能在瞬間發(fā)生突變. 即可以認為彈力大小和方向不變，與彈簧相比較，輕繩和輕桿的彈力可以突變.【例3】如圖3-7-3所示，木塊與用輕彈簧相連，豎直放在木塊上，三者靜置于地面，的質(zhì)量之比是1:2:3.設(shè)所有接觸面都光滑，當沿水平方向迅速抽出木塊的瞬時，木塊和的加速度分別是= 與= 【解析】由題意可設(shè)的質(zhì)量分別為，以木塊為研究對象，抽出木塊前，木塊受到重力和彈力一對平衡力，抽出木塊的瞬時，木塊受到重力和彈力的大小和方向均不變，故木塊的瞬時加速度為0.以木塊為研究對象，由平衡條件可知，木塊對木塊的作用力.以木塊為研究對象，木塊受到重力、彈力和

4、三力平衡，抽出木塊的瞬時，木塊受到重力和彈力的大小和方向均不變，瞬時變?yōu)?，故木塊的瞬時合外力為,豎直向下，瞬時加速度為.【答案】0 圖 3-7-4說明：區(qū)別于不可伸長的輕質(zhì)繩中張力瞬間可以突變.【例4】如圖3-7-4所示，質(zhì)量為的小球用水平彈簧連接，并用傾角為的光滑木板托住，使小球恰好處于靜止狀態(tài).當突然向下撤離的瞬間，小球的加速度為 ( )A. B.大小為，方向豎直向下C.大小為，方向垂直于木板向下D. 大小為, 方向水平向右圖 3-7-5【解析】 末撤離木板前，小球受重力、彈簧拉力、木板支持力作用而平衡，如圖3-7-5所示，有. 撤離木板的瞬間，重力和彈力保持不變(彈簧彈力不能突變)，而

5、木板支持力立即消失,小球所受和的合力大小等于撤之前的 (三力平衡)，方向與相反，故加速度方向為垂直木板向下，大小為 【答案】 C.四、彈簧長度的變化問題設(shè)勁度系數(shù)為的彈簧受到的壓力為時壓縮量為，彈簧受到的拉力為時伸長量為，此時的“-”號表示彈簧被壓縮.若彈簧受力由壓力變?yōu)槔Γ瑥椈砷L度將由壓縮量變?yōu)樯扉L量，長度增加量為.由胡克定律有: ,.則:,即說明:彈簧受力的變化與彈簧長度的變化也同樣遵循胡克定律，此時表示的物理意義是彈簧長度的改變量，并不是形變量.圖 3-7-6【例5】如圖3-7-6所示，勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為、的物塊1、2拴接，勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧上端與物塊2拴接，下端壓

6、在桌面上(不拴接)，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)將物塊1緩慢地豎直上提，直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌面.在此過程中，物塊2的重力勢能增加了 ,物塊1的重力勢能增加了 .【解析】由題意可知，彈簧長度的增加量就是物塊2的高度增加量，彈簧長度的增加量與彈簧長度的增加量之和就是物塊1的高度增加量.由物體的受力平衡可知，彈簧的彈力將由原來的壓力變?yōu)?,彈簧的彈力將由原來的壓力變?yōu)槔?彈力的改變量也為 .所以、彈簧的伸長量分別為:和故物塊2的重力勢能增加了，物塊1的重力勢能增加了【答案】 五、彈簧形變量可以代表物體的位移 彈簧彈力滿足胡克定律，其中為彈簧的形變量，兩端與物體相連時亦即物體的位移，因此彈簧可

7、以與運動學(xué)知識結(jié)合起來編成習題.圖 3-7-7【例6】如圖3-7-7所示，在傾角為的光滑斜面上有兩個用輕質(zhì)彈簧相連接的物塊，其質(zhì)量分別為，彈簧的勁度系數(shù)為,為一固定擋板，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài),現(xiàn)開始用一恒力沿斜面方向拉使之向上運動，求剛要離開時的加速度和從開始到此時的位移(重力加速度為).【解析】 系統(tǒng)靜止時,設(shè)彈簧壓縮量為，彈簧彈力為，分析受力可知:解得:在恒力作用下物體向上加速運動時，彈簧由壓縮逐漸變?yōu)樯扉L狀態(tài).設(shè)物體剛要離開擋板時彈簧的伸長量為，分析物體的受力有:,解得設(shè)此時物體的加速度為，由牛頓第二定律有: 解得:因物體與彈簧連在一起，彈簧長度的改變量代表物體的位移，故有，即【答案】六、彈

8、力變化的運動過程分析彈簧的彈力是一種由形變決定大小和方向的力，注意彈力的大小與方向時刻要與當時的形變相對應(yīng).一般應(yīng)從彈簧的形變分析入手，先確定彈簧原長位置、現(xiàn)長位置及臨界位置，找出形變量與物體空間位置變化的幾何關(guān)系，分析形變所對應(yīng)的彈力大小、方向，彈性勢能也是與原長位置對應(yīng)的形變量相關(guān).以此來分析計算物體運動狀態(tài)的可能變化.結(jié)合彈簧振子的簡諧運動，分析涉及彈簧物體的變加速度運動，往往能達到事半功倍的效果.此時要先確定物體運動的平衡位置，區(qū)別物體的原長位置，進一步確定物體運動為簡諧運動.結(jié)合與平衡位置對應(yīng)的回復(fù)力、加速度、速度的變化規(guī)律，很容易分析物體的運動過程.圖 3-7-8【例7】如圖3-7

9、-8所示，質(zhì)量為的物體用一輕彈簧與下方地面上質(zhì)量也為的物體相連，開始時和均處于靜止狀態(tài)，此時彈簧壓縮量為，一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連接物體、另一端握在手中，各段繩均剛好處于伸直狀態(tài)，物體上方的一段繩子沿豎直方向且足夠長.現(xiàn)在端施加水平恒力使物體從靜止開始向上運動.(整個過程彈簧始終處在彈性限度以內(nèi)). (1)如果在端所施加的恒力大小為，則在物體剛要離開地面時物體的速度為多大?(2)若將物體的質(zhì)量增加到，為了保證運動中物體始終不離開地面，則最大不超過多少?【解析】 由題意可知，彈簧開始的壓縮量，物體剛要離開地面時彈簧的伸長量也是.(1)若,在彈簧伸長到時，物體離開地面，此時彈簧彈性勢能

10、與施力前相等，所做的功等于物體增加的動能及重力勢能的和.即：得: (2)所施加的力為恒力時，物體不離開地面，類比豎直彈簧振子，物體在豎直方向上除了受變化的彈力外，再受到恒定的重力和拉力.故物體做簡諧運動.在最低點有：,式中為彈簧勁度系數(shù)，為在最低點物體的加速度.在最高點，物體恰好不離開地面，此時彈簧被拉伸，伸長量為，則: 而，簡諧運動在上、下振幅處，解得： 也可以利用簡諧運動的平衡位置求恒定拉力.物體做簡諧運動的最低點壓縮量為，最高點伸長量為，則上下運動中點為平衡位置，即伸長量為所在處.由,解得: .【答案】 說明: 區(qū)別原長位置與平衡位置.和原長位置對應(yīng)的形變量與彈力大小、方向、彈性勢能相關(guān)

11、,和平衡位置對應(yīng)的位移量與回復(fù)大小、方向、速度、加速度相關(guān).八、彈力做功與彈性勢能的變化問題彈簧伸長或壓縮時會儲存一定的彈性勢能，因此彈簧的彈性勢能可以與機械能守恒規(guī)律綜合應(yīng)用,我們用公式計算彈簧勢能，彈簧在相等形變量時所具有的彈性勢能相等一般是考試熱點.彈簧彈力做功等于彈性勢能的減少量.彈簧的彈力做功是變力做功，一般可以用以下四種方法求解:(1)因該變力為線性變化，可以先求平均力，再用功的定義進行計算;(2)利用圖線所包圍的面積大小求解;(3)用微元法計算每一小段位移做功，再累加求和;(4)根據(jù)動能定理、能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求解.由于彈性勢能僅與彈性形變量有關(guān)，彈性勢能的公式高考中不作定量要求

12、，因此，在求彈力做功或彈性勢能的改變時，一般從能量的轉(zhuǎn)化與守恒的角度來求解.特別是涉及兩個物理過程中的彈簧形變量相等時，往往彈性勢能的改變可以抵消或替代求解.圖 3-7-13【例10】如圖3-7-13所示，擋板固定在足夠高的水平桌面上，物塊和大小可忽略，它們分別帶有和的電荷量，質(zhì)量分別為和.兩物塊由絕緣的輕彈簧相連，一個不可伸長的輕繩跨過滑輪，一端與連接，另一端連接輕質(zhì)小鉤.整個裝置處于場強為、方向水平向左的勻強電場中，、開始時靜止，已知彈簧的勁度系數(shù)為,不計一切摩擦及、間的庫侖力, 、所帶電荷量保持不變，不會碰到滑輪. (1)若在小鉤上掛質(zhì)量為的物塊并由靜止釋放，可使物塊對擋板的壓力恰為零，

13、但不會離開,求物塊下降的最大距離.(2)若的質(zhì)量為,則當剛離開擋板時, 的速度多大?【解析】 通過物理過程的分析可知，當物塊剛離開擋板時，彈力恰好與所受電場力平衡，彈簧伸長量一定，前后兩次改變物塊質(zhì)量，在第(2)問對應(yīng)的物理過程中，彈簧長度的變化及彈性勢能的改變相同，可以替代求解.設(shè)開始時彈簧壓縮量為，由平衡條件,可得 設(shè)當剛離開擋板時彈簧的伸長量為,由，可得: 故下降的最大距離為: 由三式可得: (2)由能量守恒定律可知，物塊下落過程中，重力勢能的減少量等于物塊電勢能的增量和彈簧彈性勢能的增量以及系統(tǒng)動能的增量之和.當?shù)馁|(zhì)量為時，有： 當?shù)馁|(zhì)量為時，設(shè)剛離開擋板時的速度為，則有： 由三式可得

14、剛離開時的速度為: 圖 3-7-14【答案】（1）（2）【例11】如圖3-7-14所示，質(zhì)量為的物體經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為的物體相連，彈簧的勁度系數(shù)為,物體都處于靜止狀態(tài).一不可伸長的輕繩一端繞過輕滑輪連接物體，另一端連接一輕掛鉤.開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)，物體上方的一段繩沿豎直方向.現(xiàn)給掛鉤掛一質(zhì)量為的物體并從靜止釋放，已知它恰好能使物體離開地面但不繼續(xù)上升.若將物體換成另一質(zhì)量為的物體，仍從上述初始位置由靜止釋放，則這次物體剛離地時物體的速度大小是多少?已知重力加速度為【解析】 開始時物體靜止，設(shè)彈簧壓縮量為，則有：懸掛物體并釋放后，物體向下、物體向上運動，設(shè)物體剛要離地時彈簧

15、伸長量為，有不再上升表明此時物體的速度均為零，物體己下降到其最低點,與初狀態(tài)相比，由機械能守恒得彈簧彈性勢能的增加量為：物體換成物體后，物體離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得：聯(lián)立上式解得題中所求速度為：【答案】說明： 研究對象的選擇、物理過程的分析、臨界條件的應(yīng)用、能量轉(zhuǎn)化守恒的結(jié)合往往在一些題目中需要綜合使用.九、彈簧彈力的雙向性彈簧可以伸長也可以被壓縮，因此彈簧的彈力具有雙向性，亦即彈力既可能是推力又可能是拉力，這類問題往往是一題多解.圖 3-7-15【例12】如圖3-7-15所示，質(zhì)量為的質(zhì)點與三根相同的輕彈簧相連，靜止時相鄰兩彈簧間的夾角均為，已知彈簧對質(zhì)點的作用力均為，

16、則彈簧對質(zhì)點作用力的大小可能為 ( )A、 B、 C、 D、【解析】 由于兩彈簧間的夾角均為，彈簧對質(zhì)點作用力的合力仍為，彈簧對質(zhì)點有可能是拉力，也有可能是推力,因與的大小關(guān)系不確定，故上述四個選項均有可能.正確答案:ABCD【答案】 ABCD十、彈簧振子彈簧振子的位移、速度、加速度、動能和彈性勢能之間存在著特殊關(guān)系，彈簧振子類問題通常就是考查這些關(guān)系，各物理量的周期性變化也是考查的重點.十一、彈簧串、并聯(lián)組合圖 3-7-17彈簧串聯(lián)或并聯(lián)后勁度系數(shù)會發(fā)生變化，彈簧組合的勁度系數(shù)可以用公式計算，高中物理不要求用公式定量分析，但彈簧串并聯(lián)的特點要掌握:彈簧串聯(lián)時，每根彈簧的彈力相等;原長相同的彈

17、簧并聯(lián)時，每根彈簧的形變量相等.【例14】 如圖3-7-17所示，兩個勁度系數(shù)分別為的輕彈簧豎直懸掛，下端用光滑細繩連接，并有一光滑的輕滑輪放在細線上;滑輪下端掛一重為的物體后滑輪下降，求滑輪靜止后重物下降的距離.【解析】 兩彈簧從形式上看似乎是并聯(lián)，但因每根彈簧的彈力相等，故兩彈簧實為串聯(lián);兩彈簧的彈力均，可得兩彈簧的伸長量分別為，兩彈簧伸長量之和，故重物下降的高度為: 圖 3-7-18【答案】圖 3-7-19十三、物體沿彈簧螺旋運動【例16】如圖3-7-19所示，長度為的光滑鋼絲繞成高度為的彈簧，將彈簧豎直放置.一中間有孔的小球穿過鋼絲并從彈簧的最高點由靜止釋放，求經(jīng)多長時間小球沿彈簧滑到

18、最低點.圖 3-7-20【解析】 小球沿光滑彈簧下滑時機械能守恒，可以假想在不改變彈簧上各處傾角的條件下將彈簧拉成一條傾斜直線，如圖3-7-20所示，小球沿此直線下滑的時間與題中要求的時間相等.小球沿直線下滑的加速度為由幾何知識可得：;由位移公式可知：，聯(lián)立上式解得：【答案】彈簧類模型中的最值問題 在高考復(fù)習中，常常遇到有關(guān)“彈簧類”問題，由于彈簧總是與其他物體直接或間接地聯(lián)系在一起，彈簧與其“關(guān)聯(lián)物”之間總存在著力、運動狀態(tài)、動量、能量方面的聯(lián)系，因此學(xué)生普遍感到困難，本文就此類問題作一歸類分析。一、最大、最小拉力問題 例1. 一個勁度系數(shù)為k600N/m的輕彈簧，兩端分別連接著質(zhì)量均為m1

19、5kg的物體A、B，將它們豎直靜止地放在水平地面上，如圖1所示，現(xiàn)加一豎直向上的外力F在物體A上，使物體A開始向上做勻加速運動，經(jīng)0.5s，B物體剛離開地面（設(shè)整個加速過程彈簧都處于彈性限度內(nèi)，且g10m/s2）。求此過程中所加外力的最大和最小值。圖1 解析：開始時彈簧彈力恰等于A的重力，彈簧壓縮量，0.5s末B物體剛要離開地面，此時彈簧彈力恰等于B的重力，故對A物體有，代入數(shù)據(jù)得。剛開始時F為最小且，B物體剛要離開地面時，F(xiàn)為最大且有，解得。二、最大高度問題 例2. 如圖2所示，質(zhì)量為m的鋼板與直立彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地面上，平衡時彈簧的壓縮量為。一物體從鋼板正上方距離為的A處自由

20、下落打在鋼板上，并立即與鋼板一起向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動，已知物塊質(zhì)量也為m時，它們恰能回到O點，若物體質(zhì)量為2m仍從A處自由下落，則物塊與鋼板回到O點時還有向上的速度，求物塊向上運動到達的最高點與O點的距離。圖2 解析：物塊碰撞鋼板前作自由落體運動，設(shè)表示物塊與鋼板碰撞時的速度，則： 物塊與鋼板碰撞后一起以v1速度向下運動，因碰撞時間極短，碰撞時遵循動量守恒，即： 剛碰完時彈簧的彈性勢能為，當它們一起回到O點時，彈簧無形變，彈性勢能為0，根據(jù)機械能守恒有： 設(shè)表示質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后開始向下運動的速度，由動量守恒有： 碰撞后，當它們回到O點時具有一定速度v，由機

21、械能守恒定律得： 當質(zhì)量為2m的物塊與鋼板一起回到O點時兩者分離，分離后，物塊以v豎直上升，其上升的最大高度： 解式可得。三、最大速度、最小速度問題 例3. 如圖3所示，一個勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直立于水平地面上，下端固定于地面，上端與一質(zhì)量為m的平板B相連而處于靜止狀態(tài)。今有另一質(zhì)量為m的物塊A從B的正上方h高處自由下落，與B發(fā)生碰撞而粘在一起，已知它們共同向下運動到速度最大時，系統(tǒng)增加的彈性勢能與動能相等，求系統(tǒng)的這一最大速度v。圖3 解析：A下落到與B碰前的速度v1為： A、B碰后的共同速度v2為： B靜止在彈簧上時，彈簧的壓縮量為x0，且： A、B一起向下運動到最大速度v時的位移為x，

22、此時A、B的加速度為0，即有： 由機械能守恒得： 解得： 例4. 在光滑水平面內(nèi)，有A、B兩個質(zhì)量相等的木塊，中間用輕質(zhì)彈簧相連。現(xiàn)對B施一水平恒力F，如圖4所示，經(jīng)過一段時間，A、B的速度等于5m/s時恰好一起做勻加速直線運動，此過程恒力做功為100J，當A、B恰好一起做勻加速運動時撤除恒力，在以后的運動過程中求木塊A的最小速度。圖4 解析：當撤除恒力F后，A做加速度越來越小的加速運動，彈簧等于原長時，加速度等于零，A的速度最大，此后彈簧壓縮到最大，當彈簧再次回復(fù)原長時速度最小，根據(jù)動量守恒得： 根據(jù)機械能守恒得： 由以上兩式解得木塊A的最小速度v0。四、最大轉(zhuǎn)速和最小轉(zhuǎn)速問題 例5. 有一水平放置的圓盤，上面放一個勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其一端固定于軸O上，另一端系著質(zhì)量為m的物體A，物體A與盤面間最大靜摩擦力為Ffm，彈簧原長為L，現(xiàn)將彈簧伸長后置于旋轉(zhuǎn)的桌面上，如圖5所示，問：要使物體相對于桌面靜止，圓盤轉(zhuǎn)速n的最大值和最小值各是多少？圖5 解析：當轉(zhuǎn)速n較大時，靜摩擦力與彈簧彈力同向，即： 當轉(zhuǎn)速n較小時，靜摩擦力與彈簧彈力反向，即： 所以圓盤轉(zhuǎn)速n的最大值和最小值分別為： 。五、最大加速度問題 例6. 兩木塊A、B質(zhì)量分別為m、