數(shù)學(xué)習(xí)題八年級(jí)上天府前沿

1、P49天府前沿14、如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，以BE為折痕，將三角形ABE向上翻折，點(diǎn)A正好落在CD上的點(diǎn)F處，若三角形FDE的周長(zhǎng)為8，三角形FCB的周長(zhǎng)為22，求FC的長(zhǎng)。答：因?yàn)檎郫B，EF=AE,BF=AB，所以DF+FC=DC=AB=FB(1),      DE+EF=DE+EA=DA=CB(2)(1)+(2)得DF+DE+EF=FB+CB-FCDF+DE+EF=8,FB+CB-FC=(FB+FC+CB)-2FC=22所以-2FC=8-22FC=7P49頁(yè)15、如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=二分之一BC,延長(zhǎng)

2、AB至F,使BF=AB，再延長(zhǎng)BA至E，使AE=BA，請(qǐng)你判斷EC與FD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。答：EC交AD于M,FD交BC于N,AE=AB=BF=CD,內(nèi)錯(cuò)角相等，據(jù)角邊角定理，三角形AEM三角形DMC三角形BFN三角形DCN AM=DM BN=NC M,N分別為AB,BC的中點(diǎn)，連接MNAB=1/2BC MD=DC=NC=MN四邊形MNCD為棱形，MC,ND為對(duì)角線，MC垂直ND所以EC垂直FDP53頁(yè)13、如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AD=6,BC=16,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB

3、向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（ ）秒時(shí)，以點(diǎn)P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。答：AP=t，PD=6-tCQ=2t1.EQ=8-2tPD=EQ6-t=8-2tt=2s2.EQ=2t-86-t=2t-83t=14t=14/3 s(14/318/3=6，此時(shí)P未到D點(diǎn)，成立)當(dāng)t=2秒時(shí)，PDQE是平行四邊形當(dāng)t=14/3秒時(shí)，PDEQ是平行四邊形14、如圖，已知三角形ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF=AE，連接AF、BE和CF。（1）求證三角形BDE全等于三角形FEC；(2)判斷四邊形ABDF是怎樣

4、的四邊形，并說(shuō)明理由（1）三角形ABD三角形ACD三角形AFD（2）四邊形ABDF是平行四邊形因?yàn)镃D=CE，角ACB=60，所以三角形CDE為全等三角形。因?yàn)镋F=AE，角AEF等于60度，所以三角形AEF為全等三角形，AE=AC-CE,BD=BC-DC,所以BD=AF,在三角形BDE和三角形FCE中，角BDE=180-60=120,角CEF=180-60=120,DE=CE,BD=AF=EF,所以三角形BDE和三角形FCE全等。因三角形ABC是等邊三角形,角CBA等于60度；又角CDF等于60度，所以DF/AB,又DF=AE，三角形DCE是等邊三角形，所以EF+DE=AE+EC=AC=AB

5、，即DF=AB,故四邊形ABDF是平行四邊形。15、請(qǐng)用兩種方法解答：如圖：CD為直角三角形ABC斜邊AB上的高，AE平分角BAC，并交CD于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)作EF/AB,并交BC于F點(diǎn)，求證：CE=BF。方法一：證：過(guò)E作EG平行BC交AB于點(diǎn)G又因?yàn)镋F平行于AB，所以有EFBG為平行四邊形，即有：FB=EG再因AE平分角BAC，所以：角CAE=角BAE因?yàn)樵谥苯侨切蜛BC中，角BCA=90度，CD垂直于AB易得：角ACD=角B=角EGA因?yàn)锳E是公共邊所以有三角形CAE全等于三角形GAE所以有：CE=EG=BF方法二：過(guò)E作AC 的垂直線交AC于M,過(guò)F作AB的垂線交AB于G,DE=FG,

6、 因?yàn)锳E平分角A,可證三角形ADE和三角形AEM全等，即ME=ED=FG在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中，角B加角BCE=90,角ACE加角BCE=90,所以，角B等于角ACE, 在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中, ME=FG,所以Rt三角形BFG和Rt三角形CEM全等。P5514、如圖所示，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=AD,角BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，連結(jié)DE，(1)求證四邊形ABED是菱形；(2)若角ABC=60度，CE=2BE,試判斷三角形CDE的形狀并說(shuō)明理由。答：因?yàn)锳D/BC.AB=AD角BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E所以角DAE=角AEB=角BAE，所

7、以BE=AB=AD，所以四邊形ABED是菱形所以角DEC=角B=60度， 又因?yàn)镃E=2BE=2DE，取CE重點(diǎn)F，連結(jié)DF，則EF=ED所以CDF是等邊三角形，所以DF=CF，一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角之和，所以角C=角DFE的一半=30度所以角CDE=90度，所以CDE是直角三角形15、如圖，AD是Rt三角形ABC斜邊BC上的高，角B的平分線交AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)G,(1)比較AE、AG的大小，并說(shuō)明理由；(2)作GF垂直BC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，判斷四邊形AEFG的形狀，并說(shuō)明理由。（3）若AD=4,BD=3,求AE的長(zhǎng)。1.C+DAC=90°，BAD+DAC=90° ，C=

8、BAD ，BE平分ABC ，ABE=CBE ，AGE=BAD+ABE，AEG=C+CBE ，AGE=AEG ，AG=AE 。（2）AG=GF (角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等）BG=BG, 所以 ABGFBG, 故, AGB=FGB又 EG=EG AG=GF 所以 AEGFEG ,故 AE=EF,即 AG=GF= AE=EF 所以四邊形AEFG的形狀是菱形四邊形AEFG是菱形 （3）3）AD=4，BD=3 則AB=5， 根據(jù)角平分線定理：AE/ED=AB/BD 即AE/(AD-AE)=AB/BD AE/(3-AE)=5/4解得：AE=5/3P57頁(yè)：第十二題：如圖8，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=

9、3CM,AD=4CM,過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)0作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)為：解：設(shè)AE=x，連接BE，OE垂直平分BD，EB=ED=4-x,在直角三角形ABE中，BE²-AE²=AB²，即（4-x）²-x²=3²，解得：x=7/8，答：AE=7/8P57頁(yè)第13題：如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，依次連接菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個(gè)矩形的面積為一，則第n個(gè)矩形的面積為：第n個(gè)矩形的面積為 sn 。sn = 1/2(2n-2)易得第二個(gè)矩形的周長(zhǎng)為 1/2，

10、第三個(gè)矩形的周長(zhǎng)為1/22，依此類(lèi)推，第n個(gè)矩形的周長(zhǎng)為1/2n-1，面積為=（1/2n-1*1/2n-1）=1/2(2n-2)P57頁(yè)14題： 如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MV/BC，設(shè)MN交角BCA的平分線于點(diǎn)E，交角BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連結(jié)AE、AF,那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論。當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或OA=OC）時(shí)，四邊形AECF是矩形由于CE平分BCA，那么有1=2，而MNBC，利用平行線的性質(zhì)有1=3，等量代換有2=3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可證四邊形A

11、ECF是平行四邊形，又CE、CF分別是BCA及其外角的角平分線，易證ECF是90°，從而可證四邊形AECF是矩形解答：解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或OA=OC）時(shí)，四邊形AECF是矩形證明：CE平分BCA，1=2，又MNBC，1=3，3=2，EO=CO，同理，F(xiàn)O=CO，EO=OF，而OA=OCAECF是平行四邊形，又CE、CF分別是BCA及其外角的角平分線，ECF是90°，P57頁(yè)：15題。在平分四邊ABCD中，角BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F。（1）在圖1中證明CE=CF；（2）若角ABC=90度，G是EF的中點(diǎn)(如圖2)，直接寫(xiě)出角BDG的度數(shù)；（3

12、）若角ABC=120度，F(xiàn)G/CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求角BDG的度數(shù)。解：（1）證明：AF平分BAD，BAF=DAF.四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC,ABCD.DAF=CEF,BAF=F.CEF=F.CE=Cf(2) 連BG、CG，BE=AB=DC，EG=CG，BEG=135°=DCG，BEGDCG，BG=DG，BGE=DGC，BGD=EGC=90°BDG是等腰直角三角形，BDG=45°(3)分別連接GB,GE,GC（如圖4）ABDC,ABC=120°，ECF=ABC=120°，F(xiàn)GCE且FG=CE,四邊形CEG

13、F是平行四邊形.由（1）得CE=CF,平行四邊形CEGF是菱形.EG=EC,GCF=GCE=1/2ECF=60°ECG是等邊三角形.EG=CG,GEC=GCF=60°.GEC=GCF.BEG=DCG.由ADBC及AF平分BAD可得BAE=AEB.AB=BE.在平行四邊形ABCD中，AB=DC.BE=DC.由得BEGDCG.BG=DG,1=2.BGD=1+3=2+3=EGC=60°.BDG=(180°-BGD)/2=60°P59頁(yè)：13題。長(zhǎng)為1，寬為a的矩形紙片（a大于二分之一小于1），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱(chēng)第一次

14、操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)的矩形寬幅的正方形（稱(chēng)第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩余的矩形為正方形，則操作終止，當(dāng)n=3時(shí)，a的值為？ 一 1/2a1時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長(zhǎng)為a，寬為1-a，所以第二次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1此時(shí)，分兩種情況：如果1-a2a-1，即a2/3，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為2a-1則2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=3/5;如果1-a2a-1，即a2/3,那么第三次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為1-a則1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=3/4故

15、答案為3/5；或3/4.P59頁(yè)第14題：如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交點(diǎn)H.(1)求證：EB=GD;(2)判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若AB=2,AG=2,求EB的長(zhǎng)。1) 因?yàn)檎叫蜛EFG中，AE垂直于AG，那么<EAF=90º -45º= 45º 在三角形AEB 和三角形AGD中，AB=AD，<EAG=<GAD=45º ，AE=AG所以三角形AEB和三角形AGD全等，所以 BE=DG。2）EBGD，連接BD，由（1）得ADG=ABE則

16、在BDH中 ，角ABH+角HBD+角BDH=90度，角GDA=角ABH，所以，角HBD+角BDH=90度，所以，DHB=90°所以EBGD；3）AB=2,AG=2 設(shè)BD與C交O點(diǎn)，在RT三角形ABD中，BD2=AB2+AD2=(4+4)=22，在Rt三角形GOD中，GD2=(AG+AO)2-DO2=(22)2-22=6GD=6,GD=BE所以BE=6。頁(yè)，第題：如圖，在等腰梯形中，/BC,AD=AB=CD=2,角C=60度，M是BC的中點(diǎn)，（1）求證三角形MDC是等邊三角形；將MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即MD）與AB交于一點(diǎn)E，MC（即MC）同時(shí)與AD交于一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)和點(diǎn)A構(gòu)

17、成AEF試探究AEF的周長(zhǎng)是否存在最小值？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出AEF周長(zhǎng)的最小值 （1）過(guò)點(diǎn)D作DPBC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AQBC于點(diǎn)Q，得到CP=BQ= 1/2AB，CP+BQ=AB=1，得出BC=2CD，由點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，推出CM=CD，由C=60°，根據(jù)等邊三角形的判定即可得到答案；（2）AEF的周長(zhǎng)存在最小值，理由是連接AM，由ABMD是菱形，得出MAB，MAD和MCD是等邊三角形，推出BME=AMF，證出BMEAMF（ASA），得出BE=AF，ME=MF，推出EMF是等邊三角形，根據(jù)MF的最小值為點(diǎn)M到AD的距離3，即EF的最小值是3，即可求出AEF的周長(zhǎng)解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DPBC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AQBC于點(diǎn)Q，即AQDP，ADBC，ADPQ是平行四邊形，AD=QP=AB=CD，C=B=60°，BAQ=CDP=30°，CP=BQ=1/2AB=1，即BC=1+1+2=4，CD=2，BC=2CD，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，BC=2CM，CD=CM，C=60°，MDC是等邊三角形（2）解：AEF的周長(zhǎng)存在最小值，理由如下：