空間向量與立體幾何知識總結(jié)材料(高考必備!)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)授課教師：全國章年級：茴二上課時(shí)間：教材版本：人教版總課時(shí)：已上課時(shí)：課時(shí)學(xué)生簽名：課題名稱教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)教學(xué)步驟及內(nèi)容空間向量與立體幾何一、空間直角坐標(biāo)系的建立及點(diǎn)的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量a ,設(shè)i, j,k (單位正交基底) rr r r r 唯一的有序?qū)崝?shù)組(a1,a2, a3)，使a a1i a2 j &k,有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,a3)叫作向量a在r空間直角坐標(biāo)系 O xyz中的坐標(biāo)，記作 a (a1,a2,a3) .在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中， uur r r對空間任一點(diǎn) A ,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(

2、x, y, z),使OA xi yj zk ,有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中的坐標(biāo)，記作 A(x, y, z) , x叫橫坐標(biāo)， y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo).二、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律 rr(1)若 a (aa,%) , b 0心,4)， r r則a b (a1 b),a2 b2,a3 b3), r rra br (a1 00 b2,a3 b3),a ( a1, a2, a3)(R)，a/ba1b1,a23自th(R),uum若 A(xi,y1,z1), Bd, y2Z),則 AB (x2 x1, y2y1, z2z1) 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這

3、個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。r rrr(3) a/bbabia1b2a2(R)b3a3文檔三、空間向量直角坐標(biāo)的數(shù)量積叫作向量a, b的數(shù)量積，記作a b ,即a b =1、設(shè)a, b是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量| a |b | cos a,b|a|b|cos a,b 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。2、模長公式| a |；a a vx12 x22 x323、兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(x1,y1,z1), B(x2, y2, z2),則1ABi AB2 . (x2 X)2 (y2 yi)2 (z2 z)2 ,或 dA,B &x x1)2 (y2 y1)2 (z2

4、z1)2 .4、夾角：cos (a br r r |a| a arra b r r |a|b| 2 a 。r r0(a,b是兩個(gè)非零向量)；5、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：_ r r r r r _ a e | a |cos a,e .6、運(yùn)算律ab ba；(a)b(b a) a (b c) a b a c四、直線的方向向量及平面的法向量2、直線的方向向量：我們把直線 l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量平面的法向量：如果表示向量 n的有向線段所在直線垂直于平面”，則稱這個(gè)向量垂直于平面“，記作 ,那么向量n叫做平面a的法向量。注：若l,則稱直線l為平面 的法線；平面的法向量就是法線的

5、方向向量。給定平面的法向量及平面上一點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定一個(gè)平面。3、在空間求平面的法向量的方法：(1)直接法：找一條與平面垂直的直線，求該直線的方向向量。(2)待定系數(shù)法：建立空間直接坐標(biāo)系r設(shè)平面的法向量為 n (x, y,z)在平面內(nèi)找兩個(gè)不共線的向量a (xi,y1,4)和 b 區(qū))r一、 n建立方程組：rnr a r b解方程組，取其中的一組解即可。五、證明2、證明兩直線平行 已知兩直線a和b , 證明直線和平面平行(1)已知直線aA,B,A,B3、(2)已知直線a 證明兩個(gè)平面平行,A,B4、5、已知兩個(gè)不重合平面證明兩直線垂直已知直線a,bo A, B 證明直線和平面垂直6、已知直

6、線a和平面 證明兩個(gè)平面垂直八、a,C,D b ,則 a bCD存在唯一的實(shí)數(shù)使ABa,C,D,E且三點(diǎn)不共線，則a,和平面的法向量n,則a /，法向量分別為m,n,則a,C,D b,則 a，且a、b a,面已知兩個(gè)平面，兩個(gè)平面的法向量分別為計(jì)算角與距離a /ABm /存在有序?qū)崝?shù)對b AB?CD的法向量為mur rm , n，則UUlr ITAB /muuuu 使ABuuirCDuuuuCEurm1、求兩異面直線所成的角uuuuuu已知兩異面直線 a,b, A,B a,C,D b,則異面直線所成的角為：cosAB ?CDuum uuuAB CD例題【空間向量基本定理】例1.已知矩形 ABC

7、D P為平面ABCD7卜一點(diǎn)，且 PAL平面ABCD M N分別為PC PD上的點(diǎn)，且 M分PC成定比2, N分 PD成定比1 ,求滿足如=乂皿+加,地P的實(shí)數(shù)x、y、z的值。AB、AO、AP表不'出來,分析；結(jié)合圖形，從向量 MN出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都用 即可求出x、v、z的值。如圖所示，取PC的中點(diǎn)E,連接NE則MM = EN-EM 。點(diǎn)評：選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項(xiàng)基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量。再對照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要 求的向量當(dāng)作新的

8、所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合， 組合是分解的表現(xiàn)形式。 空間向量基本定理恰好說明，用空間三個(gè)不共面的向量組 卜力人)可以表示出空間任意一個(gè)向量,而且a,b,c的系數(shù)是惟一的?！纠每臻g向量證明平行、垂直問題】例2.如圖，在四B隹PABCM,底面ABC比正方形，側(cè)棱PD1底面ABCD PD=DC E是PC的中點(diǎn)，作EFL PB于點(diǎn)F。(1)證明：PA平面EDB(2)證明：PBL平面EFD(3)求二面角 C-PB- D的大小。點(diǎn)評：(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量. (2)證明線面平行的方法：證明直線的方向向

9、量與平面的法向量垂直；證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線；利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量.(3)證明面面平行的方法：轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量.(4)證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直.(5)證明線面垂直的方法：證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；證明直線與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法：轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.【用空間向量求空間角】例3.正方形ABCD-直聲1cl中，e、F分別是宣1P1,總1力的中點(diǎn)，求：(

10、1)異面直線AE與CF所成角的余弦值；(2)二面角C AE-F的余弦值的大小。點(diǎn)評：(1)兩條異面直線所成的角日可以借助這兩條直線的方向向量的夾角中求得，即coeBTcos中|。(2)直線與平面所成的角日主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角中求得，即Sine=l C0£CPl或cos 6= sin 卬(3)二面角的大小可以通過該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角?！居每臻g向量求距離】例4.長方體ABCD-%EiC】Di中，ab=4, ad=6 弘廣,M是AiG的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|CP|=2 , Q是DD的中點(diǎn), 求：(1)異面直線AM與P

11、Q所成角的余弦值；(2) M到直線PQ的距離;(3) M到平面ABP的距離。本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離， 線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個(gè)新的 熱點(diǎn)?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法。(1)平面的法向量的求法：設(shè) “"tXVJ，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)向量 a, b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元 一次方程，聯(lián)立后取其一組解。(2)線面角的求法：設(shè)

12、n是平面a的一個(gè)法向量， AB是平面色的斜線l的一個(gè)方向向量，則直線，與平面口所成角為 則sinAB?n1ABi |n|z±y(3)二面角的求法： AB, CD分別是二面角B的兩個(gè)面內(nèi)與棱i垂直的異面直線，則二面角的大小為設(shè)分別是二面角”IT 面角或其補(bǔ)角。疝叫就是二面角的平(4)異面直線間距離的求法：11】口是兩條異面直線，n是1I1口的公垂線段AB的方向向量，又 C D分別是Un上的任意兩點(diǎn)，則實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)| AB H |B到平面工的距離為 EI(5)點(diǎn)面距離的求法：設(shè) n是平面乂的法向量，AB是平面工的一條斜線，則點(diǎn)(6)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用(5)中方法求解。練習(xí)：

13、uuuu1 .若等邊 ABC的邊長為2避，平面內(nèi)一點(diǎn) M滿足CM2 .在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A (1, 0, 2) , B(1, -3,標(biāo)是 O1 uuu 2 uurUULr UULT-CB -CA,則 MA?MB 631),點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則 M的坐3 .(本小題滿分12分)如圖，在五面體 ABCDE沖,FA 平面 ABCD,ADBCFE , AB AD,M為EC的中點(diǎn),c 1AF=AB=BC=FE= AD2(I) 求異面直線BF與DE所成的角的大小;(II) 證明平面AMD平面CDE(III )求二面角A-CD-E的余弦值。 文檔4 .(本題滿分15分)如圖，平面 PAC平面 ABC , ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA,PB - AC 的中占一 A