常微分方程發(fā)展簡(jiǎn)史

1、第三講 常微分方程發(fā)展簡(jiǎn)史解析理論與定性理論階段3、常微分方程解析理論階段：19世紀(jì)19世紀(jì)為常微分方程發(fā)展的解析理論階段. 作為微分方程向復(fù)數(shù)域的推廣, 微分方程解析理論是由Cauchy開(kāi)創(chuàng)的. 在Cauchy之后,重點(diǎn)轉(zhuǎn)向大范圍的研究。n 級(jí)數(shù)解和特殊函數(shù)這一階段的主要結(jié)果之一是運(yùn)用冪級(jí)數(shù)和廣義冪級(jí)數(shù)解法, 求出一些重要的二階線性方程的級(jí)數(shù)解, 并得到極其重要的一些特殊函數(shù).常微分方程是17、18世紀(jì)在直接回答物理問(wèn)題中興起的. 在著手處理更為復(fù)雜的物理現(xiàn)象, 特別是在弦振動(dòng)的研究中, 數(shù)學(xué)家們得到了偏微分方程. 用變量分離法解偏微分方程的努力導(dǎo)致求解常微分方程的問(wèn)題. 此外, 因?yàn)槠⒎?/p>

2、方程都是以各種不同的坐標(biāo)系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封閉形式解出. 為了求解應(yīng)用分離變量法與偏微分方程后得到的常微分方程, 數(shù)學(xué)家們沒(méi)有過(guò)分憂慮解的存在性和解應(yīng)具有的形式, 而轉(zhuǎn)向無(wú)窮級(jí)數(shù)的方法. 應(yīng)用分離變量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel方程. 其中參數(shù)和都可以是復(fù)的.對(duì)Bessel來(lái)說(shuō), 和都是實(shí)的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi給Leibnitz的信中就已提到, 后來(lái)Bernoulli Daniel、Euler、Fourier、Poisson等都討論過(guò)此問(wèn)題. 對(duì)此方程的解的最早的系統(tǒng)研究是由Besse

3、l在研究行星運(yùn)動(dòng)時(shí)作出的. 對(duì)每個(gè), 此方程存在兩個(gè)獨(dú)立的基本解, 記作和, 分別稱(chēng)為第一類(lèi)Bessel函數(shù)和第二類(lèi)Bessel函數(shù), 它們都是特殊函數(shù)或廣義函數(shù)（初等函數(shù)之外的函數(shù)）. Bessel自1816年開(kāi)始研究此方程, 首先給出了積分關(guān)系式1818年Bessel證明了有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn). 1824年, Bessel對(duì)整數(shù)給出了遞推關(guān)系式和其他的關(guān)于第一類(lèi)Bessel函數(shù)的關(guān)系式.后來(lái)又有眾多的數(shù)學(xué)家（研究天體力學(xué)的數(shù)學(xué)家）獨(dú)立地得到了Bessel函數(shù)及其表達(dá)式和關(guān)系式. Bessel為微分方程解析理論作出了巨大貢獻(xiàn)。解析理論中另一重要內(nèi)容是Legendre方程的級(jí)數(shù)解和Legendre多

4、項(xiàng)式方面的結(jié)果. 1784年, Legendre研究了Legendre方程, 給出了冪級(jí)數(shù)形式的解, 得到了Legendre多項(xiàng)式. 與此同時(shí), Hermite C研究了方程, 得到了其冪級(jí)數(shù)解,當(dāng)為非負(fù)偶數(shù)時(shí)即為著名的Hermite多項(xiàng)式. Tchebyshevy在研究方程的解時(shí), 得到了Tchebyshevy多項(xiàng)式.1821年, Gauss研究了Gauss幾何方程.這個(gè)方程及其級(jí)數(shù)解早已為人們所熟知了，因?yàn)樗延蒃uler研究過(guò). 此級(jí)數(shù)稱(chēng)為超幾何級(jí)數(shù), 包含了幾乎所有的當(dāng)時(shí)已知的初等函數(shù)和許多像Bessel函數(shù)、球函數(shù)那樣的超越函數(shù). 除了證明此級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)外，Gauss還建立了著名的

5、關(guān)系式 .Gauss還建立了此級(jí)數(shù)的收斂性。記號(hào)應(yīng)歸源于Gauss.這一時(shí)期關(guān)于常微分方程級(jí)數(shù)解和特殊函數(shù)方面的工作還有很多, 這里不一一介紹.n 奇點(diǎn)理論、自守函數(shù)19世紀(jì)中期，常微分方程的研究走上了一個(gè)新的歷程。存在性定理和Sturm-Liouville理論都預(yù)先假設(shè)在考慮解的區(qū)域內(nèi)，微分方程包含解析函數(shù)或至少包含連續(xù)函數(shù)。另一方面，某些已經(jīng)考慮過(guò)的微分方程，如Bessel方程、Legendre方程、Gauss超幾何方程，如果表示成具有變系數(shù)的線性齊次$n$解常微分方程且最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，它們的系數(shù)具有奇異性，在奇異點(diǎn)的鄰域內(nèi)級(jí)數(shù)解的形式是特別的，所以數(shù)學(xué)家們便轉(zhuǎn)而研究奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解

6、，也就是一個(gè)或多個(gè)系數(shù)在其上奇異的那種點(diǎn)的鄰域內(nèi)的解。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，Gauss關(guān)于超幾何級(jí)數(shù)的工作指明了道路。先導(dǎo)者是Riemann和Fuchs（Weierstrass的學(xué)生和他在柏林的繼承者）。此理論被稱(chēng)為線性常微分方程的Riemann-Fuchs L奇點(diǎn)理論，這是19世紀(jì)常微分方程解析理論中一個(gè)非常重要的成果。奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解的研究是由Briot(1866年)和Bounque(1856年)起始的，他們的關(guān)于一階線性方程的結(jié)果很快就得到了推廣，在這個(gè)新領(lǐng)域中，人們的注意力集中于形為的線性常微分方程，其中除在孤立奇點(diǎn)外是復(fù)變數(shù)$z$的單值解析函數(shù)。此方程之所以受到重視，是因?yàn)樗慕獍ㄋ谐醯群?/p>

7、數(shù)甚至某些高等函數(shù)。這方面的重要工作還有Briot A A和Bouquet J的由常微分方程出發(fā)建立的橢圓函數(shù)（特殊的自守函數(shù)）的一般理論、Fuchs和Poincare 的關(guān)于一階非線性微分方程的理論, 最后是1882年至1884年P(guān)oincare J的工作和Klein F在1884年的工作由于自守函數(shù)理論而使微分方程解析理論臻于頂峰. 這樣, 微分方程和自守函數(shù)建立了密切的聯(lián)系.當(dāng)自守函數(shù)理論還正處在創(chuàng)立的階段時(shí)，天文學(xué)方面的工作激起了對(duì)一個(gè)二階常微分方程的興趣。此方程源于著名的體問(wèn)題。體問(wèn)題可以用一句話寫(xiě)出來(lái)：在三維空間中給定個(gè)質(zhì)點(diǎn)，如果在它們之間只有萬(wàn)有引力的作用，那么在給定它們的初始位

8、置和速度的條件下，它們會(huì)怎樣在空間中運(yùn)動(dòng)。最簡(jiǎn)單的例子就是太陽(yáng)系中太陽(yáng)，地球和月球的運(yùn)動(dòng)。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我們可以把它們看成質(zhì)點(diǎn)。如果不計(jì)太陽(yáng)系其他星球的影響，那么它們的運(yùn)動(dòng)就只是在引力的作用下產(chǎn)生的，所以我們就可以把它們的運(yùn)動(dòng)看成一個(gè)三體問(wèn)題。我們知道地球和月球都在進(jìn)行一種周期性運(yùn)動(dòng)，這樣我們才有了年，月和日的概念。所以大家不難想象周期運(yùn)動(dòng)可能是三體問(wèn)題的一種解。1877年Hill George William（美國(guó)數(shù)學(xué)家）私人出版了關(guān)于月球近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一篇具有卓越創(chuàng)見(jiàn)性的論文。1878年，他在AJM上又發(fā)表了一篇關(guān)于月球運(yùn)動(dòng)的論文，創(chuàng)立了周期系數(shù)的線性齊次微分方

9、程的數(shù)學(xué)理論。Hill的一個(gè)基本思想是對(duì)月球運(yùn)動(dòng)的諸微分方程確定一個(gè)近似于實(shí)際觀察到的運(yùn)動(dòng)的周期解。于是他對(duì)這個(gè)周期解變差寫(xiě)出方程，便得到了一個(gè)帶有周期系數(shù)的四階線性常微分方程組。知道了某些積分后，他將此四階方程組化簡(jiǎn)為單獨(dú)一個(gè)二階線性微分方程其中為周期的偶函數(shù)。Hill證明了此二階方程存在周期解，因而證實(shí)了月球近地點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是周期性的，開(kāi)創(chuàng)了周期系數(shù)方程的研究。在他的證明中，首先將展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)，然后用待定系數(shù)法確定級(jí)數(shù)解。他的方法用到了無(wú)窮行列式和無(wú)窮線性方程組，證明不夠嚴(yán)格，他的工作一直受人嘲笑。1885-1886年，Poincare證明了Hill的證明手法的收斂性。Poinca

10、re對(duì)Hill的成就的注意和完善，使Hill和有關(guān)課題著名了。Poincare參與了Hill方程的研究，在Hill的工作的刺激下，Poincare為支配行星運(yùn)動(dòng)以及行星和衛(wèi)星軌道穩(wěn)定性的微分方程的周期解的研究開(kāi)辟了一條新的途徑，開(kāi)創(chuàng)了常微分方程定性研究的新時(shí)代。4、常微分方程定性理論階段：19世紀(jì)末期和20世紀(jì)初期從時(shí)間上看, 19世紀(jì)末期和20世紀(jì)初期是常微分方程發(fā)展的第三個(gè)階段. 這個(gè)階段常微分方程在三個(gè)方面有重大發(fā)展, 都與Poincare的工作相聯(lián)系。一是微分方程的解析理論, 前面已作論述；二是Poincare的定性理論；三是Liapunov的穩(wěn)定性理論.n Poincare的定性理論

11、在代數(shù)學(xué)中，五次代數(shù)方程沒(méi)有一般的根式求解公式這一事實(shí)并不防礙Sturm創(chuàng)立用代數(shù)方法決定實(shí)根個(gè)數(shù)的新成就。類(lèi)似地，在非線性方程一般不能求初等解"的事實(shí)下，Poincare獨(dú)立開(kāi)創(chuàng)了常微分方程實(shí)域定性理論這一新分支。1881-1886年, Poincare 同一標(biāo)題下連續(xù)發(fā)表了四篇論文,開(kāi)創(chuàng)了常微分方程實(shí)域定性理論. 他只求通過(guò)考察微分方程本身就可以回答的關(guān)于穩(wěn)定性等問(wèn)題的方法, 為微分方程定性理論奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).1892年至1898年間, Poincare刻畫(huà)了天體力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的特征, 并引導(dǎo)到微分方程定性理論的創(chuàng)立. 他發(fā)現(xiàn)微分方程的奇點(diǎn)起著關(guān)鍵作用.他把奇點(diǎn)分為鞍點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)、焦

12、點(diǎn)和中心四類(lèi), 討論了解在各種奇點(diǎn)附近的性態(tài). Poincare將他的論文定名為論微分方程所定義的積分曲線是突出了他所研究的主題和應(yīng)用的方法。 這一新分支的內(nèi)容包括奇點(diǎn)附近積分曲線的分布、極限環(huán)（即孤立周期解）、奇點(diǎn)的大范圍分布、環(huán)面上的積分曲線、以及三維空間周期解附近積分曲線的情形等等。Poincare關(guān)于常微分方程定性理論的一系列課題, 成為動(dòng)力系統(tǒng)理論的開(kāi)端.Poincare的定性理論在研究思想上成功突破了常微分方程定量求解的束縛, 其創(chuàng)新之處體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：由復(fù)域的研究又轉(zhuǎn)到實(shí)域的研究，由定量研究轉(zhuǎn)向定性研究，由分析方法轉(zhuǎn)為分析和幾何方法的有機(jī)結(jié)合，由函數(shù)作為對(duì)象的研究轉(zhuǎn)到曲線作為

13、對(duì)象的研究，由個(gè)別解的研究轉(zhuǎn)到解的集體的研究，由解的解析性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)到解所定義的積分曲線的幾何拓?fù)湫再|(zhì)的定性研究，由應(yīng)用等式轉(zhuǎn)到應(yīng)用不等式，由局部研究轉(zhuǎn)向全局研究。常微分方程定性理論另一位主要?jiǎng)?chuàng)始人是挪威數(shù)學(xué)家Bendixson, 從1900年起，他開(kāi)始從事Poincare所開(kāi)創(chuàng)的微分方程軌線的拓?fù)湫再|(zhì)的研究工作, 1901年發(fā)表了著名論文由微分方程定義的曲線。1926年至1927年Birkhoff G以三體問(wèn)題為背景繼承和發(fā)展了Poincare的工作, 創(chuàng)立了動(dòng)力系統(tǒng)理論. 到了20世紀(jì)30年代, 由于新的物理、力學(xué)以及工程技術(shù)和自動(dòng)控制等問(wèn)題的推動(dòng), 使微分方程定性理論中的概念、問(wèn)題和方法

14、又在新的條件下得到發(fā)展.1937年, Andronov A和Pontryagin L提出了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性概念, 并嚴(yán)格證明了其充要條件, 使動(dòng)力系統(tǒng)的研究向大范圍發(fā)展.由于天體力學(xué)，特別是"三體問(wèn)題"的需要，龐加萊總結(jié)了天文學(xué)家A.林斯泰特等人的方法，系統(tǒng)地整理在天體力學(xué)的新方法一書(shū)中，并加以發(fā)展成為攝動(dòng)理論或小參數(shù)理論。n Liapunov的穩(wěn)定性理論穩(wěn)定性理論是微分方程理論的重要組成部分, 研究方程的解當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)解的性態(tài). 該理論在自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等方面有著廣泛的應(yīng)用。眾所周知, 任何一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)總是經(jīng)受著各種各樣的干擾. 對(duì)于某些系統(tǒng)，微小干擾的影響并不

15、顯著，而對(duì)另外一些系統(tǒng)，微小干擾對(duì)系統(tǒng)的影響可能很顯著. 承受干擾之后, 首先要考慮的性能就是系統(tǒng)能否穩(wěn)妥地保持預(yù)定的運(yùn)動(dòng)或工作狀態(tài), 這就是穩(wěn)定性. 嚴(yán)格地說(shuō), 數(shù)學(xué)模型僅是實(shí)際系統(tǒng)的近似刻畫(huà), 這主要是由于在建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中, 不得不忽略某些次要因素, 或者存在測(cè)量誤差或計(jì)算的舍入誤差等. 近似的數(shù)學(xué)模型能否如實(shí)地反映客觀實(shí)際的動(dòng)態(tài), 在某種意義上說(shuō), 也是一個(gè)穩(wěn)定性問(wèn)題.穩(wěn)定性的概念, 最早源于力學(xué). 一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)具有某種平衡狀態(tài), 在微小干擾的作用下, 這種平衡狀態(tài)能否保持, 這就是穩(wěn)定性的雛形. 在靜力學(xué)方面, 早在17世紀(jì), Torricelli E就給出了Torricelli原

16、理: 若物體僅受重力作用, 則當(dāng)其重心位置最低時(shí), 其平衡是穩(wěn)定的, 當(dāng)重心位置最高時(shí), 其平衡是不穩(wěn)定的; 后來(lái), Laplace P證明了太陽(yáng)系的穩(wěn)定性, 建立了微分方程模型并提出了Laplace方程; 1788年, Lagrange L也證明了太陽(yáng)系的穩(wěn)定性, 建立了力學(xué)系統(tǒng)孤立平衡的穩(wěn)定性定理: 當(dāng)作用于系統(tǒng)的力函數(shù)在這一平衡位置有極大值時(shí), 平衡是穩(wěn)定的 (Dirichlet J第一個(gè)給出了證明), 奠定了近代力學(xué)的基礎(chǔ); 1868年, Maxwell J關(guān)于離心調(diào)速系統(tǒng)的研究以及Thomson W和Tait P也采用過(guò)穩(wěn)定性的概念, 但都沒(méi)有給出穩(wěn)定性的精確的數(shù)學(xué)定義; 1877年

17、, Routh E給出了某些循環(huán)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的判別法; 1895年, Hurwitz A也提出了現(xiàn)在的Routh-Hurwitz判別法, 但這些工作都有一定的局限性, 沒(méi)有在理論上解決一般穩(wěn)定性問(wèn)題. 至于對(duì)某些具體問(wèn)題所建立的非線性微分方程組穩(wěn)定性的研究, D'Alambert,Lagrange, Maxwell, Minkowski, Ctodola等都曾應(yīng)用一次近似的線性方程組來(lái)代替非線性微分方程組研究穩(wěn)定性, 但未能從數(shù)學(xué)上證明這種代替的合理性. 穩(wěn)定性的一般理論遲遲未建立起來(lái).1892年, Lyapunov A在其博士學(xué)位論文(運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題)中將Poincare 關(guān)于在

18、奇點(diǎn)附近積分曲線隨時(shí)間變化的定性研究發(fā)展至高維一般情形而形成專(zhuān)門(mén)的“運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性”分支. Poincare在平面上引入的“無(wú)切線段”的概念被Liapunov推廣成高維空間中的“Liapunov函數(shù)”的概念。Liapunov第一次給出了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的精確的數(shù)學(xué)定義, 建立了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般理論. 給出了判定運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的普遍的數(shù)學(xué)方法與理論基礎(chǔ).1892年, Liapunov在其博士學(xué)位論文中提出了研究穩(wěn)定性的兩類(lèi)方法. 第一類(lèi)方法是歸結(jié)為把一般解表示成某種級(jí)數(shù)的形式, 稱(chēng)為L(zhǎng)iapunov第一方法; 第二類(lèi)方法是歸結(jié)為尋找具有某種特性的輔助函數(shù), 稱(chēng)之為L(zhǎng)iapunov第二方法或直接法.Liapun

19、ov第一方法在理論上是比較完整的, 但一般推理較長(zhǎng), 條件也較多, 它要確定解的冪級(jí)數(shù), 判定它的收斂性, 確定一次近似系統(tǒng)的Liapunov示性數(shù)的符號(hào)與性質(zhì)等, 但把解表示成級(jí)數(shù)以及檢驗(yàn)級(jí)數(shù)的收斂性卻并非易事, 因此, 這一方法在實(shí)用上有很大的局限性, “第一方法”在20世紀(jì)60年代末以前還有一些發(fā)展. Liapunov第二方法或直接法雖然減輕了求解的負(fù)擔(dān), 但構(gòu)造函數(shù)卻沒(méi)有一個(gè)普遍的方法可循, 從而引起了一系列需要解決的理論和技術(shù)困難, 如的存在性和構(gòu)造方法等. 近年來(lái), Liapunov第二方法得到了長(zhǎng)足的發(fā)展, 成為研究穩(wěn)定性的基本方法.研究非線性O(shè)DEs系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 主要采用Li

20、apunov直接法, Liapunov直接法是整個(gè)穩(wěn)定性理論的核心, 其基本思想是引入一個(gè)稱(chēng)為 Liapunov函數(shù)的輔助函數(shù), 這一方法的優(yōu)點(diǎn)在于避免十分困難的方程求解.1892年, Liapunov以Liapunov函數(shù)為基礎(chǔ)首先提出了穩(wěn)定、一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定的四個(gè)定理(稱(chēng)為L(zhǎng)iapunov基本定理), 這四個(gè)基本定理奠定了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ). 自此以后, 許多學(xué)者對(duì)Liapunov直接法的基本理論進(jìn)行了深入而廣泛的研究.5、20世紀(jì)中期以后20世紀(jì)中期起，常微分方程的發(fā)展既深又廣，進(jìn)入了一個(gè)新的階段，包括了四個(gè)方面的工作。第一是由于工程技術(shù)的需要而產(chǎn)生新型問(wèn)題和新的分支。如：泛函微分方程、隨機(jī)微分方程、