洛必達法則 泰勒公式

1、第三章  微分中值定理與導數(shù)的應用第二講  洛必達法則 泰勒公式目的 1使學生掌握用洛必達法則求各種類型未定式極限的方法；2理解泰勒中值定理的內(nèi)涵；3 了解等函數(shù)的麥克勞林公式；4學會泰勒中值定理的一些簡單應用重點 1運用洛必達法則求各種類型未定式極限的方法；2使學生理解泰勒中值定理的內(nèi)涵難點 使學生深刻理解泰勒中值定理的精髓 一、洛必達法則在第一章第七節(jié)中我們曾經(jīng)討論過無窮小的比較問題，并且已經(jīng)知道兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的極限運算法則去求解而由無窮大與無窮小的關

2、系知，無窮大之比的極限問題也是如此在數(shù)學上，通常把無窮小之比的極限和無窮大之比的極限稱為未定式，并分別簡記為和由于在討論上述未定式的極限時，不能應用商的極限運算法則，這或多或少地都會給未定式極限的討論帶來一定的困難今天在這里我們應用導數(shù)的理論推出一種既簡便又重要的未定式極限的計算方法，并著重討論當時，型未定式極限的計算，關于這種情形有以下定理定理 1  設(1) 當時，函數(shù)及都趨于零；(2)在點的某去心鄰域內(nèi)，及都存在，且 ；(3)存在(或為無窮大)，則 也就是說，當存在時，也存在，且等于；當為無窮大時，也是無窮大這種在一定條件下，通過分子分母

3、分別求導，再求極限來確定未定式極限的方法稱為洛必達(LHospital)法則下面我們給出定理1的嚴格證明：分析  由于上述定理的結論是把函數(shù)的問題轉化為其導數(shù)的問題，顯然應考慮微分中值定理再由分子和分母是兩個不同的函數(shù)，因此應考慮應用柯西中值定理證  因為求極限與及的取值無關，所以可以假定于是由條件(1)和(2)知，及在點的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的設是這鄰域內(nèi)一點，則在以及為端點的區(qū)間上，函數(shù)和滿足柯西中值定理的條件，因此在和之間至少存在一點，使得等式 (在與之間)成立對上式兩端求時的極限，注意到時，則又因為極限存在(或為無窮大)，所以故定理1成立注

4、 若仍為型未定式，且此時和能滿足定理1中和所要滿足的條件，則可以繼續(xù)使用洛必達法則先確定，從而確定和，即且這種情況可以繼續(xù)依此類推例1 求 分析  當時，分子分母的極限皆為零，故屬于型不定式，可考慮應用洛必達法則解  .注最后一個求極限的函數(shù)在處是連續(xù)的例2 求解  .  注 例中我們連續(xù)應用了兩次洛必達法則例3 求 解 .例4 求 .解    .注 (1) 在例4中

5、，如果我們不提出分母中的非零因子，則在應用洛必達法則時需要計算導數(shù)，從而使運算復雜化因此，在應用洛必達法則求極限時，特別要注意通過提取因子，作等價無窮小代換，利用兩個重要極限的結果等方法，使運算盡可能地得到簡化課后請同學們自己學習教材136頁上的例10 (2) 例中的極限已不是未定式，不能對它應用洛必達法則，否則要導致錯誤的結果以后在應用洛必達法則時應特別注意，不是未定式，不能應用洛必達法則對于時的未定式有以下定理定理2 設(1)當時，函數(shù)及都趨于零；(2) 當時，與都存在，且；(3) 存在(或為無窮大)，則   同樣地,對于(或)時的未定式，

6、也有相應的洛必達法則定理3   設(1)當(或)時，函數(shù)及都趨于無窮大；(2)在點的某去心鄰域內(nèi)(或當時)，及都存在，且；(3)存在(或為無窮大)，則  例5  求.解   .例6 求.解  .事實上，例6中的不是正整數(shù)而是任何正數(shù)其極限仍為零注 由例5和例6可見，當時，函數(shù)都是無窮大，但三個函數(shù)增大的“速度”是不一樣的，最快，其次是，最慢的是除了和型未定式外，還有型的未定式這些未定式可轉化為或型的未定式來計算，下面我們通過實例來加以說明例7 求

7、分析  因為，所以是型未定式又因為，  而 是型未定式，是型未定式，所以型未定式可以轉化為或型未定式去計算解 .例8 求分析  因為，所以是型未定式又因為而是型未定式，所以上述型未定式可以轉化為型未定式來計算解 注 討論型未定式的極限，一般都是通過提取公因式或通分的方法把函數(shù)由和的形式轉化為商的形式，然后再去討論例9 求.分析  這是一個冪指函數(shù)求極限的問題，由于，所以是一個型未定式又因為 ，而是型未定式，所以上述型未定式可以轉化為或型未定式來計

8、算解  .例10 求 分析  由于，所以是一個型未定式又因為 ，而是型未定式，所以上述型未定式可以轉化為或型未定式來計算解  .由于,所以例11 求 .分析  由于，所以是一個型未定式又因為 ，而是型未定式，所以上述型未定式可以轉化為或型未定式來計算解  由于 ，所以 .型未定式向或型未定式的轉化可形式地表示為：   或    ； (或)

9、；  (或)；(或) 最后我們指出，洛必達法則是求未定式極限的一種方法當定理的條件滿足時，所求的極限當然存在(或為)，但當定理的條件不滿足時，所求極限不一定不存在也就是說，當不存在時(無窮大的情況除外)，仍可能存在,見下面的例題例12 求 .解 這是一個型未定式，我們有由于上式右端極限不存在，所以未定式的極限不能用洛必達法則去求，但不能據(jù)此斷定極限不存在這時我們需要另辟新徑，重新考慮這個極限由此可見極限是存在的二、泰勒公式把一個復雜的問題轉化為一個簡單的問題去研究是我們研究復雜問題時經(jīng)常采用的方法，那么對于一個復雜的函數(shù)，為了便于研究，我們也希

10、望用一些簡單的函數(shù)來近似表達說到簡單函數(shù)，我們想到了用多項式表示的函數(shù)，它的運算非常簡單那么是否任意一個函數(shù)都可以用多項式去近似表達呢？關于這個問題我們曾經(jīng)在微分近似計算中討論過設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)可導，且，則在該鄰域內(nèi)用上述的一次多項式去近似表達函數(shù)存在兩點不足：(1) 精確度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是比高階的無窮??；(2) 用它做近似計算時，不能具體估算出誤差大小因此，在一些精度要求較高且要求估計誤差的問題中，上述近似表達是滿足不了要求的這時我們就想，是否可以找到一個關于的更高次多項式去近似地表達函數(shù)，從而使誤差變得更小呢？這就是下面我們要解決的問題設函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導

11、數(shù)，并設用于近似表達函數(shù) 的多項式為.      (1)既然我們要用去近似地表達，自然要求在處的函數(shù)值及它的直到階的導數(shù)在處的值依次與，相等，即         ，這樣我們就得到了如下個等式           ，,，即         &

12、#160; ，,將所求得的多項式的系數(shù)，, 代入(1)式，得.            (2)下面的泰勒(aylor)中值定理告訴我們，多項式(2)就是我們要找的多項式，并且用它去近似表達函數(shù)f(x),其誤差的確變小了泰勒中值定理  若函數(shù)f(x)在含有x的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導數(shù)，則對任意x,有f(x)=.         

13、  (3)其中，                                (4)這里是在與之間的某個值由(2)式和(3)式知，現(xiàn)在只要證明(介于與之間)即可證  由假設知，在內(nèi)具有直到階的導數(shù)，且.函數(shù)與在以及為端點的區(qū)間上滿足柯西中

14、值定理的條件，故有        (介于與之間).同樣，函數(shù)與在以及為端點的區(qū)間上也滿足柯西中值定理的條件，故有(介于與之間).繼續(xù)對函數(shù)與在以及為端點的區(qū)間上應用柯西中值定理，如此做下去，經(jīng)過次應用柯西中值定理后，得 (介于與之間，因而也在與之間).定理證畢泰勒中值定理告訴我們，以多項式近似表達函數(shù)時，其誤差為如果對某個固定的，當時，則有誤差估計式，及由此可見，當時，誤差是比高階的無窮小，即         

15、60;     (5)上述結果表明，多項式的次數(shù)越大，越小，用去近似表達的誤差就越小，是比高階的無窮小，并且誤差是可估計的泰勒公式不僅在近似計算中有著廣泛的應用，而且它在級數(shù)理論和數(shù)值計算中也起著重要的作用，同學們一定要深刻地理解它到此我們所提出的問題就解決了多項式(2)稱為函數(shù)按的冪展開的次泰勒多項式，公式(3)稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式，而的表達式(4)稱為拉格朗日型余項當時，泰勒公式變成拉格朗日中值公式   (介于與之間)因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣在不需要余項的精確表達式時

16、，階泰勒公式也可寫成   .()的表達式(5)稱為佩亞諾(Peano)型余項，公式(6)稱為按的冪展開的帶有佩亞諾型余項的階泰勒公式在泰勒公式(3)中，如果取，則在0與之間因此可令 ，從而泰勒公式變成簡單的形式，即所謂帶有拉格朗日型余項的麥克勞林(Maclaurin)公式  .(7)在泰勒公式(6)中，若取，則帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式為.                &

17、#160;   (8)由(7)和(8)可得近似公式   .                        (9)誤差估計式相應地變成         .     

18、;             (10)例1 寫出函數(shù)的帶有拉格朗日型余項的階麥克勞林公式解  因為，所以把這些值代入公式(7)，并注意到，便得  .由這個公式可知，若把用它的次泰勒多項式近似地表達為，則所產(chǎn)生的誤差為 .如果取，則無理數(shù)的近似式為，其誤差當時，可算出，其誤差不超過例2 求的帶有拉格朗日型余項的階麥克勞林公式解  因為,，所以，,它們順序循環(huán)地取四個數(shù)，于是令，按公式(7)得，其中   如果取，則得近似公式           ，這時誤差為  .如果分別取和，則可得的次和次近似和，其誤差的絕對值依次不超過和以上三個近似多項式及正弦函數(shù)的圖形見圖4由圖4可見，當時，近似多項式的次數(shù)越高，其向函數(shù)逼近的速度