單位圓與任意角的正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義(1)

1、4.1 4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、單位圓與任意角的正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)的定義余弦函數(shù)的定義銳角的正弦、余弦函數(shù)的定義銳角的正弦、余弦函數(shù)的定義：sin_;cos_;鄰邊斜邊對(duì)邊斜邊對(duì)邊對(duì)邊鄰邊鄰邊斜邊斜邊 以原點(diǎn)為以原點(diǎn)為O圓心，以單位長(zhǎng)圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓叫做單位圓度為半徑的圓叫做單位圓x(1,0)OP(u,v)yMxsin,c o s,M PvO PO MuO P當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P(u,v) 就是就是 的終邊與單位圓的交點(diǎn)時(shí)的終邊與單位圓的交點(diǎn)時(shí),銳角三角函數(shù)會(huì)有什么結(jié)果？銳角三角函數(shù)會(huì)有什么結(jié)果？ 下面我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中，利用單位圓來(lái)進(jìn)下面我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中，利用單位圓來(lái)進(jìn)一步研究

2、銳角一步研究銳角 的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：xyOP(u,v)A(1,0)（1）v叫做叫做的正弦，記的正弦，記作作sin， 即即sin=v； （2）u叫做叫做的余弦，記作的余弦，記作 cos，即，即cos=u 如圖，設(shè)如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)交于點(diǎn)P(u,v)，那么：，那么：三角函數(shù)三角函數(shù) 都是以角為自變量都是以角為自變量,以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)(比值比值)為為函數(shù)值的函數(shù)函數(shù)值的函數(shù).sin,cosyx角角(弧度數(shù)弧度數(shù)) 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)三角函數(shù)可以看

3、成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)RRsincos1.1.單位圓中任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單位圓中任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)v vu u全體實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù)2.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號(hào)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號(hào)方法規(guī)律：方法規(guī)律：正弦上正下負(fù)，余弦右正左負(fù)。正弦上正下負(fù)，余弦右正左負(fù)。3.3.任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)(1)(1)前提：設(shè)角前提：設(shè)角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與的頂點(diǎn)是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與x x軸的非負(fù)半軸的非負(fù)半軸重合，角軸重合，角終邊上任一點(diǎn)終邊上任一點(diǎn)Q(x,y).Q

4、(x,y).(2)(2)結(jié)論：結(jié)論：OQOQ的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為 且且sin =_sin =_，cos =_.cos =_.22rxy ,yrxr1.1.判一判判一判( (正確的打正確的打“”，錯(cuò)誤的打，錯(cuò)誤的打“”)”)(1)sin ,cos (1)sin ,cos 中可以將中可以將“”與與“sin”sin”，“cos”cos”分開(kāi)分開(kāi).( ).( )(2)(2)同一個(gè)三角函數(shù)值能找到無(wú)數(shù)個(gè)角與之對(duì)應(yīng)同一個(gè)三角函數(shù)值能找到無(wú)數(shù)個(gè)角與之對(duì)應(yīng).( ).( )(3)(3)角角終邊上有一點(diǎn)終邊上有一點(diǎn)P(1P(1，1)1)，故，故cos=1.( )cos=1.( )【解析】【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤.

5、 .符號(hào)符號(hào)sin ,cos sin ,cos 是一個(gè)整體，不能分開(kāi)是一個(gè)整體，不能分開(kāi). .(2)(2)正確正確. .終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. .(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤.P(1,1),x=1,y=1, .P(1,1),x=1,y=1, 故故cos =cos =12.222.2.做一做做一做( (請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上) )(1)(1)已知角已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) 則角則角的最小正值是的最小正值是_._.(2)(2)角角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m,4)P(m,4)，且，且cos = cos = 則則m=_.m=_.(3)

6、(3)角角滿(mǎn)足滿(mǎn)足sin 0,cos 0,cos 0sin 0時(shí)時(shí),在第一、二象限及在第一、二象限及y y軸正半軸，當(dāng)軸正半軸，當(dāng)cos 0cos 0,cos 0,cos 0時(shí)，時(shí)，在第二象限在第二象限. . 答案：答案：二二 【即時(shí)練即時(shí)練】當(dāng)角當(dāng)角=0=0時(shí)，時(shí)，sin =_sin =_；若角；若角=-3=-3，則，則sin sin 的符號(hào)為的符號(hào)為_(kāi)(_(填填“正正”或或“負(fù)負(fù)”).).【解析解析】當(dāng)角當(dāng)角=0=0時(shí)，時(shí)，sin =0sin =0；若角；若角=-3=-3，則角，則角是第三是第三象限角，所以象限角，所以sin sin 0.0.答案：答案：0 0 負(fù)負(fù) 【題型示范題型示范】類(lèi)

7、型一類(lèi)型一 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014石家莊高一檢測(cè)石家莊高一檢測(cè)) )已知角已知角與單位圓的一個(gè)交點(diǎn)坐與單位圓的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是標(biāo)是 則則cos cos 等于等于( )( )(2)(2)已知角已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(P(2,2,4)4)，求角，求角的正、余弦函的正、余弦函數(shù)值數(shù)值. .1(a,)2，313A. B. C. D.222不確定【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選D.D.因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以故故cos =cos =(2)(2)因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P(P(2,2,4)4)在角在角的終邊上，故的終邊上，故u

8、u1 1= =2 2，v v1 1= =4 4，可知，可知r=r= OPOP = =所以所以sin =sin =cos =cos =221a()12， 3a.2 3.222242 5.1v42 5r52 5；1u25.r52 5【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知角已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2P(2，-3)-3)，則，則cos cos 的值的值是是( )( )【解析解析】選選C.C.角角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2P(2，-3)-3)，故，故 由三由三角函數(shù)的定義知角函數(shù)的定義知 故選故選C C332 132 13A. B. C. D.221313OP13；2 13cos 13， 【考題鏈接考題

9、鏈接】( (20132013西安高一檢測(cè)西安高一檢測(cè)) )已知角已知角為第二象限的角為第二象限的角. .P(a,4)P(a,4)為為終邊上一點(diǎn)，且終邊上一點(diǎn)，且sin= sin= 則則sin+cossin+cos的值為的值為_(kāi) ._ .45，【解析】【解析】|OP|=r=|OP|=r= 由由sin= sin= 得得所以所以a=a=3.3. 又又為第二象限的角為第二象限的角, ,所以所以a=-3,a=-3,所以所以cos =cos =所以所以sin +cos =sin +cos =22a4 ，452244,5a42233,5a4 431.55515類(lèi)型二類(lèi)型二 三角函數(shù)值的符號(hào)的應(yīng)用三角函數(shù)值的

10、符號(hào)的應(yīng)用【典例【典例2 2】(1)(1)(已知角已知角是第二象限角，則點(diǎn)是第二象限角，則點(diǎn)P(sin ,cos )P(sin ,cos )在第在第_ 象限象限. .(2)(2)確定下列各式的符號(hào)確定下列各式的符號(hào). . cos200cos200. . sin160sin160+cos(-40+cos(-40).). sin210sin210cos260cos260. .【自主解答自主解答】(1)(1)因?yàn)榻且驗(yàn)榻鞘堑诙笙藿牵允堑诙笙藿?，所以sin sin 0 0，cos cos 0 0，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)P P的坐標(biāo)符號(hào)是的坐標(biāo)符號(hào)是(+,(+,) )，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)P P在第四象限在第

11、四象限. .(2)(2)200200為第三象限的角，所以為第三象限的角，所以cos 200cos 2000.0. 160160為第二象限的角，所以為第二象限的角，所以sin 160sin 1600.-400.-40為第四象限的角，為第四象限的角，所以所以cos(-40cos(-40) )0,0,所以所以sin 160sin 160+cos(-40+cos(-40) )0.0. 210210為第三象限的角，為第三象限的角，sin 210sin 2100,2600,260為第三象限的角，為第三象限的角，所以所以cos 260cos 2600,0,所以所以sin 210sin 210cos 260c

12、os 2600.0.四四【方法技巧方法技巧】正弦、余弦函數(shù)值的正負(fù)規(guī)律正弦、余弦函數(shù)值的正負(fù)規(guī)律【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】確定下列各式的符號(hào)確定下列各式的符號(hào). .(1)sin 2 014(1)sin 2 014. . (2) (2) (3)sin 4cos 4.(3)sin 4cos 4.11cos.6【解析】【解析】(1)2 014(1)2 014=360=3605+2145+214, ,所以所以2 0142 014為第三象為第三象限的角限的角, ,所以所以sin 2 014sin 2 0140.0.(2) (2) 為第四象限的角為第四象限的角, ,所以所以cos cos 0.0.(3)4(

13、3)4 所以所以4 rad4 rad為第三象限的角為第三象限的角. .所以所以cos 4cos 40 0，sin 4sin 40.0. 所以所以sin 4sin 4cos 4cos 40.0.1161163()2，【考題鏈接】【考題鏈接】（20142014西安高一檢測(cè)西安高一檢測(cè)) ) sin(sin(140140)cos 740)cos 740的的值值( )( )A.A.大于大于0 B.0 B.等于等于0 0 C.C.小于小于0 0 D.D.不確定不確定【解析】【解析】選選C C. . 140140是第三象限角，所以是第三象限角，所以sin(sin(140140) )0 0， 740740=

14、2=2360360+20+20，所以，所以740740是第一象限角，所以是第一象限角，所以 cos 740cos 7400 0，所以，所以sin(sin(140140)cos 740)cos 7400.0.【易錯(cuò)誤區(qū)易錯(cuò)誤區(qū)】處理三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)忽視參數(shù)的符號(hào)致誤處理三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)忽視參數(shù)的符號(hào)致誤 【典例典例】(2014(2014泰安高一檢測(cè)泰安高一檢測(cè)) )已知角已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(P(3m,m)(m0)3m,m)(m0)，則，則sin =_.sin =_.1010【解析解析】由題意得：由題意得：|OP|=|OP|=當(dāng)當(dāng)m m0 0時(shí)，時(shí)，|OP|=|OP|=則則sin=sin

15、=當(dāng)當(dāng)m m0 0時(shí)，時(shí)，|OP|=|OP|=則則sin=sin=答案：答案： 或或223mm10 m，10 m10m，m10.1010m10 m10m，m10.1010m10101010【類(lèi)題試解類(lèi)題試解】已知角已知角的終邊過(guò)點(diǎn)的終邊過(guò)點(diǎn)P(-3aP(-3a，4a)(a0)4a)(a0)，則，則cos =_.cos =_.【解析解析】由題意可得：由題意可得：|OP|=|OP|=當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)，時(shí)，|OP|=5a|OP|=5a，則，則當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)，時(shí)，|OP|=-5a|OP|=-5a，則，則答案：答案： 或或223a4a5 a .3a3cos .5a5 3a3cos .5a5 3535課課 堂堂 總總 結(jié)結(jié)1、任意角三角函數(shù)的定義：、任意角三角函數(shù)的定義：2、解題方法總結(jié)、解題方法總結(jié)（1）已知交點(diǎn)）已知交點(diǎn)P的坐標(biāo)，直接