時(shí)鐘夾角公式及其應(yīng)用

1、時(shí)鐘夾角公式及其應(yīng)用湖北省來鳳縣接龍中學(xué) 445700 胡永安 我們知道，時(shí)鐘表面的時(shí)針與分針各自繞著時(shí)鐘的中心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在不同的時(shí)刻，兩針之間形成不同的角度。時(shí)鐘夾角問題是一種特殊的行程問題，解題難度較大。如果能推導(dǎo)出時(shí)鐘夾角公式，那么我們就能利用該夾角公式，可以很快地、程序化地解決這類問題。我們先來推導(dǎo)時(shí)鐘在任意時(shí)刻兩針夾角公式。設(shè)時(shí)鐘所處的時(shí)刻是時(shí)分（是從到的整數(shù)，）。先分析時(shí)針?biāo)?jīng)過的角度情況：時(shí)針每小時(shí)經(jīng)過，小時(shí)共經(jīng)過；時(shí)針每分鐘經(jīng)過，分鐘共經(jīng)過。故知從時(shí)分到時(shí)分這一段時(shí)間內(nèi)，時(shí)針共經(jīng)過。再分析分針?biāo)?jīng)過的角度情況：分針每分鐘經(jīng)過，分鐘共經(jīng)過。故知從分到分這一段時(shí)間內(nèi)，分針共經(jīng)過。我

2、們由行程問題有關(guān)知識(shí)可知，當(dāng)時(shí)鐘所處的時(shí)刻是時(shí)分兩針的夾角，相當(dāng)于時(shí)針從時(shí)分到時(shí)分這一段時(shí)間所經(jīng)過的角度與分針從分到分這一段時(shí)間所經(jīng)過的角度之差，由于我們不能確定時(shí)針和分針誰經(jīng)過的角度誰多誰少（即不能確定兩針的前后位置），所以應(yīng)加上絕對(duì)值符號(hào)，為另外，我們在實(shí)際生活中對(duì)于兩針的夾角是取小于或等于平角的角，這樣我們就得到了時(shí)鐘在時(shí)分這一時(shí)刻兩針夾角公式：若，則兩針夾角為若，則兩針夾角為下面舉例談?wù)剷r(shí)鐘夾角公式的應(yīng)用。一、已知時(shí)刻，利用夾角公式計(jì)算兩針的夾角例1 求時(shí)分兩針夾角。解：例2 求時(shí)分兩針夾角。解： 兩針夾角為：二、 已知兩針的夾角，利用夾角公式列方程求時(shí)刻例3 時(shí)鐘在時(shí)與時(shí)之間的什么時(shí)

3、刻，兩針夾角為？解：設(shè)在時(shí)分兩針夾角為。由公式，得方程 (分) （分）答：在時(shí)分或時(shí)分，兩針夾角為。例4 時(shí)鐘在時(shí)與時(shí)之間的什么時(shí)刻，兩針夾角為？解：設(shè)在時(shí)分兩針夾角為。下面分兩種情況討論：（1）由公式，得方程 （負(fù)值，舍去） （分）；（2）由公式，得方程 （負(fù)值，舍去） （分）答：在時(shí)分或時(shí)分，兩針夾角為。例5 時(shí)針在時(shí)與時(shí)之間的什么時(shí)刻，兩針夾角為？解：設(shè)在時(shí)分兩針夾角為。下面分兩種情況討論：（1）由公式，得方程 （負(fù)值，舍去） （分）（2）由公式，得方程 （負(fù)值，舍去） （超過，舍去）答：在時(shí)分，兩針夾角為。特別指出，如果時(shí)鐘在某相鄰兩個(gè)整點(diǎn)時(shí)刻（如時(shí)與時(shí)）之間的某時(shí)刻兩時(shí)針的夾角已知，我們要求該時(shí)刻，由于這樣的時(shí)刻最多有兩個(gè)（以時(shí)針為準(zhǔn)，分針有可能在前也有可能在后），若用公式已求出滿足條件的兩個(gè)時(shí)刻，那么我們就不必考