名師推薦考研輔導講課題

1、考研輔導題(數(shù)二)第二章、導數(shù)與微分一、導數(shù)概念1 .一點的導數(shù)2 .左右導數(shù)3 .區(qū)間上可導函數(shù)4 .f(x)在X0可導U 左右導數(shù)存在且相等。例 1： lim ”刈-"- 'X)0xf(x) _例 2 ：設 f - A，f (0) = 0,則 x=0 sin xlim 5 A反過來，若已知f(x)連續(xù)且x-0 sin x ，問f '(0)=例3：設f (x) =|x a|中(x),其中中在x=a連續(xù)，且求f'(a).例4：設f(x)是偶函數(shù)，f '(0)存在，求(0)。例 5： f(x) = x(x1)(x2)川(x9)，求(0)。二。、導數(shù)的幾何

2、意義與物理意義1 .幾何意義：切線斜率。特別，導數(shù)為無窮大，對應切線是鉛直的。(二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義是什么？)2 .物理意義：變化率。注：隱函數(shù)，由參數(shù)方程確定的函數(shù)的曲線的切線放在相關(guān)部分講。例6：(10年，4分)曲線y = x2與y = aln x(a # 0)相切，則a=A)4e B)3e C)2e D)e例7:設有一根細棒，取棒的一端作為原點，棒上任意點的坐標為x ,于是分布在區(qū)間0 i 上細棒的質(zhì)量 m 是x的函數(shù) m = m(x).應怎樣確定細棒在點 x處的線密度(對于均勻細棒來說，單位長度細棒的質(zhì)量叫作這細棒的線密度)？例8：( 10年，4分)已知一個長方形長i以2cm/s速

3、率增加，寬w以3cm/s速率增加。當l =12cm,w= 5cm寸，其對角線增加的速率是 .三、導數(shù)計算1 .四則運算法則2 .反函數(shù)求導法則3 .復合函數(shù)求導法則4 .隱函數(shù)求導法則，對數(shù)求導法5 .參數(shù)方程表示的函數(shù)的求導法則6 .抽象函數(shù)的求導7 .用定義求導例9:用定義求導(1)已知f(x)是(血嚴)上非零函數(shù)，對Vx, y w (-00嚴)，有f(x + y)=f(x)，f(y),且f (0) = 1求 f (x)(2)設f (x) =x x(x -2)，求 f '(x).例10:復合函數(shù)求導(1)求函數(shù)y = Jx + Jx +Vx的導數(shù)(2).2 1-sin 一二 e x

4、(3).2t=arcsin71 t22 x(4)y =sec 2 .例11.隱函數(shù)求導(1) . y = y(x)由2xy =x +y 確定，則 dy |xT=()o (00-2)d2y(2) (09年，4分)設y=y(x)由方程xy +寸確定，則dx2x=0(3) (08年，4分)曲線sin(xy)+ln(y-x)=x在(0,1)處的切線方程是 (X 1)3 X -1y 二 1八 2 cx ，(4) (x+4) e 求導cosx 一(5)設y =x(sm x) ，求 y .例12.參數(shù)方程求導(1)2 ,2、幾 x =2t T d y設，求上4y =5t3 4t2dxt工.(2)=et si

5、nt，y =et co。滿足方程(x +y)2 y =2( x- -y) dx dx(3)(02數(shù)2)已知曲線的極坐標方程是 r =1_cose ,求該曲線上對應于eq處的切線與法線的直角坐標方程。注意：曲線的極坐標方程可化為直角坐標下的參數(shù)方程?；癁閰?shù)方程:4x =(1 -cosu)cos 1y =(1 -cos0)sin 日例13.抽象函數(shù)求導。設f (u)是二階可導函數(shù)，求下述函數(shù)的二階導數(shù)(1)y = f (ex)；(2) y = f (sin x)四、高階導數(shù)1 .直接法2 .間接法3 .四則運算法則n(n)k (n *)(k)(u v)- Cnuvk =04 .五大公式/ x (

6、n) x(e )=e(sin kx)(n)二 knsin(kx n -)(x：)(n)=二(1-1)IH(:- -n 1)x: (n) n(n-1)!(In x) =(-1)nx(coskx)(n): kn cos(kx n )1 (n)n n!(一)二(一1)常xx例14:萊卜尼茨法則2 2x (20)設y = x e，求y例15.間接法1(1)設丫二上,求y.X -1(2) y=sin23x cos5x ,求 y.例16.直接法設丫 = xlnx啾f(n)(1)。五、微分1 .微分的概念2 .可微條件3 .微分計算微分法則：d(u 二v)=du 二dv d(Cu)=Cdu “/ 、”/U、

7、vdu -udvd(uv) =vdu udv d(1) =2v v(2)微分形式的不變性無論x是自變量還是中間變量，函數(shù)y = f (x)的微分形式總是dy=f'(x)dx例17.微分概念若函數(shù) f(x)為可微函數(shù)，則dy()(A)與Ax無關(guān)；(B)為Ax的線性函數(shù)；(C)當Axt 0時為&X的高階無窮??；(D)與*x為等價無窮小.例18.微分計算(1)設 y =e1"xcosx,求dy.(2) y =x2e2x, (1)求函數(shù)的微分；2)求dy; (3)求函數(shù)在x=0點的微分；4)求函數(shù)在x=0,&x=0.1時的微分；2x25)填空 dy = e d+ x

8、d第三章、導數(shù)應用一、中值定理1 .極值、最值概念2 .費馬定理及其證明證明：對極小點考慮。&0i f一S0, ff Jx)-f”0TP x - X0jx 0x - x0而 f(xo)存在，所以，f '(X0)= fix。)= f«X0),從而 f'(X0)=0.3 .三個中值定理的幾何解釋4 .泰勒定理的條件及兩個不同的余項表示定理涉及的函數(shù)定理條件結(jié)論的意義備注Rolle Thp(x)3個條件切線斜率Lagrange Thf(x)2個條件Cauchy Thf(x)和 g(x)3個條件分母不為零的 條件如何保證Taylor Thf(x)1個條件用多項式近似函

9、數(shù)注：中值定理是大范圍成立的結(jié)論。尤其是泰勒定理，有多種表述方式。定理：設f(x)在區(qū)間(a,b)中有直到n+1階的導數(shù)，則對區(qū)間中任一點x0,函數(shù)f(x)可以用泰f (k)(x.),，一(_"(xx0)k來近似，這一近似的誤差(余項)是 k!f(n 1)()R (x) = (x -x0)n +,-在 x 與 x0 之間Lagrange 余項(n 1)!把區(qū)間縮小為x0的鄰域，則可用 pieno余項：Rn(x) = o(x-x0)n.由于只在x0的鄰域中討論問題，這一余項主要用于處理極限問題。例1：泰勒中值定理本身題(1) (03年，4分)y=2x的麥克洛林公式中xn的系數(shù)是 (2)

10、把f (x) = jx按x-4的哥展開為Lagrange余項的3解泰勒公式。例2.討論“存在一點”的問題(1) (08,4 分)設 f(x) = x2(x1)(x2)，則 f'(x)的零點個數(shù)是A)0B)1C)2D)3.(2)設f(x)在(0,1)上可導，在0,1上連續(xù)，f(0)=f(1)=0,求證：至少存在一點(0 w (0,1),使 f ( ) f ( ) =0.證明：一般先考慮用羅爾定理。為此要構(gòu)造函數(shù)。令F(x) =exf (x) , F(0)=F(1)=0則滿足羅爾定理條件，根據(jù)F，(x) =ex( f (x) + f，(x),立即得證。(3)設f(x)在0,1上可微,對0,

11、1上每個x,函數(shù)f(x)的值都在(0,1)內(nèi),且f'(x)#1.求證： 在(0,1)內(nèi)有且僅有一個 x,使f(x)=x.(4)設f(x)在1,2上可微。證明：存在一點巴三(1,2)，使f (2) 2f(1)=S ") f伐).證明：因為上口=xf (x) 2 f (x),所以考慮構(gòu)造函數(shù) F(x)=3。但分母去不掉, xxxxf (x) - f (x)因此重新考慮用 Cauchy定理，令F(x)=f3，G(x)=1,則三® =x2xx G (x) 與2x二、極限計算常用結(jié)論:lim n n =1, lim n k =1, n 承:nj :ln n lim n-. n

12、kn.lim n =0, k N一：e例3:(2)lim ln x ln(1 -x)x ：1 -(3)Jim. x2(1 - xsin-)2.(4).,H , 、亡lim( - -arctan n)lnn三、方程根方程根的問題用零值定理證明存在性，用單調(diào)性或洛爾定理證明唯一性。如果要判別根的個數(shù)，就要利用函數(shù)圖形。例：方程x3 -3x +1 =0的實根的范圍與個數(shù)解：令 f (x) =x33x+1, (x)=3x23, f "(x) =6x。駐點 x = ±1.分另1J是極小與極大值。f(-1)=3,f(1)=-1.而 f(3)= 3, f(£)=s.草圖是例4.

13、求證：方程xn +xn，+|+x = 1 (n > 1)在0,1上有且只有一個實根。證明：令f (x) =xn+xn,+|+x1 (n>1),則f(0)=-1,f(1)=n ,根據(jù)零值定理，存在根。f，(x) =nxn+(n 1)xn/ +|(+2x+1 (n >1),在0,1上 f'(x) > 0,所以函數(shù)單調(diào)，因此只能有一個零點。例5.討論方程xe" =a (a >0)有幾個實根。解：令 f (x) =xe。-a (a >0),則 f '(x) =e'(1 x), f "(x) = -e(2 -x),駐點 x=

14、1 對應1xx極大點， f (1) = e a, f(一二二)=lim (xe -a)- -：, )=圾a) = -a.x -x- - e例6.使f (x) =2x3 -9x2 +12x-a恰有兩個不同零點的 a應等于A)2B)4C)6D)8.解：f (x) =6x2 18x+12 = 6(x2 -3x+2) , f "(x) = 6(2x 3),x=1 是極大點，x=2 是極小點。f(1)=5-a, f(2)=6-a,f (-°°) = -°0, f (°°) =°0.四、等式與不等式可以用中值定理，單調(diào)性，凹凸性，最大最

15、小值，泰勒定理等等一系列手段處理不等式，注 意區(qū)分。例 7.設 a>b>0,求證： -< ln a < a-.a b b證明：令 f (x) =lnx,在b,a上，f(b)-f(a) = f «) =11. b-aa bx y , 例 8.求證：xlnx +yln y >(x +y)ln -,(x A0, y >0,x# y)21證明：令f(x)=xlnx(x>0),則f (x)=A0,所以，對應曲線是凹的。根據(jù)凹函數(shù)定義, xX V、 f(x) f(y) x y x y xlnx ylnyf () <，所以ln<。222221例

16、8 :求證：當0<x<1時,4x +- >3x 112證明：令 f(x)=4x2+3,(x) =8x-，f "(x)=8+fa0.所以，在0,1上函數(shù) xxx是凹函數(shù)，駐點x=1/2取最小值f(1/2)=0,既然是最小值就有f(x) >0.例 9：設 xw (0,1),求證：(1+x)ln 2(1+x)<x2。證明：令 f(x) =(1+x)ln2(1+x)x2 ,貝U f'(x) =ln2(1 + x)+2ln(1 +x) 2x2x1 x2ln(1 x) 22ln(1 x)f (x)= 2 二1 x 1 x 1 xji41 2x例 10.求證：

17、當 x 之 1,arctanxarccosz21 x2一1 2x 一證明：令 f (x) = arctanx 一 arccos2,貝U21 x2f (x)11 x一2 一 一2(1 x ) -2x 2x:2 2(1 x )_2112(1 -x2)112122" -2 -21 x 2 |1 -x | (1 x ) 1 x 1 x1二二所以，f(x)為吊數(shù)。因為 f (1)=arctan1arccos1=-0 = ,244冗該常數(shù)就是-O4五、函數(shù)性態(tài)單調(diào)區(qū)間與凹凸區(qū)間極值與最值，（可導函數(shù)與不可導函數(shù)的求法有區(qū)別）斜漸近線例11.（10,4分）y=逐下的漸近線方程是1 x2 1V例12

18、. (07,4分)曲線y = +ln(1+ex)的漸近線的條數(shù)xA)0B)1C)2D)3 例 13. (01,3 分)y =(x1)2(x3)2 的拐點個數(shù)A)0B)1C)2D)3一，、一一1 V例14.求證：f (x) =(1+-)x在(0,)內(nèi)單調(diào)增加。X例14：求方程 x2y八所確定的函數(shù)的極值。e ，y = 0 2 2x y斛：(2Xy+X2y)ex y +y1r=0,解出 y，= ye ,得駐點 x=0 或 y=0.把 x=0 代入方程得 y=-1,把 y=01 - x2eX y代入知不滿足方程，因此駐點只有一個：(0,-1 )._22_(-2y -2xy' -2xy(2xy

19、 x y )ex y -ex y(2x x (2xy x y )y |(0, 1 =；"2 X2T|(0,1)=2(1 »x e )或者在(2xy+x2y)eXy +y'=0 上再求導，(2y+2xy'+2xy'+x2y )ex y+(2xy+x2y)2exy+y'1r=0，(-2)e°+(0)2e°+y“ =03 y “ =2。因此，(0,-1)對應極小。極小值是-1.例15,設(x)的導數(shù)在x=a連續(xù)，又lim f (x) = 1 ,則xa X -aA)x=a是f(x)的極小值點B) x=a是f(x)的極大值點C)(a

20、, f (a)是函數(shù)的拐點D)x=a不是極值點，(a, f (a)也不是函數(shù)的拐點f(x) 一.例16.f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且 f(0)=0, lim=2,則在x=0處X 01 - cosxA)不可導B)可導且f'(0)#0C)取得最大值D)取得最小值例 17.y=f(x)是 y"2y' +4y =0 的一個解，且 f (x0) a 0, f'(x0) = 0 ,則在 處X0A)取得最大值B)取得最小值C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少。六、曲率弧微分：ds = 1 y2 dx, ds 2 ,': 2dt.II曲率：K=（；：2-2）

21、32.y2 ln y例18.求x = ±-" 在(x,y)處的曲率半徑。例19.求y=lnx上曲率最大的點。第四章、一元積分學1 .原函數(shù)概念2 .定積分的牛頓-萊卜尼茨公式3 .變上限積分的性質(zhì)4 .廣義積分收斂的概念一、原函數(shù)，不定積分例 1.已知 f (ln x) =1 +ln x ,則 f (x) =.例2.已知f(x)的一個原函數(shù)是1n 2 x ,則Jxf '(x)dx =.例 3. f'(ex)=xe/ f(1)=0，則 f(x)=.二、定積分的性質(zhì)-tanx二 x例4.(03,4分)設 I1 = r1andxj：dx,貝u0 x 10 tanx

22、A)I1 I2 1； B)1 I1 I2； C)I2 I1 1； D)1 I2I1.三、變上限積分d 02例 5. 一 ixcost dt =dx x2d x 2例 6. sin(x -t) dt 工 dx 01 (x 0)例 7.設 f(x) =<0 (x=0), F(x) = Jf(t)dt ,則-1(x :二 0)A) F(x)在x=0不連續(xù)； B) F(x)在(血嚴)連續(xù)但在x=0不可導;B) F(x)在(*嚴)可導且F.(x) = f (x)； D) F(x)在(*嚴)可導但不一定有F'(x)=f(x).例 8. f (x)=1 _cosx56.2、 x x 一 ,一S

23、 sintdt,g(x)=一+一，則當 xt 0 時 f(x)是 g(x)的056A)低階無窮??；B)高階無窮??；C)等價無窮?。籇)同階但不等價的無窮小。x lnt例9.求I(x)= 2-dt在區(qū)間e,e2上的最大值。e t -2t 1四、積分計算 例10.分部積分(1)ln x -1 ,2dx x(3)24一 x arctan x , 2- dx1 x(4)4 x xcos 一 Fdx3sin x例11.換元積分1(1) fx3 v2-x2dx1/4 1jdx0 1 - ； x例12.指數(shù)函數(shù)積分oO/ dx1x21 e e例13.代數(shù)函數(shù)積分(1)(97,3 分)dx,x(4 -x)(3

24、)(99,3 分)(01,6 分)-Ldx x2 -6x 13(2x2 1) , x2-1 dx例14.分段函數(shù)積分2-，12、,(2) fmin(,x )dx.N 岡例15.分部積分應用2f (x)= je dt(1)1f(x)dx0(2)x2sint ,f (x) = Jdt,求1 t1xf (x)dx.0例16.積分證明(1)設f(x)連續(xù)，求證:xf(u)(x -u)du0x u= .(. f(t)dt)du.0 0(2)設f(x)連續(xù)，求證:f (x)dx = ： f (a-x)dx五、廣義積分QO例 17. (1) (97,3 分) 0dx2_x 4x 83/21/21 dx2 .

25、x -x |六、定積分應用1 .函數(shù)平均值2 .用于計算極限上的平均值。例 18 .求 y =二.在1 Y3,1 -x22 21例19.用定積分定義計算 jx2dx.0七、定積分的幾何與物理應用平面圖形的面積，立體體積，旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積功，水壓力，引力例20. (98,3分)曲線y = x3+x2+2x與x軸圍成圖形的面積=例21. (03,4分)曲線極坐標方程是 P = eaWa > 0),則該曲線上相應于6從0變到2兀的一段弧與極軸圍成圖形的面積是 .2 2 一 一例22.設曲線11 : y=1 -x (0ExW1)與x軸，y軸圍成區(qū)域被曲線: y = ax (a >0)分成面積相

26、等的兩塊，試確定 a.例23.若沙的比重是2.為倒?jié)M一個半徑為r,高h的圓錐形沙堆，要做功多少？例24.半徑為r的球沉入水中與水面齊平相切。球比重是1.問把球撈出要做功多少?第五章、多元微分學除了方向?qū)?shù)與幾何應用外都要。;偏導數(shù)、全微分1 .初等函數(shù)用公式求2 .分段函數(shù)用定義求3 .復合函數(shù)的導數(shù)：三種類型2個記號。(1)z =f(u,v),u =<P(x,y),v=W(x,y)(2)z =f (u,v), u =中0), v 3(t)，全導數(shù)(3)z =f (u), u =B(x,y)2個記號涉及：(1) z =f (x, u,v),u =平(*, y),v =中(x, y)其中Z

27、x與fx的區(qū)別f1：一 一 .2例 1. （04, 10 分）z= f(x2 y2,exy),其中f有連續(xù)偏導數(shù)，求z：z 二z,FxFy；:x .:y一 2 z 例2.(09,10分)設z = f(x + y,x-y,xy),其中f有二階連續(xù)偏導數(shù)，求 dz及；:x；:y例 3. u = xyyzzx ,求 dz.122例 4.設 f(u)可微且 f (0) = 5，則 z = f (4x - y )在(1,2)處的全微分 dz(1,2) =.例5.已知(x +ay)dx + ydy為某函數(shù)的全微分，則 a=_(x y)2A)-1B)0C)1D)2.二、化簡表達式或偏微分方程二 2： 2：

28、2例6. (01,11分)設u=f(x,y)有二階連續(xù)偏導數(shù)且滿足 4三2+12工u-+5£u = 0，確定a,b使等式在 22:xcxcycy-2 u 變換 =x , ay, = x , by n下化簡為 二0良日l22c仆例 7.設 z = u(x, y)eax4y,其中 u(x,y)滿足- =0.求 a 使-+ z = 0.二x：y二x：y 二x二y三、隱函數(shù)求導不需要方程組的形式。例8. (07,11分)已知f(u)有二階導數(shù)，(0) =1 ,而y=y(x)由y xey'=1確定。設,dzd zz = f (In y -sin x),求 一 |x© -2.d

29、xdx例 9.z=z(x,y)由方程 z y x + xez_y/=0確定，求 dz.例10.u=f(x,y)有連續(xù)偏導數(shù)，y=y(x0和z=z(x)分別由exy y = 0,和ez _xz = 0確定,十du求.dx四、極限，連續(xù)，可導與可微的關(guān)系1 .二重極限與二次極限的區(qū)別2 .二重極限lim f (P)存在的充要條件是對 弓鄰域中任意點 P以任意方式趨近P。時,P片函數(shù)f(P)的極限都相等。(二重極限lim f ( P)不存在的充分條件呢？) p月3 .可微的概念。例11.求證：(1)極限lim不存在。x yx0 y 02(2)極限lim 2xy_4不存在。x yx )0y 0例12.

30、證明：f (x, y) = J| xy |在(0,0)連續(xù)，可導但不可微。2X y c (x. V)=(0.0)例13.求證：f (x,y) = < x4 + y2, ',°在(0,0)不連續(xù)但可導。,0(x,y) = (0,0)五、極值、最值應用例14.求z = x2y(4 -x - y)在直線x+y=6 , x軸，y軸圍成的閉區(qū)域 D上的極值與最值。例 15.求隱函數(shù) x2 -6xy +10y2 -2yz-z2 +18 = 0 的極值。例16.生產(chǎn)某種產(chǎn)品要投入兩種要素。x1,x2是兩要素的投入量，Q為產(chǎn)出量。若生產(chǎn)函數(shù)為Q = 2x1 x2 ,其中常數(shù)a, P滿足

31、a + P =1。假設兩要素價格分別是 p1, p2。問：當產(chǎn)出量是12時，兩要素 各投入多少可使總投入費用最少?2例 17.求 f (x, y) =x2 y2 22 在橢圓 D =( x, y) |x2 + <1上最值 4第六章、重積分一、重積分性質(zhì)例1.根據(jù)幾何意義確定積分值(1)J(a -Jx2 +y2)dxdy, D :x2 +y2 <a2. D J(b ，x2 +y2)dxdy, D : x2 + y2 <a2(b >a >0). D例2.比較積分大小I1 = (x2 -y2)dxdy,l2 = x2=y2)dxdy,D :(x-2)2 y2 <1

32、.DD例3.估計積分值 JJ(x + y)dxdy,D:(x2)2 +(y1)2 <2.D二、直接計算重積分例4. Jfydxdy,D : x, y軸與曲線 心 +J'=1圍成的區(qū)域，a>0,b>0.D'* a b例 5. 11 (x y)dxdy,D : x2 y2 _ x y 1. D三特殊表不111例 6.設 f(x)在(0,1)上連續(xù)，并設 J f (x)dx = A,求 Jdx j f (x)f(y)dy.00x例7. D : x2+y2 M y, x 0. f 在區(qū)域 d 上連續(xù)且 f (x, y) = Ji -x2 - y2 -"8 f

33、 (u,v)dudv ， d D求 f(x,y).四、交換積分次序或坐標系22例8.計算(與+冬)dxdy.x2 y2 1R2 a b22、,2例 9.計算 fdxfe dy.0 x1 y 20y2例 10.換序 fdy f (x, y)dx + Jdy J f (x, y)dx.2010例11.用極坐標計算0x2dxdy.i 孚y五、分段計算例 12. (08,11 分)11 maxxy,1 dxdy, D =( x, y) 10MxM 2,0 三 y x 2.D2x ( |x| |y|<1)例 13. (07,11 分)f(x,y)高 gx|+|y"/Jx'y)dxdy.六、利用對稱性例 14. (06,10分)D =(x, y)|x2+y2 W1,x A0,計算 ff 1：xy 2 dxdy.d 1 x y例15.求x2，一一1,x2JJ f (x, y)dxdy.其中 f(x, y) =922xy ,1 xy214y2 <1 oy2 < 4第七章、常微分方程 貝奴里方程不要求。 一、解的結(jié)構(gòu)例