數(shù)學(xué)一試題答案、解析

1、2009年數(shù)學(xué)一試題答案、解析2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：18小題，每小題8分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。(1)當(dāng)x0時(shí)，f(x)xsinax與g(x)x2ln(1bx)等價(jià)無(wú)窮小，則()-1.1(A)a1,b一(B)a1,b一66-1-1(C)a1,b(D)a1,b66【解析與點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)：無(wú)窮小量比階的概念與極限運(yùn)算法則。參見(jiàn)水木艾迪考研數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班教材考研數(shù)學(xué)通用輔導(dǎo)講義(秦華大學(xué)出版社)例4.67,強(qiáng)化班教材大學(xué)數(shù)學(xué)強(qiáng)-2 _a sinax6bx化29916、17等例題?！敬鸢浮緼xsin

2、axxsinax1acosxlimlimlim=x0x2ln(1bx)x0x2(bx)x03bx2-2_._一_3asinaxa,lim1X06b6b.axaa36b意味選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤。再由lim1acosax存在,故有1acosax0(x0),故a=1,D錯(cuò)誤，所以選Ax03bx2(2)如圖，正方形(x,y)|x|1,|y|1被其對(duì)角線劃分為四個(gè)區(qū)域,DK (k 1,2,3,4), 1K ycosxdxdy ,則 maxIK=()DK1 K 4【解析與點(diǎn)評(píng)】本題利用二重積分區(qū)域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性。對(duì)稱性與輪換對(duì)稱性在幾分鐘的應(yīng)用是水木艾迪考研數(shù)學(xué)重點(diǎn)打造的技巧之一。參見(jiàn)水木艾迪考研數(shù)

3、學(xué)春季班教材考研數(shù)學(xué)通用輔導(dǎo)講義-微積分例12.3、12.14、12.16、12.17,強(qiáng)化班教材大學(xué)數(shù)學(xué)同步強(qiáng)化299117題，以及考研數(shù)學(xué)三十六技例18-4。D2,D4關(guān)于x軸對(duì)稱，而ycosx即被積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)，所以LI4；Di,D3兩區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱,ycos(x)ycosx即被積函數(shù)是關(guān)于x的偶函數(shù)，由積分的保號(hào)性，Ii 2y cosxdxdy 0, I3 2ycosxdxdy 0 ,所以正確答案為A。(x,y)|y x,0 x 1(x,y)|yx,0x1(3)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間-1,3上的圖形為x【解析與點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)：函數(shù)與其變限積分函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，

4、變限積分函數(shù)的性質(zhì)(兩個(gè)基本定理)，定積分的幾何意義。由yf(x)的圖形可見(jiàn)，其圖像與x軸及y軸、x=0所圍的圖形的代數(shù)面積應(yīng)為函數(shù)F(x),由于f(x)有第一類間斷點(diǎn)，F(xiàn)(x)只能為連續(xù)函數(shù)，不可導(dǎo)。x(1,0)時(shí)，f(x)0且為常數(shù)，應(yīng)有F(x)單調(diào)遞增且為直線函數(shù)。x(0,1)時(shí)，f(x)0,F(x)0,且單調(diào)遞減。x(1,2)時(shí)，f(x)0,F(x)單調(diào)遞增。x(2,3)時(shí)，f(x)0,F(x)為常值函數(shù)。正確選項(xiàng)為D?！敬鸢浮緿。(4)設(shè)有兩個(gè)數(shù)列an,bn，若liman0,則()nan bn發(fā)散(A)當(dāng)bn收斂時(shí)，烝燈收斂(B)bn發(fā)散時(shí),（C）當(dāng)|bn|收斂時(shí)，a2b；收斂（D）

5、|bn|發(fā)散時(shí)，a2b；發(fā)散n1n1n1n1【解析與點(diǎn)評(píng)】以下方法1是水木艾迪考生的首選方法。1.1(方法1)|bn|收斂，則hm|bn|0,又lim|an|0,必存在N,使當(dāng)n>N時(shí)|bn|-且|an|nn22（極限的有界性?。┊?dāng)|bn|收斂時(shí), n 1|a2b：|收斂。應(yīng)選Co1參見(jiàn)水木艾迪春季基礎(chǔ)班教材考研數(shù)學(xué)通用輔導(dǎo)講義 社）自測(cè)模擬題15.3,例J 154微積分（清華大學(xué)出版1（萬(wàn)法2）反例：對(duì)A取an bn（1）“丁，對(duì)3取4 bn1 一 一,對(duì) D 取 anbnn（5）設(shè)ai,a2,a3是3維向量空間R3的一組基,則由基11a1，一 a2, 一 a3 到基aa2, a2a3

6、,a3&的過(guò)渡矩陣為（）1(A) 20(B)(C)121212141414161616(D)121416121416121416【解析】由基11 司闞，一a2, 一a3 到 a123a2, a2a3, a3a1的過(guò)渡矩陣滿足(a1 a2,a2 a3,a3 a1)a1，一a2,一a323a2b2|bn|,立即由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的直接比較法得至U：所以此題選（A）?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查的主要知識(shí)點(diǎn):（6）設(shè)A,B均為2階矩陣,A,B分別為A, B的伴隨矩陣，若|A|二2|B|=3,則分塊矩A0的伴隨矩陣為OO 3B2A O,I2BO（C）2B3AO(D)O 2A3B O【答案】B【解析】0 A由于分塊

7、矩陣0 B 0的行列式(1)2 2 | A|B| 2 3 6 ,即分塊矩陣可逆,根據(jù)公式_ 1|C|C1b31a203A2B0【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有: 逆矩陣等。伴隨矩陣和逆矩陣的關(guān)系,分塊矩陣的行列式，分塊矩陣的(7)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x) 0.3 (x) 0.7x其中(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函 2數(shù)，則EX=()(A) 0(B)0.3(C)0.7(D)1【解析】因?yàn)镕(x) 0.3(x)0.7所以 F (x) 0.3 (x) 07cc 10.3-： e2x1 220.72、2(x 1)2e 二,0,1,所以1-P(X.0z|Y0)P(XYz|Y1)1由于X,Y獨(dú)乂。Fz(z)P(

8、X.0z)P(Xz)。2(D若z<0,則Fz(z)-(z),(2)若z0,則Fz(z)-(1(z)22z=0為間斷點(diǎn)，故選(B)【評(píng)注】這是一個(gè)考查離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的典型問(wèn)題，一般都要利用全概率公式的思想來(lái)解決，這類問(wèn)題在輔導(dǎo)講義中有類似的題目可供參考。二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上。2(9)設(shè)函數(shù)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=f(x,xy)則一-=。xy【解析與點(diǎn)評(píng)】本題為多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算的基本題目，同類題目可參見(jiàn)參見(jiàn)水木艾迪2009考研數(shù)學(xué)模擬試題數(shù)1-10題，水木艾迪考研大學(xué)數(shù)學(xué)同步強(qiáng)化299»例

9、10.1210.13,10.15等，還有考研數(shù)學(xué)三十六技例15-1,15-3,15-5等，以及考研數(shù)學(xué)通用輔導(dǎo)講義-微積分101,103等例題。答案：xf12f2xyf222一f1f2.y,xf12f2xyf22xxy(10)若二階常系數(shù)線性齊次微分方程 yayby0的通解為y(CCzx)ex,則非齊次方程yaybyx滿足條件y(0)2,y(0)0的通解為y=?！窘馕雠c點(diǎn)評(píng)】答案：yxexx2由y(C1C2)ex,得二階常系數(shù)線性齊次微分方程yayby0的特征值121,故a=-2,b=1,要求解的微分方程為y2yyx。設(shè)特解y°AxB代入微分方程為y2yyx,得出-2A+Ax+B=x

10、,A=1,B=2,故微分方程為的y2yyx特解yx2,通解為y(C1C2x)exx2代入初始條件y(0)2,y(0)0,得C10,C21,要求的解為yxexx2參見(jiàn)水木艾迪2009考研數(shù)學(xué)模擬試題數(shù)1-12題，【水木艾迪考研】大學(xué)數(shù)學(xué)同步強(qiáng)化299»133,134,考研數(shù)學(xué)三十六技例11-8,但J11-11,例11-12,考研數(shù)學(xué)通用輔導(dǎo)講義-微積分例8.20,但J8.21,例8.29,例8.30。(11)已知曲線L:yx2(0x揚(yáng),貝Uxds=o【解析與點(diǎn)評(píng)】由題意，xx,yx2,0x72,則dsJ(x2)(y2)dx44xdx,二匕、泰tT1/2212123213所以xdsxjl

11、4xdx-y14xd(14x)-.J(14x)0L0808366參見(jiàn)【水木艾迪考研】大學(xué)數(shù)學(xué)同步強(qiáng)化299114,考研數(shù)學(xué)三十六技例19-1微積分通用輔導(dǎo)講義例13.1,例13.3(12)設(shè)(x,y,z)|x2y2z21,貝Uz2dxdydz。【解析與點(diǎn)評(píng)】以下方法1是水木艾迪考生的首選方法。(方法一)由輪換對(duì)稱性,x2dxdydzy2dxdydzz2dxdydz2 , , ,1,2z dxdydz -(x2、z )dxdydzd 0d2 . sin415(方法二)2 .z dxdydz0d2 .sin2 2coscos2 d ( cos )4d003 cos3-d415參見(jiàn)【水木艾迪考研】大

12、學(xué)數(shù)學(xué)同步強(qiáng)化299125,考研數(shù)學(xué)三十六技例18-5,例18-6,例18-7,微積分通用輔導(dǎo)講義例12.13,12.29?！敬鸢浮?5(13)若3維向量a,滿足aT2,其中aT為a的轉(zhuǎn)置，則矩陣aT的非零特征值為?！窘馕觥坑蒩T2,aT(aT)2.,aT的非零特征值為2?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：特征值和特征向量的概念。本題也可根據(jù)矩陣aT是秩為1的3階矩陣，可知其特征值必為0,0,tr(aT),而tr(aT)aT2,求得答案?！敬鸢浮?。(14)設(shè)X1,X2,.,Xm為來(lái)自二項(xiàng)分布總體B(n,p)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，又和S2分別為樣本均值和樣本方差。若X+kS2為np2的無(wú)偏估計(jì)量，則k=o

13、【解析】由X+kS2為np2的無(wú)偏估計(jì)，即np+knp(1-p)=np2即1+k(1-p)=p,從而k=1,【答案】1【點(diǎn)評(píng)】這是一個(gè)考查樣本均值與樣本方差的典型問(wèn)題，只要記住樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)以及樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)的結(jié)果，很容易獲得結(jié)論。三、解答題：15-23小題，共94分。請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。(15)(本題滿分9分)求二兀函數(shù)f(x,y)x2(2y2)ylny極值?！窘馕雠c點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)：二元函數(shù)的局部極值問(wèn)題。fx(x,y)2x(2 y2) 0,fy(x,y)2x2y lny 1 0,駐點(diǎn)為0,yfxx 2(2y2),

14、fyy2x24xy則fxx0,1e12e0,1e0,fyy0,1 e e在駐點(diǎn)，fxx0,( fxy)2fxx fyy ，一10,二兀函數(shù)存在極小值f 0,- e參見(jiàn)水木艾迪2009考研數(shù)學(xué)模擬試題數(shù)1-19題、基礎(chǔ)班2009模擬試題2-（3）題，還可參見(jiàn)【水木艾迪考研】大學(xué)數(shù)學(xué)同步強(qiáng)化299106,107,108等，考研數(shù)學(xué)三十六技例16-5,以及考研數(shù)學(xué)通用輔導(dǎo)講義-微積分例11.10,但J11.11,11.20。（16）（本題滿分9分）設(shè)工為曲線yxnyxn324x x4xo（n1,2,.）與所圍成區(qū)域的面積，記an,S2a2n1,求S1與$2的值。1n1【解析與點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn): 強(qiáng)調(diào)的重要

15、技巧。定積分求面積，級(jí)數(shù)求和級(jí)數(shù)求和的零部件組合安裝法是水木艾迪曲線yxn與曲線y1在點(diǎn)x=0和x=1處相交,an1 n0(x)dxS2由 ln(1an1Nimann 1lim (1N 、2一)lim (工2 N 2a2n 12n2n 1x)(n 1) x(1)ln(2)11 (215 .)S2 ，S21ln2參見(jiàn)水木艾迪2009考研數(shù)學(xué)模擬試題數(shù)1-16題、基礎(chǔ)班2009模擬試題1-17題，以及【水木艾迪考研】大學(xué)數(shù)學(xué)同步強(qiáng)化299»76,78,例158-1等，考研數(shù)學(xué)三十六技例9-16,10-8,考研數(shù)學(xué)通用輔導(dǎo)講義-微積分例15.14,例J16.18。22（優(yōu)（本題滿分11分）

16、橢球面積s是橢圓亍氣1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面積，是過(guò)點(diǎn)2(4, 0)且與橢圓-421相切的直線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成。3(I)求S及S2的方程；(II)求Si與S2之間的立體體積。222【解析】(I)Si的方程為上yL1,4322過(guò)點(diǎn)(4,0)與土L1的切線為兩條，由線繞x軸旋轉(zhuǎn)體的幾何意義，只需求一條即可,43切線出型1過(guò)點(diǎn)(4,0),斜率為k/，得到切點(diǎn)為434yo311xo1,yo,k-,取一條切線y-x2。222得到&的方程為y112z2(-x2)22(II)記?x2呈J3(1x-),則2:4y；dxy2dx412°(x2x4)dx20(33x2)dx413243x-xo3(

17、18)(本題滿分11分)(I)證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則存在(a,b),使得f(b)f(a)f()(ba)O)內(nèi)可導(dǎo)，且lim f (x) A則f (O)(II)證明：若函數(shù)f(x)在x=O處連續(xù)，在(O,)(存在，且f(O)A【解析與點(diǎn)評(píng)】(I)過(guò)(a,f(a)與(b,f(b)的直線方程為y(x)f(a)f(b)f(a)(xa)ba取輔助函數(shù)F(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa),則F(a)F(b);baF(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F (x)f (x)f(b) f(a)b a由羅爾定理，存在(a,b)，使F()O,即f

18、()llf°，或f(b)ff()(ba)(II)任取x(O,),則函數(shù)f(x)滿足:在閉區(qū)間0,x上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間（0,X0）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可得:(0,x)(0,)，使得f()兩邊取x0時(shí)的極限，注意到f(X)f(0)X0limf(x)A,可得X0f(0)limf(X)f(0)x0x0于是f(0)存在，且f(0)Alimf()AX0導(dǎo)數(shù)定義與拉格朗日微分中值定理是水木艾迪輔導(dǎo)的星級(jí)考點(diǎn)，尤其是拉格朗日微分中值定理本身的證明方法，及其在處理問(wèn)題中的橋梁功能與逐點(diǎn)控制功能（連鎖控制功能）是我們教學(xué)中一再?gòu)?qiáng)調(diào)的概念與方法，相關(guān)例題參見(jiàn)水木艾迪考研數(shù)學(xué)通用教材-微積分（清華大學(xué)出版

19、社）。（19）（本題滿分10分）計(jì)算曲面積分IOxdydzydzdxzdxdy其中是曲面/222.2（xyz）2x22y2z24的外側(cè)?！究键c(diǎn)】R3中復(fù)連通域上的Stokes定理、Guass公式。在水木艾迪2009點(diǎn)題班上曾強(qiáng)調(diào)數(shù)一考生今年要特別注意復(fù)連通域上的Stokes定理、Guass公式與Green公式，并注意用積分與的約束條件簡(jiǎn)化計(jì)算?！窘馕雠c點(diǎn)評(píng)】IOxdydzydzdxzdxdy,其中2X22y2z24(x2y2z2)5記XX3,Yy3,Yz3,則2222/2222/2222(xyz)(xyz)(xyz)222yz2x5Z2222(Xyz)2由輪換對(duì)稱性,222-722c2Yxz2

20、yZxz2z5,5,yZ2222z222.2(Xyz)2(Xyz)2XY7除原點(diǎn)外，散度div(X,Y,Z)0xyz記Si：x2y2z21,由復(fù)連域上的Stokes公式及Guass公式，注意到約束條件可得:二xdydz(x2ydxdzzdxdy3227yz)Sixdydzydxdzzdxdy3z222«(Xyz)xdydzydxdzzdxdySi43dV3.43【水木艾迪考研】可參見(jiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)同步強(qiáng)化299129,130等例題，考研數(shù)學(xué)三十六技例20-4（完全相同），例20-5,例20-6,以及考研數(shù)學(xué)通用輔導(dǎo)講義微積分例14.8,例14.12,例14.15,14.31,水木艾迪200

21、9考研數(shù)學(xué)模擬試題數(shù)1-19題。(20)(本題滿分11分)設(shè)A111,11求滿足A 21, A2 31的所有向量2, 3（II ）對(duì)（I）中的任一向量2, 3,證明:1, 2, 3線性無(wú)關(guān)?！窘馕觥浚↖）解方程A21故21I1,其中K為任意常數(shù)。解方程A211 0 020 0 000 0222202212A22,220144021210故30k21k3，其中k2,k3為任意常數(shù)（II）證明：由于11kl2 21 1ki2 2ki12k2k30142 2k112k2k31 八 /1、(k11 k1)0o故1,2,3線性無(wú)關(guān)?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：矩陣的運(yùn)算，非齊次線性方程組求解，解的結(jié)構(gòu)，

22、線性無(wú)關(guān)的概念，三個(gè)三維向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是行列式不為零，行列式的計(jì)算等。(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型f(X1,X2,X3)ax；ax；(a1)x22取32x2X3(I)求二次型f的矩陣的所有特征值;(II)若二次型f的規(guī)范形為y2y2,求a的值a01【解析】A0a111a1a0|EA|0a11(a) ( a)2 (a) 2)(a)( a 1)( a 2)。所以二次型的矩陣A的特征值為a-2,a,a+1(II)若規(guī)范形為y；y|,說(shuō)明有兩個(gè)特征值為正，一個(gè)為0,當(dāng)a=2時(shí)，三個(gè)特征值為0,2,3,這時(shí)，二次型的規(guī)范形為y2y2【點(diǎn)評(píng)】本題點(diǎn)：二次型的矩陣，求矩陣的特征值，二次型的規(guī)范形，慣性定理等。(22)(本題滿分11分)袋中有一個(gè)紅球，兩個(gè)黑球，三個(gè)白球，現(xiàn)有放回的從袋中取兩次,每次取一球，以X,Y,Z分別表示兩次取球的紅、黑、白球的個(gè)數(shù)。(I)求PX=1|Z=0。(II)求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布。【解析】(I)在沒(méi)有取白球的情況下取了一次紅球，利用樣本空間的縮減法，相當(dāng)于只有個(gè)紅球，2個(gè)黑球放回摸兩次，其中摸一個(gè)紅球的概率，所以PX=1|Z=0=C22432P(Xc2 c31626(II)X,Y取值范圍為1,1,2,故c3c；10,Y0)323-,P(X1,Y0)64P(X112,Y0)/3P(X0,Y1)c2c2c362p(%=i,y=i)=-=