數(shù)學(xué)問題解決模式

1、數(shù)學(xué)問題解決模式教案教學(xué)單位：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 授課教師：課程名稱數(shù)學(xué)教育心理學(xué)授課專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)所選教材數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)喻平編著.北京師范大學(xué)出版社，2010.授課學(xué)時2學(xué)時教學(xué)設(shè)計理念堅持“以發(fā)展為中心，教學(xué)做統(tǒng)一”的教學(xué)理念學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、參與者和合作者把課堂還給學(xué)生、把時間還給學(xué)生、把話語權(quán)還給學(xué)生，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、自主性與創(chuàng)造性教學(xué)目標(biāo)1、了解數(shù)學(xué)問題解決的相關(guān)理論，理解數(shù)學(xué)問題解決模式，掌握“問題表征”與“模式識別”的基本策略；2、經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題模式的構(gòu)建過程，體會自己解決問題的基本認(rèn)知過程，提高解題的有效性；3、認(rèn)識數(shù)學(xué)問題解決的價值，樹立正確的

2、數(shù)學(xué)解題觀教學(xué)內(nèi)容1、數(shù)學(xué)問題解決的相關(guān)理論； 2、數(shù)學(xué)問題解決模式（喻平）；3、數(shù)學(xué)解題過程的本質(zhì)； 4、“問題表征”與“模式識別”的基本策略教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)問題解決模式難點(diǎn)：數(shù)學(xué)問題解決模式的建構(gòu)及其運(yùn)用 教學(xué)方法“導(dǎo)講評研”教學(xué)與講授法教學(xué)相結(jié)合ABCDEF教學(xué)過程：一、學(xué)習(xí)準(zhǔn)備問題1：將一個三角形的三個內(nèi)角折成一個平角問題2：如圖，交于，求的大小解答要求：1、盡可能詳細(xì)地記錄解答問題1與問題2的思維活動過程，包括對題目信息的理解、思路的產(chǎn)生、所遇到的的策困難、突破困難略以及所想到的其他相關(guān)知識與方法2、試著將你解答問題1與問題2的思維活動過程劃分為相對明確的幾個階段，并試著用學(xué)過的

3、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)知識解釋這些階段的特點(diǎn)你認(rèn)為解答問題1與問題2的關(guān)鍵是什么？3、在解答問題1與問題2的過程中，你最大的收獲是什么？你認(rèn)為解答數(shù)學(xué)題有什么好處？二、數(shù)學(xué)問題解決的相關(guān)理論簡介1、波利亞（1887-1985）解題理論論著：怎樣解題（1944）、數(shù)學(xué)與合情推理（1954）、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（1962-1965）主要觀點(diǎn)：（1）解題是人類的一項(xiàng)基本活動；掌握數(shù)學(xué)就意味著解題（2）解題步驟：理解題目擬定方案執(zhí)行方案回顧 2、羅增儒（1945-）的解題理論論著：數(shù)學(xué)解題學(xué)引論（2001）主要觀點(diǎn)：如果把解題比作打仗，那么解題者的兵力就是基礎(chǔ)知識，兵器就是數(shù)學(xué)基本方法，而調(diào)動數(shù)學(xué)基本知識 、運(yùn)用數(shù)學(xué)

4、基本解題方法的數(shù)學(xué)解題學(xué)正是“兵法”三、對話性講解（一）探討解答問題與問題2的思維過程1、問題的思維過程（1）由兩個小組的代表介紹他們的思維過程（2）提供以下解答過程：當(dāng)拿到這個問題時，我第一反應(yīng)是：想辦法將三個角往一塊湊一開始，雖然將三個角湊到一塊兒了，但三個角之間有的有重疊，有的之間有間隙，所以，這樣的折法無法驗(yàn)證三角形內(nèi)角和為180度上述折法中存在重疊與間隙，我想如何消除這些問題呢？是不是因?yàn)檎廴切蔚臅r候太隨意了，沒有遵守一定的原則才會導(dǎo)致如此結(jié)果？忽然想到三角形的任意一條邊都可看作一個平角，如果以任意一邊為基準(zhǔn)來折疊，把這條邊所對的角折下來看看經(jīng)反復(fù)嘗試就把三個角拼成了一個平角，這時

5、圖形變成了矩形折出矩形后，才發(fā)覺，第一條折痕是整個三角形的一條中位線，且在整個折的過程中具有相當(dāng)強(qiáng)的對稱性通過對話協(xié)商梳理出如下思維過程：嘗試發(fā)現(xiàn)問題發(fā)現(xiàn)線索提出想法檢驗(yàn)回顧或反思杜威（介紹）：感覺到問題的存在對問題進(jìn)行試驗(yàn)性的解釋提出各種解決辦法使假設(shè)更加精確檢驗(yàn)假設(shè)2、問題2解答的思維過程（1）由兩個小組的代表介紹他們的思維過程（2）提供以下解答過程：解法1：設(shè)，則ABCDEFHGJ因，所以.解法2：如圖,分別作矩形與，使矩形與全等，連結(jié)，則，從而，.結(jié)合學(xué)生提供的解法，提煉出如下思維活動過程：將已知信息賦予某種具體的“身份”尋找可能有用的關(guān)系利用相關(guān)的知識審視解題過程（二）數(shù)學(xué)問題解決模

6、式1、數(shù)學(xué)題解認(rèn)知模式（喻平）理解問題選擇算子應(yīng)用算子結(jié)果評價問題表征模式識別知識遷移思維監(jiān)控知識基礎(chǔ)解題策略工作記憶長時記憶2、數(shù)學(xué)題解認(rèn)知模式案例問題3：已知，求證：解答過程： 思維過程： 是輪換對稱式，聯(lián)想到“商”令，則 發(fā)現(xiàn)均互為倒數(shù)，想到換元法 發(fā)現(xiàn)，想到消元法 聯(lián)想到，檢驗(yàn)：等號成立的條件是 發(fā)現(xiàn)倒數(shù)，想到降冪，檢驗(yàn)等號成立的條件是而 提取基本不等式所以，解題回顧：（1）整個過程是一個降冪、消元的過程（2）對于又找到了兩種處理思路：配方法：函數(shù)求導(dǎo)法：令，則，對此式求導(dǎo)即可（3）整個過程共用了三次不等式，而每用一次就相當(dāng)于一次配平方，因此，產(chǎn)生如下配方法：（三）數(shù)學(xué)解題過程的本質(zhì)1

7、、數(shù)學(xué)問題解決的含義數(shù)學(xué)問題解決就是解題者在自己的長時記憶中提取解題圖式用于新的問題情境的過程解題圖式包括個體已有的與新問題有關(guān)的知識基礎(chǔ)、解題策略和解題經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)就是學(xué)會數(shù)學(xué)地思維的一種探究性學(xué)習(xí)活動，具體地講，就是學(xué)生在對有價值的數(shù)學(xué)題的探索性學(xué)習(xí)活動過程中，實(shí)作性的理解數(shù)學(xué)基本知識、形成數(shù)學(xué)基本技能、體會數(shù)學(xué)基本思想的運(yùn)用、積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，以增進(jìn)和提高數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力2、數(shù)學(xué)解題過程的本質(zhì)（1）解決問題是一種學(xué)習(xí)的過程加涅：問題解決是一種產(chǎn)生高級規(guī)則的學(xué)習(xí)過程涂榮豹：問題解決是一種有意義學(xué)習(xí)過程（2）解題學(xué)習(xí)是個體建構(gòu)知識的過程解題學(xué)習(xí)是一個

8、積極主動的建構(gòu)過程；是一種雙向的建構(gòu)過程（通化與順應(yīng)）；是一種多元的建構(gòu)過程（3）解題學(xué)習(xí)的本質(zhì)是社會建構(gòu)數(shù)學(xué)知識是一種社會建構(gòu)，本質(zhì)上一種社會約定個人建構(gòu)的數(shù)學(xué)知識被看做是“個人意義”與“文化意義”的一種融合（四）“問題表征”與“模式識別”的基本策略1、問題表征（1）問題表征的含義問題表征是指根據(jù)問題所提供的信息和自身已有的知識經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己的問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)部心理符合的過程問題表征質(zhì)量的高低將會直接影響到問題的解決問題4：已知：，求證：表征1：將每個根式看做某個直角三角形的斜邊；表征2：將每個根式看做兩點(diǎn)間的距離；表征3：將每個根式看做某個向量的

9、模；表征4；將每個根式看做某個復(fù)數(shù)的模（2）問題表征的基本線索未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？條件有可能滿足嗎？條件是否可以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余？或者矛盾？畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆柊褩l件的不同部分分開你能否把它們寫出來嗎？2、模式識別（1）模式識別的含義模式識別是知覺信息與長時記憶中的有關(guān)信息進(jìn)行比較，再決定它與長時記憶中哪個項(xiàng)目有著最佳匹配的過程數(shù)學(xué)模式是指形式化地采用數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（2）模式識別的基本途徑你以前見過它嗎？或者你見過相同的題目一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎？你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？你知道一條可能有用的定理嗎？觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目這里有一道與你的題目有關(guān)而且以前解過，你能利用它嗎？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了有可能應(yīng)用它，你是否應(yīng)該引入某個輔助元素？你能重新敘述這道題目嗎？你還能以不同的方式敘述它嗎？回到定義去三、學(xué)習(xí)評價1、梳理本節(jié)課的知識要點(diǎn)；2、學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)解題思維模式，你對自己的解題有了哪些不同的認(rèn)識？3、你認(rèn)為提高“模式識別”有效性的策略有哪些？四、反思拓展1、閱讀波利亞的名著怎樣解題，通過自己的解題案例來說