單位圓與任意角的正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義(1)

1、4.1 4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、單位圓與任意角的正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)的定義余弦函數(shù)的定義銳角的正弦、余弦函數(shù)的定義銳角的正弦、余弦函數(shù)的定義：sin_;cos_;鄰邊斜邊對邊斜邊對邊對邊鄰邊鄰邊斜邊斜邊 以原點為以原點為O圓心，以單位長圓心，以單位長度為半徑的圓叫做單位圓度為半徑的圓叫做單位圓x(1,0)OP(u,v)yMxsin,c o s,M PvO PO MuO P當點當點P(u,v) 就是就是 的終邊與單位圓的交點時的終邊與單位圓的交點時,銳角三角函數(shù)會有什么結果？銳角三角函數(shù)會有什么結果？ 下面我們在直角坐標系中，利用單位圓來進下面我們在直角坐標系中，利用單位圓來進一步研究

2、銳角一步研究銳角 的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：xyOP(u,v)A(1,0)（1）v叫做叫做的正弦，記的正弦，記作作sin， 即即sin=v； （2）u叫做叫做的余弦，記作的余弦，記作 cos，即，即cos=u 如圖，設如圖，設是一個任意角，它的終邊與單位圓是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點交于點P(u,v)，那么：，那么：三角函數(shù)三角函數(shù) 都是以角為自變量都是以角為自變量,以單位圓上的點的坐標以單位圓上的點的坐標(比值比值)為為函數(shù)值的函數(shù)函數(shù)值的函數(shù).sin,cosyx角角(弧度數(shù)弧度數(shù)) 實數(shù)實數(shù)三角函數(shù)可以看

3、成是自變量為實數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)一一對應一一對應RRsincos1.1.單位圓中任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單位圓中任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)v vu u全體實數(shù)全體實數(shù)全體實數(shù)全體實數(shù)2.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號方法規(guī)律：方法規(guī)律：正弦上正下負，余弦右正左負。正弦上正下負，余弦右正左負。3.3.任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)(1)(1)前提：設角前提：設角的頂點是坐標系的原點，始邊與的頂點是坐標系的原點，始邊與x x軸的非負半軸的非負半軸重合，角軸重合，角終邊上任一點終邊上任一點Q(x,y).Q

4、(x,y).(2)(2)結論：結論：OQOQ的長度為的長度為 且且sin =_sin =_，cos =_.cos =_.22rxy ,yrxr1.1.判一判判一判( (正確的打正確的打“”，錯誤的打，錯誤的打“”)”)(1)sin ,cos (1)sin ,cos 中可以將中可以將“”與與“sin”sin”，“cos”cos”分開分開.( ).( )(2)(2)同一個三角函數(shù)值能找到無數(shù)個角與之對應同一個三角函數(shù)值能找到無數(shù)個角與之對應.( ).( )(3)(3)角角終邊上有一點終邊上有一點P(1P(1，1)1)，故，故cos=1.( )cos=1.( )【解析】【解析】(1)(1)錯誤錯誤.

5、 .符號符號sin ,cos sin ,cos 是一個整體，不能分開是一個整體，不能分開. .(2)(2)正確正確. .終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. .(3)(3)錯誤錯誤.P(1,1),x=1,y=1, .P(1,1),x=1,y=1, 故故cos =cos =12.222.2.做一做做一做( (請把正確的答案寫在橫線上請把正確的答案寫在橫線上) )(1)(1)已知角已知角終邊經(jīng)過點終邊經(jīng)過點 則角則角的最小正值是的最小正值是_._.(2)(2)角角的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點P(m,4)P(m,4)，且，且cos = cos = 則則m=_.m=_.(3)

6、(3)角角滿足滿足sin 0,cos 0,cos 0sin 0時時,在第一、二象限及在第一、二象限及y y軸正半軸，當軸正半軸，當cos 0cos 0,cos 0,cos 0時，時，在第二象限在第二象限. . 答案：答案：二二 【即時練即時練】當角當角=0=0時，時，sin =_sin =_；若角；若角=-3=-3，則，則sin sin 的符號為的符號為_(_(填填“正正”或或“負負”).).【解析解析】當角當角=0=0時，時，sin =0sin =0；若角；若角=-3=-3，則角，則角是第三是第三象限角，所以象限角，所以sin sin 0.0.答案：答案：0 0 負負 【題型示范題型示范】類

7、型一類型一 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014石家莊高一檢測石家莊高一檢測) )已知角已知角與單位圓的一個交點坐與單位圓的一個交點坐標是標是 則則cos cos 等于等于( )( )(2)(2)已知角已知角的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點P(P(2,2,4)4)，求角，求角的正、余弦函的正、余弦函數(shù)值數(shù)值. .1(a,)2，313A. B. C. D.222不確定【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選D.D.因為因為 所以所以故故cos =cos =(2)(2)因為點因為點P(P(2,2,4)4)在角在角的終邊上，故的終邊上，故u

8、u1 1= =2 2，v v1 1= =4 4，可知，可知r=r= OPOP = =所以所以sin =sin =cos =cos =221a()12， 3a.2 3.222242 5.1v42 5r52 5；1u25.r52 5【變式訓練變式訓練】已知角已知角的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點P(2P(2，-3)-3)，則，則cos cos 的值的值是是( )( )【解析解析】選選C.C.角角的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點P(2P(2，-3)-3)，故，故 由三由三角函數(shù)的定義知角函數(shù)的定義知 故選故選C C332 132 13A. B. C. D.221313OP13；2 13cos 13， 【考題鏈接考題

9、鏈接】( (20132013西安高一檢測西安高一檢測) )已知角已知角為第二象限的角為第二象限的角. .P(a,4)P(a,4)為為終邊上一點，且終邊上一點，且sin= sin= 則則sin+cossin+cos的值為的值為_ ._ .45，【解析】【解析】|OP|=r=|OP|=r= 由由sin= sin= 得得所以所以a=a=3.3. 又又為第二象限的角為第二象限的角, ,所以所以a=-3,a=-3,所以所以cos =cos =所以所以sin +cos =sin +cos =22a4 ，452244,5a42233,5a4 431.55515類型二類型二 三角函數(shù)值的符號的應用三角函數(shù)值的

10、符號的應用【典例【典例2 2】(1)(1)(已知角已知角是第二象限角，則點是第二象限角，則點P(sin ,cos )P(sin ,cos )在第在第_ 象限象限. .(2)(2)確定下列各式的符號確定下列各式的符號. . cos200cos200. . sin160sin160+cos(-40+cos(-40).). sin210sin210cos260cos260. .【自主解答自主解答】(1)(1)因為角因為角是第二象限角，所以是第二象限角，所以sin sin 0 0，cos cos 0 0，所以點，所以點P P的坐標符號是的坐標符號是(+,(+,) )，所以點，所以點P P在第四象限在第

11、四象限. .(2)(2)200200為第三象限的角，所以為第三象限的角，所以cos 200cos 2000.0. 160160為第二象限的角，所以為第二象限的角，所以sin 160sin 1600.-400.-40為第四象限的角，為第四象限的角，所以所以cos(-40cos(-40) )0,0,所以所以sin 160sin 160+cos(-40+cos(-40) )0.0. 210210為第三象限的角，為第三象限的角，sin 210sin 2100,2600,260為第三象限的角，為第三象限的角，所以所以cos 260cos 2600,0,所以所以sin 210sin 210cos 260c

12、os 2600.0.四四【方法技巧方法技巧】正弦、余弦函數(shù)值的正負規(guī)律正弦、余弦函數(shù)值的正負規(guī)律【變式訓練】【變式訓練】確定下列各式的符號確定下列各式的符號. .(1)sin 2 014(1)sin 2 014. . (2) (2) (3)sin 4cos 4.(3)sin 4cos 4.11cos.6【解析】【解析】(1)2 014(1)2 014=360=3605+2145+214, ,所以所以2 0142 014為第三象為第三象限的角限的角, ,所以所以sin 2 014sin 2 0140.0.(2) (2) 為第四象限的角為第四象限的角, ,所以所以cos cos 0.0.(3)4(

13、3)4 所以所以4 rad4 rad為第三象限的角為第三象限的角. .所以所以cos 4cos 40 0，sin 4sin 40.0. 所以所以sin 4sin 4cos 4cos 40.0.1161163()2，【考題鏈接】【考題鏈接】（20142014西安高一檢測西安高一檢測) ) sin(sin(140140)cos 740)cos 740的的值值( )( )A.A.大于大于0 B.0 B.等于等于0 0 C.C.小于小于0 0 D.D.不確定不確定【解析】【解析】選選C C. . 140140是第三象限角，所以是第三象限角，所以sin(sin(140140) )0 0， 740740=

14、2=2360360+20+20，所以，所以740740是第一象限角，所以是第一象限角，所以 cos 740cos 7400 0，所以，所以sin(sin(140140)cos 740)cos 7400.0.【易錯誤區(qū)易錯誤區(qū)】處理三角函數(shù)問題時忽視參數(shù)的符號致誤處理三角函數(shù)問題時忽視參數(shù)的符號致誤 【典例典例】(2014(2014泰安高一檢測泰安高一檢測) )已知角已知角的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點P(P(3m,m)(m0)3m,m)(m0)，則，則sin =_.sin =_.1010【解析解析】由題意得：由題意得：|OP|=|OP|=當當m m0 0時，時，|OP|=|OP|=則則sin=sin

15、=當當m m0 0時，時，|OP|=|OP|=則則sin=sin=答案：答案： 或或223mm10 m，10 m10m，m10.1010m10 m10m，m10.1010m10101010【類題試解類題試解】已知角已知角的終邊過點的終邊過點P(-3aP(-3a，4a)(a0)4a)(a0)，則，則cos =_.cos =_.【解析解析】由題意可得：由題意可得：|OP|=|OP|=當當a a0 0時，時，|OP|=5a|OP|=5a，則，則當當a a0 0時，時，|OP|=-5a|OP|=-5a，則，則答案：答案： 或或223a4a5 a .3a3cos .5a5 3a3cos .5a5 3535課課 堂堂 總總 結結1、任意角三角函數(shù)的定義：、任意角三角函數(shù)的定義：2、解題方法總結、解題方法總結（1）已知交點）已知交點P的坐標，直接