濃問題 十字交叉法

1、濃度問題一個好玩的故事熊喝豆?jié){黑熊領著三個弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路過了狐貍開的豆?jié){店。只見店門口張貼著廣告：“既甜又濃的豆?jié){每杯0.3元。”黑熊便招呼弟弟們歇腳，一起來喝豆?jié){。黑熊從狐貍手中接過一杯豆?jié){，給最小的弟弟喝掉，加滿水后給老三喝掉了，再加滿水后，又給老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。狐貍開始收錢了，他要求黑熊最小的弟弟付出0.3×0.05(元)；老三0.3×0.1(元)；老二與黑熊付的一樣多，0.3×0.15(元)。兄弟一共付了0.45元。兄弟們很驚訝，不是說，一杯豆?jié){0.3元，為什么多付0.450.30.15元？肯定是黑熊再敲

2、詐我們。不服氣的黑熊嚷起來：“多收我們堅決不干。”“不給，休想離開?！爆F在，說說為什么會這樣呢？專題簡析：溶質：在溶劑中的物質。溶劑：溶解溶質的液體或氣體。溶液：包含溶質溶劑的混合物。在小升初應用題中有一類叫溶液配比問題，即濃度問題。我們知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說糖水甜的程度是由糖（溶質）與糖水（溶液糖+水）二者質量的比值決定的。這個比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者質量的比值叫酒精含量。因而濃度就是溶質質量與溶液質量的比值，通常用百分數表示，即，濃度×1

3、00×100相關演化公式溶質的重量溶劑的重量溶液的重量溶質的重量÷溶液的重量×100%濃度 溶液的重量×濃度溶質的重量 溶質的重量÷濃度溶液的重量解答濃度問題，首先要弄清什么是濃度。在解答濃度問題時，根據題意列方程解答比較容易，在列方程時，要注意尋找題目中數量問題的相等關系。濃度問題變化多，有些題目難度較大，計算也較復雜。要根據題目的條件和問題逐一分析，也可以分步解答。例題1有含糖量為7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？【思路導航】根據題意，在7的糖水中加糖就改變了原來糖水的濃度，糖的質量增加了，糖水的質量也增加了，但

4、水的質量并沒有改變。因此，可以先根據原來糖水中的濃度求出水的質量，再根據后來糖水中的濃度求出現在糖水的質量，用現在糖水的質量減去原來糖水的質量就是增加的糖的質量。 解: 原來糖水中水的質量：600×（17）558（克） 現在糖水的質量 ：558÷（110）620（克） 加入糖的質量 ：62060020（克） 答：需要加入20克糖。練習11、現在有濃度為20的糖水300克，要把它變成濃度為40的糖水，需要加糖多少克？2、有含鹽15的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為20，需加鹽多少千克？3、有甲、乙兩個瓶子，甲瓶里裝了200毫升清水，乙瓶里裝了200毫升純酒精。第一次把20毫升純

5、酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含水多？十字交叉法可用于溶液濃度的計算，例如溶液的稀釋、濃縮或混合等計算題。使用此法，使解題過程簡便、快速、正確。下面通過例題介紹十字交叉法的原理：同一物質的甲、乙兩溶液的百分比濃度分別為a、b（ab），現用這兩種溶液配制百分比濃度為c的溶液。問取這兩種溶液的質量比應是多少？ 同一物質的溶液，配制前后溶質的質量相等，利用這一原理可列式求解。設甲、乙兩溶液各取m1、m2克，兩溶液混合后的溶液質量是（m1m2）克。列式m1×am2×b=（m1 m2）×c，把此式整理得：m1：m2=

6、（c-b）/（a-c），m1：m2就是所取甲、乙兩溶液的質量比。 為了便于記憶和運算，若用C濃代替a，C稀代替b，C混代替C 如圖把上式寫成十字交叉法的一般形式，在運用十字交叉法進行計算時要注意，斜找差數，橫看結果。例題2 將20的鹽水與5的鹽水混合，配成15的鹽水600克，需要20的鹽水和5的鹽水各多少克？【思路導航】根據題意，將20的鹽水與5的鹽水混合配成15的鹽水，說明混合前兩種鹽水中鹽的質量和與混合后鹽水中鹽的質量是相等的?？筛鶕@一數量間的相等關系列方程解答。 解：設20的鹽水需x克，則5的鹽水為600x克，那么 20x+（600x）×5600×15 X 400

7、600400200（克） 答：需要20的鹽水400克，5的鹽水200克。方法二解：用十字交叉法：15%20鹽水5鹽水20%5%10%5%10%5%=2：1配成15的鹽水600克，所需20的鹽水與5的鹽水比例為2：1，即需要20的鹽水600×(2/3）=400克，需要5的鹽水600×(1/3）=200克，（或者600400200克） 答：需要20的鹽水400克，5的鹽水200克。練習21、兩種鋼分別含鎳5和40，要得到140噸含鎳30的鋼，需要含鎳5的鋼和含鎳40的鋼各多少噸？2、甲、乙兩種酒各含酒精75和55，要配制含酒精65的酒3000克，應當從這兩種酒中各取多少克？例題

8、3現有濃度為10的鹽水20千克。再加入多少千克濃度為30的鹽水，可以得到濃度為22的鹽水？【思路導航】這是一個溶液混合問題。混合前、后溶液的濃度改變了，但總體上溶質及溶液的總質量沒有改變。所以，混合前兩種溶液中溶質的和等于混合后溶液中的溶質的量。解: 20千克10的鹽水中含鹽的質量 20×102（千克） 混合成22時，20千克溶液中含鹽的質量 20×22404（千克） 需加30鹽水溶液的質量 （4.42）÷（3022）30（千克） 答：需加入30千克濃度為30的鹽水，可以得到濃度為22的鹽水。方法二解：用十字交叉法：練習31、在100千克濃度為50的硫酸溶液中，再

9、加入多少千克濃度為5的硫酸溶液就可以配制成25的硫酸溶液？2、濃度為70的酒精溶液500克與濃度為50的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少？3、在20的鹽水中加入10千克水，濃度為15。再加入多少千克鹽，濃度為25？例題4一種35的新農藥，如稀釋到1.75時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35的農藥加多少千克水，才能配成1.75的農藥800千克？【思路導航】把濃度高的溶液經添加溶劑變?yōu)闈舛鹊偷娜芤旱倪^程稱為稀釋。在這種稀釋過程中，溶質的質量是不變的。這是解這類問題的關鍵。解: 800千克1.75的農藥含純農藥的質量為 800×1.7514（千克） 含14千克純農藥的35

10、的農藥質量為 14÷3540（千克） 由40千克農藥稀釋為800千克農藥應加水的質量為 80040760（千克） 答：用40千克的濃度為35的農藥中添加760千克水，才能配成濃度為1.75的農藥800千克。方法二解：用十字交叉法：練習41、用含氨0.15的氨水進行油菜追肥。現有含氨16的氨水30千克，配置時需加水多少千克？2、倉庫運來含水量為90的一種水果100千克。一星期后再測，發(fā)現含水量降低到80。現在這批水果的質量是多少千克？3、一容器內裝有10升純酒精，倒出2.5升后，用水加滿；再倒出5升，再用水加滿。這時容器內溶液的濃度是多少？例題5 甲、乙、丙3個試管中各盛有10克、20

11、克、30克水。把某種質量分數的鹽水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中?，F在丙管中的鹽水的質量分數為0.5。最早倒入甲管中的鹽水質量分數是多少？混合后甲、乙、丙3個試管中應有的鹽水分別是20克、30克、40克。根據題意，可求出現在丙管中鹽的質量。又因為丙管中原來只有30克的水，它的鹽是從10克鹽水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克鹽水中鹽的質量。而乙管里的鹽又是從10克鹽水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克鹽水中鹽的質量。而甲管里的鹽是某種濃度的鹽水中的鹽，這樣就可得到最初倒入甲管中鹽水的質量分數。 丙管中鹽的質量：（30+10）

12、5;0.502（克） 倒入乙管后，乙管中鹽的質量：0.2×【（20+10）÷10】0.6（克） 倒入甲管，甲管中鹽的質量：0.6×【（10+10）÷10】1.2（克） 1.2÷1012 答：最早倒入甲管中的鹽水質量分數是12。練習51、從裝滿100克80的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿。如此反復三次后，杯中鹽水的濃度是多少？2、甲容器中又8的鹽水300克，乙容器中有12.5的鹽水120克。往甲、乙兩個容器分別倒入等量的水，使兩個容器中鹽水的濃度一樣。每個容器應倒入多少克水？3、甲種酒含純酒

13、精40，乙種酒含純酒精36，丙種酒含純酒精35。將三種酒混在一起得到含酒精38.5的酒11千克。已知乙種酒比丙種酒多3千克，那么甲種酒有多少千克？十字交叉法的其他應用數學統計某班一次數學測試，全班平均91分，其中男生平均88分，女生平均93分，則女生人數是男生人數的多少倍?( ) A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 生活問題一公斤雞蛋有18個，一公斤鴨蛋有12個，一公斤雞蛋和鴨蛋共有15個，則一公斤雞蛋和鴨蛋中雞蛋對鴨蛋個數比多大？較復雜的利潤問題例2、某商店花10000進了一批商品，按期望獲得相當于進價25%的利潤來定價。結果只銷售了商品總量的30%。為盡快完成資金周轉，商店決定

14、打折銷售，這樣賣完全部商品后，虧本1000元。問商店是按定價打幾折銷售的？A、九折B、七五折C、六折D、四八折解析：該題屬于利潤問題，根據條件，這批商品分兩個部分出售：30%的商品按25%的利潤來定價出售，70%的商品打折后出售，最后總虧本1000元，即總利潤為-10%。設打折后出售的70%的商品的利潤率為x，可用十字交叉法表示如下：得方程：，解得x=-25%。則：×106答案選C。濃度問題的方法總結基本公式濃度×100×100相關演化公式的重量的重量溶液的重量的重量÷的重量×100%濃度 的重量×濃度溶質的重量 ÷溶液的重

15、量十字交叉法的方法總結濃度之十字交叉質量之十字交叉作 業(yè) 題 “稀釋”問題：特點是加“溶劑”，解題關鍵是找到始終不變的量（溶質）。1、 要把30克含鹽16%的鹽水稀釋成含鹽0.15%的鹽水，須加水多少克？2、現有燒堿35克，配制成濃度為28%的燒堿溶液，須加多少水？ “濃縮”問題：特點是減少溶劑，解題關鍵是找到始終不變的量（溶質）。2、 在含鹽0.5%的鹽水中蒸去了236千克水，就變成了含鹽30%的鹽水，問原來的鹽水是多少千克？4、要從含鹽12.5%的鹽水40千克中蒸去多少水分才能制出含鹽20%的鹽水？ “加濃”問題：特點是增加溶質，解題關鍵是找到始終不變的量（溶劑）。5、有含鹽8%的鹽水40千克，要配制成含鹽20%的鹽水，須加鹽多少千克？配制問題：是指兩種或兩種以上的不同濃度的溶液混合配制成新溶液（成品），解題關鍵是分析所取原溶液的溶質與成品溶質不變及溶液前后質量不變，找到兩個等量關系。6、把含鹽5%的食鹽水與含鹽8%的食鹽水混合制成含鹽6%的食鹽水6