數(shù)學一試題答案、解析

1、2009年數(shù)學一試題答案、解析2009年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題一、選擇題：18小題，每小題8分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。(1)當x0時，f(x)xsinax與g(x)x2ln(1bx)等價無窮小，則()-1.1(A)a1,b一(B)a1,b一66-1-1(C)a1,b(D)a1,b66【解析與點評】考點：無窮小量比階的概念與極限運算法則。參見水木艾迪考研數(shù)學春季基礎班教材考研數(shù)學通用輔導講義(秦華大學出版社)例4.67,強化班教材大學數(shù)學強-2 _a sinax6bx化29916、17等例題。【答案】Axsin

2、axxsinax1acosxlimlimlim=x0x2ln(1bx)x0x2(bx)x03bx2-2_._一_3asinaxa,lim1X06b6b.axaa36b意味選項B,C錯誤。再由lim1acosax存在,故有1acosax0(x0),故a=1,D錯誤，所以選Ax03bx2(2)如圖，正方形(x,y)|x|1,|y|1被其對角線劃分為四個區(qū)域,DK (k 1,2,3,4), 1K ycosxdxdy ,則 maxIK=()DK1 K 4【解析與點評】本題利用二重積分區(qū)域的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性。對稱性與輪換對稱性在幾分鐘的應用是水木艾迪考研數(shù)學重點打造的技巧之一。參見水木艾迪考研數(shù)

3、學春季班教材考研數(shù)學通用輔導講義-微積分例12.3、12.14、12.16、12.17,強化班教材大學數(shù)學同步強化299117題，以及考研數(shù)學三十六技例18-4。D2,D4關于x軸對稱，而ycosx即被積函數(shù)是關于y的奇函數(shù)，所以LI4；Di,D3兩區(qū)域關于y軸對稱,ycos(x)ycosx即被積函數(shù)是關于x的偶函數(shù)，由積分的保號性，Ii 2y cosxdxdy 0, I3 2ycosxdxdy 0 ,所以正確答案為A。(x,y)|y x,0 x 1(x,y)|yx,0x1(3)設函數(shù)yf(x)在區(qū)間-1,3上的圖形為x【解析與點評】考點：函數(shù)與其變限積分函數(shù)的關系、函數(shù)與其導函數(shù)之間的關系，

4、變限積分函數(shù)的性質(zhì)(兩個基本定理)，定積分的幾何意義。由yf(x)的圖形可見，其圖像與x軸及y軸、x=0所圍的圖形的代數(shù)面積應為函數(shù)F(x),由于f(x)有第一類間斷點，F(xiàn)(x)只能為連續(xù)函數(shù)，不可導。x(1,0)時，f(x)0且為常數(shù)，應有F(x)單調(diào)遞增且為直線函數(shù)。x(0,1)時，f(x)0,F(x)0,且單調(diào)遞減。x(1,2)時，f(x)0,F(x)單調(diào)遞增。x(2,3)時，f(x)0,F(x)為常值函數(shù)。正確選項為D?！敬鸢浮緿。(4)設有兩個數(shù)列an,bn，若liman0,則()nan bn發(fā)散(A)當bn收斂時，烝燈收斂(B)bn發(fā)散時,（C）當|bn|收斂時，a2b；收斂（D）

5、|bn|發(fā)散時，a2b；發(fā)散n1n1n1n1【解析與點評】以下方法1是水木艾迪考生的首選方法。1.1(方法1)|bn|收斂，則hm|bn|0,又lim|an|0,必存在N,使當n>N時|bn|-且|an|nn22（極限的有界性?。┊攟bn|收斂時, n 1|a2b：|收斂。應選Co1參見水木艾迪春季基礎班教材考研數(shù)學通用輔導講義 社）自測模擬題15.3,例J 154微積分（清華大學出版1（萬法2）反例：對A取an bn（1）“丁，對3取4 bn1 一 一,對 D 取 anbnn（5）設ai,a2,a3是3維向量空間R3的一組基,則由基11a1，一 a2, 一 a3 到基aa2, a2a3

6、,a3&的過渡矩陣為（）1(A) 20(B)(C)121212141414161616(D)121416121416121416【解析】由基11 司闞，一a2, 一a3 到 a123a2, a2a3, a3a1的過渡矩陣滿足(a1 a2,a2 a3,a3 a1)a1，一a2,一a323a2b2|bn|,立即由正項級數(shù)的直接比較法得至U：所以此題選（A）?！军c評】本題考查的主要知識點:（6）設A,B均為2階矩陣,A,B分別為A, B的伴隨矩陣，若|A|二2|B|=3,則分塊矩A0的伴隨矩陣為OO 3B2A O,I2BO（C）2B3AO(D)O 2A3B O【答案】B【解析】0 A由于分塊

7、矩陣0 B 0的行列式(1)2 2 | A|B| 2 3 6 ,即分塊矩陣可逆,根據(jù)公式_ 1|C|C1b31a203A2B0【點評】本題考查的知識點有: 逆矩陣等。伴隨矩陣和逆矩陣的關系,分塊矩陣的行列式，分塊矩陣的(7)設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x) 0.3 (x) 0.7x其中(x)為標準正態(tài)分布函 2數(shù)，則EX=()(A) 0(B)0.3(C)0.7(D)1【解析】因為F(x) 0.3(x)0.7所以 F (x) 0.3 (x) 07cc 10.3-： e2x1 220.72、2(x 1)2e 二,0,1,所以1-P(X.0z|Y0)P(XYz|Y1)1由于X,Y獨乂。Fz(z)P(

8、X.0z)P(Xz)。2(D若z<0,則Fz(z)-(z),(2)若z0,則Fz(z)-(1(z)22z=0為間斷點，故選(B)【評注】這是一個考查離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的典型問題，一般都要利用全概率公式的思想來解決，這類問題在輔導講義中有類似的題目可供參考。二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上。2(9)設函數(shù)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，z=f(x,xy)則一-=。xy【解析與點評】本題為多元函數(shù)偏導數(shù)計算的基本題目，同類題目可參見參見水木艾迪2009考研數(shù)學模擬試題數(shù)1-10題，水木艾迪考研大學數(shù)學同步強化299»例

9、10.1210.13,10.15等，還有考研數(shù)學三十六技例15-1,15-3,15-5等，以及考研數(shù)學通用輔導講義-微積分101,103等例題。答案：xf12f2xyf222一f1f2.y,xf12f2xyf22xxy(10)若二階常系數(shù)線性齊次微分方程 yayby0的通解為y(CCzx)ex,則非齊次方程yaybyx滿足條件y(0)2,y(0)0的通解為y=?！窘馕雠c點評】答案：yxexx2由y(C1C2)ex,得二階常系數(shù)線性齊次微分方程yayby0的特征值121,故a=-2,b=1,要求解的微分方程為y2yyx。設特解y°AxB代入微分方程為y2yyx,得出-2A+Ax+B=x

10、,A=1,B=2,故微分方程為的y2yyx特解yx2,通解為y(C1C2x)exx2代入初始條件y(0)2,y(0)0,得C10,C21,要求的解為yxexx2參見水木艾迪2009考研數(shù)學模擬試題數(shù)1-12題，【水木艾迪考研】大學數(shù)學同步強化299»133,134,考研數(shù)學三十六技例11-8,但J11-11,例11-12,考研數(shù)學通用輔導講義-微積分例8.20,但J8.21,例8.29,例8.30。(11)已知曲線L:yx2(0x揚,貝Uxds=o【解析與點評】由題意，xx,yx2,0x72,則dsJ(x2)(y2)dx44xdx,二匕、泰tT1/2212123213所以xdsxjl

11、4xdx-y14xd(14x)-.J(14x)0L0808366參見【水木艾迪考研】大學數(shù)學同步強化299114,考研數(shù)學三十六技例19-1微積分通用輔導講義例13.1,例13.3(12)設(x,y,z)|x2y2z21,貝Uz2dxdydz。【解析與點評】以下方法1是水木艾迪考生的首選方法。(方法一)由輪換對稱性,x2dxdydzy2dxdydzz2dxdydz2 , , ,1,2z dxdydz -(x2、z )dxdydzd 0d2 . sin415(方法二)2 .z dxdydz0d2 .sin2 2coscos2 d ( cos )4d003 cos3-d415參見【水木艾迪考研】大

12、學數(shù)學同步強化299125,考研數(shù)學三十六技例18-5,例18-6,例18-7,微積分通用輔導講義例12.13,12.29?！敬鸢浮?5(13)若3維向量a,滿足aT2,其中aT為a的轉(zhuǎn)置，則矩陣aT的非零特征值為?！窘馕觥坑蒩T2,aT(aT)2.,aT的非零特征值為2。【點評】本題考查的知識點有：特征值和特征向量的概念。本題也可根據(jù)矩陣aT是秩為1的3階矩陣，可知其特征值必為0,0,tr(aT),而tr(aT)aT2,求得答案。【答案】2。(14)設X1,X2,.,Xm為來自二項分布總體B(n,p)的簡單隨機樣本，又和S2分別為樣本均值和樣本方差。若X+kS2為np2的無偏估計量，則k=o

13、【解析】由X+kS2為np2的無偏估計，即np+knp(1-p)=np2即1+k(1-p)=p,從而k=1,【答案】1【點評】這是一個考查樣本均值與樣本方差的典型問題，只要記住樣本均值是總體均值的無偏估計以及樣本方差是總體方差的無偏估計的結果，很容易獲得結論。三、解答題：15-23小題，共94分。請將解答寫在答題紙指定的位置上。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15)(本題滿分9分)求二兀函數(shù)f(x,y)x2(2y2)ylny極值。【解析與點評】考點：二元函數(shù)的局部極值問題。fx(x,y)2x(2 y2) 0,fy(x,y)2x2y lny 1 0,駐點為0,yfxx 2(2y2),

14、fyy2x24xy則fxx0,1e12e0,1e0,fyy0,1 e e在駐點，fxx0,( fxy)2fxx fyy ，一10,二兀函數(shù)存在極小值f 0,- e參見水木艾迪2009考研數(shù)學模擬試題數(shù)1-19題、基礎班2009模擬試題2-（3）題，還可參見【水木艾迪考研】大學數(shù)學同步強化299106,107,108等，考研數(shù)學三十六技例16-5,以及考研數(shù)學通用輔導講義-微積分例11.10,但J11.11,11.20。（16）（本題滿分9分）設工為曲線yxnyxn324x x4xo（n1,2,.）與所圍成區(qū)域的面積，記an,S2a2n1,求S1與$2的值。1n1【解析與點評】考點: 強調(diào)的重要

15、技巧。定積分求面積，級數(shù)求和級數(shù)求和的零部件組合安裝法是水木艾迪曲線yxn與曲線y1在點x=0和x=1處相交,an1 n0(x)dxS2由 ln(1an1Nimann 1lim (1N 、2一)lim (工2 N 2a2n 12n2n 1x)(n 1) x(1)ln(2)11 (215 .)S2 ，S21ln2參見水木艾迪2009考研數(shù)學模擬試題數(shù)1-16題、基礎班2009模擬試題1-17題，以及【水木艾迪考研】大學數(shù)學同步強化299»76,78,例158-1等，考研數(shù)學三十六技例9-16,10-8,考研數(shù)學通用輔導講義-微積分例15.14,例J16.18。22（優(yōu)（本題滿分11分）

16、橢球面積s是橢圓亍氣1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面積，是過點2(4, 0)且與橢圓-421相切的直線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成。3(I)求S及S2的方程；(II)求Si與S2之間的立體體積。222【解析】(I)Si的方程為上yL1,4322過點(4,0)與土L1的切線為兩條，由線繞x軸旋轉(zhuǎn)體的幾何意義，只需求一條即可,43切線出型1過點(4,0),斜率為k/，得到切點為434yo311xo1,yo,k-,取一條切線y-x2。222得到&的方程為y112z2(-x2)22(II)記?x2呈J3(1x-),則2:4y；dxy2dx412°(x2x4)dx20(33x2)dx413243x-xo3(

17、18)(本題滿分11分)(I)證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導，則存在(a,b),使得f(b)f(a)f()(ba)O)內(nèi)可導，且lim f (x) A則f (O)(II)證明：若函數(shù)f(x)在x=O處連續(xù)，在(O,)(存在，且f(O)A【解析與點評】(I)過(a,f(a)與(b,f(b)的直線方程為y(x)f(a)f(b)f(a)(xa)ba取輔助函數(shù)F(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa),則F(a)F(b);baF(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且F (x)f (x)f(b) f(a)b a由羅爾定理，存在(a,b)，使F()O,即f

18、()llf°，或f(b)ff()(ba)(II)任取x(O,),則函數(shù)f(x)滿足:在閉區(qū)間0,x上連續(xù)，開區(qū)間（0,X0）內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理可得:(0,x)(0,)，使得f()兩邊取x0時的極限，注意到f(X)f(0)X0limf(x)A,可得X0f(0)limf(X)f(0)x0x0于是f(0)存在，且f(0)Alimf()AX0導數(shù)定義與拉格朗日微分中值定理是水木艾迪輔導的星級考點，尤其是拉格朗日微分中值定理本身的證明方法，及其在處理問題中的橋梁功能與逐點控制功能（連鎖控制功能）是我們教學中一再強調(diào)的概念與方法，相關例題參見水木艾迪考研數(shù)學通用教材-微積分（清華大學出版

19、社）。（19）（本題滿分10分）計算曲面積分IOxdydzydzdxzdxdy其中是曲面/222.2（xyz）2x22y2z24的外側?！究键c】R3中復連通域上的Stokes定理、Guass公式。在水木艾迪2009點題班上曾強調(diào)數(shù)一考生今年要特別注意復連通域上的Stokes定理、Guass公式與Green公式，并注意用積分與的約束條件簡化計算?！窘馕雠c點評】IOxdydzydzdxzdxdy,其中2X22y2z24(x2y2z2)5記XX3,Yy3,Yz3,則2222/2222/2222(xyz)(xyz)(xyz)222yz2x5Z2222(Xyz)2由輪換對稱性,222-722c2Yxz2

20、yZxz2z5,5,yZ2222z222.2(Xyz)2(Xyz)2XY7除原點外，散度div(X,Y,Z)0xyz記Si：x2y2z21,由復連域上的Stokes公式及Guass公式，注意到約束條件可得:二xdydz(x2ydxdzzdxdy3227yz)Sixdydzydxdzzdxdy3z222«(Xyz)xdydzydxdzzdxdySi43dV3.43【水木艾迪考研】可參見大學數(shù)學同步強化299129,130等例題，考研數(shù)學三十六技例20-4（完全相同），例20-5,例20-6,以及考研數(shù)學通用輔導講義微積分例14.8,例14.12,例14.15,14.31,水木艾迪200

21、9考研數(shù)學模擬試題數(shù)1-19題。(20)(本題滿分11分)設A111,11求滿足A 21, A2 31的所有向量2, 3（II ）對（I）中的任一向量2, 3,證明:1, 2, 3線性無關?！窘馕觥浚↖）解方程A21故21I1,其中K為任意常數(shù)。解方程A211 0 020 0 000 0222202212A22,220144021210故30k21k3，其中k2,k3為任意常數(shù)（II）證明：由于11kl2 21 1ki2 2ki12k2k30142 2k112k2k31 八 /1、(k11 k1)0o故1,2,3線性無關。【點評】本題考查的知識點有：矩陣的運算，非齊次線性方程組求解，解的結構，

22、線性無關的概念，三個三維向量線性無關的充要條件是行列式不為零，行列式的計算等。(21)(本題滿分11分)設二次型f(X1,X2,X3)ax；ax；(a1)x22取32x2X3(I)求二次型f的矩陣的所有特征值;(II)若二次型f的規(guī)范形為y2y2,求a的值a01【解析】A0a111a1a0|EA|0a11(a) ( a)2 (a) 2)(a)( a 1)( a 2)。所以二次型的矩陣A的特征值為a-2,a,a+1(II)若規(guī)范形為y；y|,說明有兩個特征值為正，一個為0,當a=2時，三個特征值為0,2,3,這時，二次型的規(guī)范形為y2y2【點評】本題點：二次型的矩陣，求矩陣的特征值，二次型的規(guī)范形，慣性定理等。(22)(本題滿分11分)袋中有一個紅球，兩個黑球，三個白球，現(xiàn)有放回的從袋中取兩次,每次取一球，以X,Y,Z分別表示兩次取球的紅、黑、白球的個數(shù)。(I)求PX=1|Z=0。(II)求二維隨機變量(X,Y)的概率分布?！窘馕觥?I)在沒有取白球的情況下取了一次紅球，利用樣本空間的縮減法，相當于只有個紅球，2個黑球放回摸兩次，其中摸一個紅球的概率，所以PX=1|Z=0=C22432P(Xc2 c31626(II)X,Y取值范圍為1,1,2,故c3c；10,Y0)323-,P(X1,Y0)64P(X112,Y0)/3P(X0,Y1)c2c2c362p(%=i,y=i)=-=