概率統(tǒng)計(jì)第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征知道了隨機(jī)變量的概率分布也就知道了它的全部統(tǒng)計(jì)特性然而，在許多實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的概率分布往往不易求得，也有不少實(shí)際問題并不需要我們知道隨機(jī)變量的全部統(tǒng)計(jì)特性，而只需要知道它的某些主要統(tǒng)計(jì)特征舉例：學(xué)生成績首先要知道平均成績，其次又要注意各個(gè)學(xué)生的成績與平均成績的偏離程度. 平均成績?cè)礁?，偏離程度越小，學(xué)生學(xué)習(xí)成績就越好。我們把表示隨機(jī)變量某些特征的數(shù)值稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征，它們反映了隨機(jī)變量的某些本質(zhì)屬性許多重要的分布往往由這些數(shù)字特征唯一確定本章主要介紹數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)和矩第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望一 數(shù)學(xué)期望的定義 1. 引例 設(shè)有十個(gè)數(shù)字1，1，2，2，2，

2、3，3，3，3，4 以表示平均值，則有又可以寫成。顯然，這里的實(shí)際上是數(shù)字1，2，3，4在這十個(gè)數(shù)字中所占的份額，我們可以稱之為這四個(gè)數(shù)字的“權(quán)重”，所以上式又可稱為是1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字的加權(quán)平均數(shù)。再換一個(gè)角度，設(shè)想這是十張寫有數(shù)字的卡片，隨機(jī)從中取出一張，觀察到的數(shù)值為，則它是一個(gè)隨機(jī)變量，它的可能取值為1，2，3，4，而它的分布律為：因此，實(shí)質(zhì)上就是隨機(jī)變量的取值的平均數(shù)。受此問題的啟發(fā)，引出如下數(shù)學(xué)期望的定義.2數(shù)學(xué)期望（Mathematical expectation）或均值(Mean)的定義1）定義 設(shè)是離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則定義的數(shù)學(xué)期望為 ；2）

3、定義 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對(duì)可積，則定義的數(shù)學(xué)期望為.【注1】 數(shù)學(xué)期望即隨機(jī)變量的平均取值，它是所有可能取值以概率為權(quán)重的加“權(quán)”平均考察隨機(jī)變量的平均取值【注2】連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的實(shí)質(zhì)是相同的：相當(dāng)于；相當(dāng)于；相當(dāng)于.【注3】 物理解釋：數(shù)學(xué)期望重心設(shè)有總質(zhì)量為的個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，記點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)為，質(zhì)量為，求該質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo).解：記質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)為，于是，這里是在點(diǎn)處的質(zhì)量占總質(zhì)量的比重，因此是以為權(quán)的加“權(quán)”平均例 甲、乙兩人作射擊比賽，命中環(huán)數(shù)分別為，它們的分布律分別為 問：哪一個(gè)射手的本領(lǐng)較好？解 （環(huán)） （環(huán)）

4、顯然,，因此甲比乙的本領(lǐng)要好些例2 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：，求解：.二 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1.定義 設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，且級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 2定義 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為：. 例3.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律如下，求：.X0 1 2 P3/10 6/10 1/10解：.例4.設(shè)風(fēng)速X是一個(gè)隨機(jī)變量，在0，上服從均勻分布，而飛機(jī)的兩機(jī)翼受到的壓力Y與風(fēng)速X的平方成正比，即，求：.解：X的密度函數(shù)為，而，所以.三 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. (其中c為常數(shù))；2. (其中c為常數(shù))； 3. ； 4

5、. 如果X與Y相互獨(dú)立，則.例4. 若X的數(shù)學(xué)期望E（X）存在，求： 解：第二節(jié) 方差與標(biāo)準(zhǔn)差一 方差（Variance）與標(biāo)準(zhǔn)差(Standard deviation)的概念 1方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義定義 設(shè)是隨機(jī)變量，若存在，則稱為的方差，記為或，即隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差的算術(shù)平方根，記為從定義中可清楚地看出：方差實(shí)際上是隨機(jī)變量X 的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，于是當(dāng)為離散型隨機(jī)變量，其方差為 ；當(dāng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其方差為 .【注1】方差描述的是隨機(jī)變量取值的波動(dòng)程度，或隨機(jī)變量偏離均值的程度2.計(jì)算方差的簡便公式：利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可以得到：.因此，方差的計(jì)算常常用簡便公式：例1 設(shè)， 求：解

6、：=0；所以：.二 方差的性質(zhì) 1. (c是常數(shù))； 2. (c是常數(shù))；3. (c是常數(shù))；4. 如果與獨(dú)立，則這個(gè)結(jié)論可以推廣到有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況：設(shè)相互獨(dú)立，則有.例2.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與 ，它們的方差分別為4和2，求解：.例3. 隨機(jī)變量X有，且已知求解：由，故：.三 常用分布的數(shù)學(xué)期望與方差分布名稱數(shù)學(xué)期望方差0-1 分布pp(1-p)二項(xiàng)分布npn p (1-p)泊松分布(l)ll均勻分布指數(shù)分布 Exp(l)正態(tài)分布 N(m, s 2)ms 2例4. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間上服從均勻分布，求解： ， ；.例5. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，求解：由二項(xiàng)分布的

7、定義可知：隨機(jī)變量X表示重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，且在每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為.現(xiàn)在引進(jìn)隨機(jī)變量，表示在第次試驗(yàn)中A發(fā)生；表示在第次試驗(yàn)中A不發(fā)生，則.由于各次試驗(yàn)的獨(dú)立性，且 ，可得：，所以：；.【注2】當(dāng)直接求某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或方差有困難或計(jì)算麻煩時(shí)，一個(gè)較為有效的處理技巧是把它分解成若干容易求數(shù)學(xué)期望或方差的隨機(jī)變量的和，從而可以方便地求出該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或方差。四 切比雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫定理 對(duì)于隨機(jī)變量，則對(duì)于任意>0， 或 切比雪夫（Chebyshev）不等式（證略）【注2】 從定理中看出，越小，隨機(jī)變量取值于中的概率就越大，這就說明方差

8、是一個(gè)反映隨機(jī)變量的概率分布對(duì)其分布中心()的集中程度的數(shù)量指標(biāo)【注3】 利用切比雪夫不等式，可以在隨機(jī)變量的分布未知的情況下估算事件的概率(只不過精度太差)切比雪夫不等式在理論上的意義更大一些.例6.設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望方差，若，求及.解： 這說明：具有數(shù)學(xué)期望為0，方差為1.稱Y為X經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量.例7. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從相同的分布，且，求 的數(shù)學(xué)期望和方差.解： ； .例8. 某批產(chǎn)品的次品率為0.04，試用切比雪夫不等式估計(jì)15000件產(chǎn)品中，次品數(shù)在500700件之間的概率.解：設(shè)次品數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)發(fā)布，所以；，即，其中.由切比雪夫不等式 可得：.* 第三節(jié) 矩

9、、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 一. 協(xié)方差(Covariance)設(shè)為二維隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的協(xié)方差定義為計(jì)算協(xié)方差常用下列公式：當(dāng)時(shí)， 協(xié)方差具有下列性質(zhì)：(1) (c是常數(shù))；(2) ；(3) (是常數(shù))；(4) 【注1】【注2】【注3】二 相關(guān)系數(shù)(Correlation coefficient）隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)定義為相關(guān)系數(shù)反映了隨機(jī)變量與之間線性關(guān)系的緊密程度，當(dāng)越大，與之間的線性相關(guān)程度越密切，當(dāng)時(shí)，稱與不相關(guān) 相關(guān)系數(shù)具有下列性質(zhì)： (1) ； (2) 的充要條件是，其中為常數(shù)； (3) 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則與不相關(guān)，即，但由不能推斷與獨(dú)立 (4) 下列5個(gè)命題是等價(jià)的： (i) ； (ii) ； (iii) ； (iv) )； (v) 利用協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)可以計(jì)算 【注4】的大小反映了與之間的線性關(guān)系若，則說與間正相關(guān)（，完全正相關(guān)）；若，則說與間負(fù)相關(guān)（，完全負(fù)相關(guān)）【注5】與不相關(guān)表示與之間不存在線性關(guān)系【注6】與不相關(guān)【注7】若與相互獨(dú)立，則與不相關(guān)反之不然，反例見教材三 k階原點(diǎn)矩與k階中心矩 隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩定義