運動的合成與分解的基本原理

1、運動的合成與分解的基本原理運動的合成與分解的基本原理1、運動的獨立性原理任何一個分運動不會因其它運動而受到影響.女口：蠟燭在豎直方向上的速度不會因其水平速度的改變而改變，即只要豎直方向分速度Vy不變，蠟塊從底端到頂端的時間只由豎直速度決定.女口：小船渡河小船駛向?qū)Π端脮r間與水流速度大小無關(guān)，只由小船垂直流水方向駛向?qū)Π兜乃俣群秃訉挍Q定.2、等時性原理：合運動與分運動同時發(fā)生，同時消失，合運動與分運動具有效時性.3、等效性原理：分運動與合運動具有等效性.四、兩個直線運動的合成 兩個勻速直線運動的合運動仍是勻速直線運動. 一個勻速直線運動與一個勻變速直線運動 兩個初速為0的勻變速直線運動: 兩個

2、初速不為0的勻變速直線運動運動的合成分 解的應(yīng)用一、繩拉物體模型 例1、在一光滑水平面上放一個物體，人通過細繩跨過高處的定滑輪拉物體，使物體在瞬時速度是多大？命題意圖：考查分析綜合及推理能力，B級要求錯解分析：弄不清合運動與分運動概念，將繩子收縮的速度按圖所示分解，從而得出錯解=v 1=VCOS 0.解法一：應(yīng)用合運動與分運動的關(guān)系所以物繩子牽引物體的運動中， 物體實際在水平面上運動， 這個運動就是合運動,體在水平面上運動的速度 V物是合速度，將V物按如圖所示進行分解.其中：v=v物cos 0,使繩子收縮所以v物=解法二：應(yīng)用微元法設(shè)經(jīng)過時間 & ,物體前進的位移 AS1=BC ,如圖

3、所示過C點作CD丄AB，當& 0 時，/ BAC極小，在 ACD中，可以認為 AC=AD，在At時間內(nèi)，人拉繩子的長度 為AS2=BD，即為在At時間內(nèi)繩子收縮的長度由圖可知：BC=由速度的定義：物體移動的速度為v物=人拉繩子的速度v=由解之：v物=當用水平例2、A、B質(zhì)量均為m ,且分別用輕繩連接跨過定滑輪，不計一切摩擦力.力F拉物體B沿水平方向向右做勻速直線運動過程中（）A .物體A也做勻速直線運動B 繩子拉力始終大于物體 A所受重力C.物體A的速度小于物體 B的速度D 地面對物體B的支持力逐漸增大 分析：設(shè)物體B勻速速度為V,物體B的運動使繩子參與兩種分運動：繩子沿定滑輪為圓心垂

4、直于繩子轉(zhuǎn)動，另一分運動是沿繩伸長的分運動，合運動就是物體以速度 v向右勻速直線運動.vi=vsin 0sinvi JVa=V 2=VC0S 0 0j cosV2 T物體 A作變加速運動對 B: Ty+ N=mg開始時Nvmg ，當B運動至無窮遠處時 Ty* 0, N=mg地面對物體B的支持力逐漸增大.例3、兩光滑環(huán)AB用不可伸長的輕繩相連，當線與豎直方向夾角為時，此時VA=4m/s, 求B沿桿方向的速度.vbcos37 °v acos53二、小船渡河模型一條寬為d的河流，河水流速為 vi，船在靜水中速度為 V2.(1 )要使船劃到對岸時間最短，船頭應(yīng)指向什么方向？最短時間為多少?(

5、2 )要使船劃對對岸的航程最短，船頭指向什么方向？最短航程是多少?解：sin 0=v 2sin 0,渡河時間為可見，在河寬d和船速V2一定情況下，渡河駛向?qū)Π兜臅r間 t隨sin 0的增大而減小當0=90。時，sin 0=1 （最大），即船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，且 t min =求航程最短問題應(yīng)根據(jù) V1和V2的大小關(guān)系分成以下三種情況討論：(i)當V2>v 1時，即船頭斜向上游與岸夾角為B,船的合速度可垂直于河岸，航程最短為d，此時沿水流方向合速度為零.V2COS 9=v i即船頭斜指向上游，與河岸夾角，船航線就是位移d .渡河時間(ii )當V2<v i時，由于船在靜水中

6、的速度 V2小于水流速度vi，則無論船頭駛向何方，總被水流沖向下游，怎樣使船所走航線的位移最短呢？雖然位移不可能垂直河岸， 但當位移越靠近垂直河岸的方向，位移越短：船頭與水平方向上游夾角最 短 航 程，所花時間例1、如圖所示，排球場地長為 18m，設(shè)球網(wǎng)高度為2m，運動員站在離網(wǎng)3m 的線上(圖中用虛線表示)正對網(wǎng)前跳起將球水平擊出(空氣阻力不計)(1 )設(shè)擊球點在3m線正上方2.5m 處，試問擊球的速度在什么范圍內(nèi)才能使球 既不能觸網(wǎng)也不越界？(2)若擊球點在3m線正上方小于某一個值，那么無論以多大速度擊球，球不是 觸網(wǎng)就是越界試求這個高度.解：若擊球水平速度過小，球可能觸網(wǎng)；若擊球水平速度

7、過大，球可能越界.(1 )若剛好不觸網(wǎng)，設(shè)擊球速度為 vi，則水平位移為3m的過程中，V1t=3水平方向：x=v 1t豎直方向:由得:同理剛好不越界，設(shè)擊球速度為 V2，則則球既不能觸網(wǎng)也不越界的速度滿足(2 )設(shè)擊球高度為H時，擊出的球剛好觸網(wǎng)或落在邊界線上.此時也剛好到達邊界：Vot2=12由得：H=2.13m即當擊球高度小于2.13時，無論水平速度多大，球不是觸網(wǎng)就是越界.例2、從高為H的A點平拋一物體，其水平射程為 2s，在A點正上方距地面高為2H的B點，向同一方向平拋另一物體，其水平射程為s.兩物體軌跡在同一豎直平面內(nèi)且都恰好從同一屏的頂端擦過，求屏的高度.例3、如圖示，AB為斜面，

8、傾角為30 °,小球從A點以初速度V。水平拋出，恰好落到B點.求：(1 ) AB間的距離；(2 )物體在空中飛行的時間；(3)從拋出開始經(jīng)多少時間小球與斜面間距離最大?解：(1 )水平位移:(2 )物體在空中飛行時間(3 )當小球作平拋運動軌跡上某一點速度與斜面平行時，該點離斜面距離最遠.方法：方法：由分運動的獨立性，把平拋運動分解成垂直斜面方向的分運動和平行于斜 面方向的分運動的合運動.v丄=v osin3Oa丄=gcos30 °垂直斜面作初速為,加速度為的勻減速直線運動平行于斜面作vii=v ocos30 °aii=gcos60 °的勻加速直線運動當

9、在垂直斜面方向速度減為 0時距斜面最遠:例5、如圖所示，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上。其正上方 A位置有一只小球 小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力， 在D位置小球速度減小到零。小球下降階段下列說法中正確的是（ ）A. 在B位置小球動能最大B. 在C位置小球動能最大C. 從2 C位置小球重力勢能的減少大于小球動能的增加D. 從L D位置小球重力勢能的減少等于彈簧彈性勢能的增加 解析：小球動能的增加用合外力做功來量度，AfC小球受的合力一直向下，對小球做正功，使動能增加；Cf D小球受的合力一直向上，對小球做負功，使動能減小，所以B正確。從Af C

10、小球重力勢能的減少等于小球動能的增加和彈性勢能之和，所以C正確。A D兩位置動能均為零，重力做的正例7、如圖所示，總長為 丨的光滑勻質(zhì)鐵鏈跨過一個光滑的輕質(zhì)小定滑輪，開始時底端 相平，當略有擾動時鐵鏈一端下落，則鐵鏈脫離滑輪的瞬間，其速度為多大？所在平面為零勢能面圖1解析:應(yīng)用第一種表達式，取初態(tài)時鐵鏈重心（即兩段鐵鏈中點）由機械能守恒定律知應(yīng)用第二種表達式，鐵鏈重心下降的重力勢能而鐵鏈增力口 的動能由機械能守恒定律得例3、如圖物塊和斜面都是光滑的，物塊從靜止沿斜面下滑過程中，物塊機械能是否守 恒？系統(tǒng)機械能是否守恒？ 解析：以物塊和斜面系統(tǒng)為研究對象，很明顯物塊下滑過程 中系統(tǒng)不受摩擦和介質(zhì)

11、阻力，故系統(tǒng)機械能守恒。又由水平方向系統(tǒng)動量守恒可以得知： 斜面將向左運動，即斜面的機械能將增大，故物塊的機械能一定將減少。注意：由于這里說的是光滑斜面， 所以容易錯認為物塊本身機械能就守恒。這里要注意：(1) 由于斜面本身要向左滑動，所以斜面對物塊的彈力N和物塊的實際位移s的方向 已經(jīng)不再垂直，彈力要對物塊做負功，對物塊來說已經(jīng)不再滿足“只有重力做功”的條 件。(2) 由于水平方向系統(tǒng)動量守恒，斜面一定會向右運動，其動能也只能是由物塊的機 械能轉(zhuǎn)移而來，所以物塊的機械能必然減少。運動的合成和分解里面的典型問題（一）繩子拉船的問題例5、如圖所示，纖繩以恒定的速率 v，沿 水平方向通過定滑輪牽引

12、小船向岸邊運動，則船 向岸邊運動的瞬時速度vO與v的大小關(guān)系是（）A. vO > vB. vOvvC. vO=vD.以上答案都不對分析：首先要分析小船的運動與纖繩的運動 之間有什么樣的關(guān)系，即哪個是合運動，哪個是 分運動.解：設(shè)某一時刻船的瞬時速率 vO與纖繩的 夾角為e,根據(jù)小船的實際運動方向就是合速度 的方向可知，vO就是合速度，所以小船的運動可 以看作兩個分運動的合成：一是沿繩的方向被牽引，繩長縮短，繩長縮短的速度即等于v ；二是垂直于繩以定滑輪為圓心的擺動，它不改變繩長，只改變角度e的值這樣就可以將vo按如 圖所示方向進行分解，得：可見，小船向岸行駛，所以答的瞬時速度為案應(yīng)選A。

13、答案：A（二）船過河問題例6、一條寬度為L的河流，水流速度為Vs, 已知船在靜水中的速度為 Vc，那么：（1）怎樣渡河時間最短？（2）若Vc>Vs,怎樣渡河位移最?。浚?）若Vc<Vs,怎樣注河船漂下的距離最短？分析與解：（1）如圖甲所示，設(shè)船上頭斜向上游與河岸成任意角出這時船速在垂直于河岸方 向的速度分量V仁Vcsin 9渡河所需時間為：可以看出：L、Vc 一定時，t隨sin 9增大而 減?。划? =90時，sin 9 =所以，當船頭與河岸 垂直時，渡河時間最短，(2) 如圖乙所示，渡河的最小位移即河的寬 度。為了使渡河位移等于L,必須使船的合速度V的方向與河岸垂直。這是船頭應(yīng)指

14、向河的上 游，并與河岸成一定的角度 0O根據(jù)三角函數(shù)關(guān) 系有：Vccos 0 Vs=0.所以 0 =arccosVs/Vc因為 Ow cos 0 s所以只 有在Vc>Vs時，船才有可能垂直于河岸橫渡。(3) 如果水流速度大于船上在靜水中的航 行速度，則不論船的航向如何，總是被水沖向下 游。怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖丙所 示，設(shè)船頭Vc與河岸成0角，合速度V與河岸 成a角?？梢钥闯觯篴角越大，船漂下的距離X 越短，那么，在什么條件下 a角最大呢？以Vs 的矢尖為圓心，以Vc為半徑畫圓，當V與圓相 切時，a角最大，根據(jù)cos 0 =Vc/Vsl船頭與河岸 的夾角應(yīng)為：0 =arccos

15、Vc/Vs.船漂的最短距離為：此時渡河的最短位移為：（三）求解繩聯(lián)物體的關(guān)聯(lián)速度問題對于繩聯(lián)問題，由于繩的彈力總是沿著繩的 方向，所以當繩不可伸長時，繩聯(lián)物體的速度在 繩的方向上的投影相等。求繩聯(lián)物體的速度關(guān)聯(lián) 問題時，首先要明確繩聯(lián)物體的速度，然后將兩 物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向 進行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可求 出。例7、如圖1所示，汽車甲以速度 v1拉汽車 乙前進，乙的速度為 v2，甲、乙都在水平面上 運動，求v1 : v2。分析與解：如圖2所示，甲、乙沿繩的速度 分別為v1和v2cos a兩者應(yīng)該相等，所以有v1 : v2=cos a 1圓周運動中的臨界問題：(

16、1) 如下圖所示，沒有物體支承的小球，在豎直平面作圓周運動過最高點情況:臨界條件：繩子和軌道對小球剛好沒有力的作用。由o注意：如果小球帶電，且空間在在電、磁場時，臨界條件應(yīng)是小球所受重力、電場力和洛侖茲力的合力等于向心力，此時臨界速度能過最高點條件:（當時繩、軌道對球分別產(chǎn)生拉力、壓力）（實際上球還不能過最高點條件:沒到最高點就脫離了軌道，脫離時繩、軌道和球之間的拉力、壓力為零）（2）如下圖所示的有物體支撐的小球，在豎直平面作圓周運動過最高點的臨界條件:v= 0 （有物體支承的小球不會脫落軌內(nèi)，只要還有向前速度都能向前運動）（3）如上圖（a）的球過最高點時，輕質(zhì)桿對球產(chǎn)生的彈力情況：當v=0時

17、，N= mg （N為支持力，方向和指向圓心方向相反）當0 v vv且mg> N> 0 （N仍為支持力）時，N隨v增大而減小,當v =時，N=0.當v >時，N隨v增大而增大，且N>0 （ N為拉力，方向指向圓心）注意：若是上圖（b）的小球，此時將脫離軌道作平拋運動，因為軌道對它不能產(chǎn) 生拉力7、處理圓周運動的動力學問題時需要注意的兩個問題：在明確研究對象以后，首先要注意兩個問題：（1）確定研究對象運動的軌道平面和圓心的位置，以便確定向心力的方向.例如，沿半球形碗的光滑內(nèi)表面，一小球在水平面上做勻速圓周運動，如下圖所 示.小球做圓周運動的圓心 0在與小球同一水平面上的 0

18、 '點，不在球心從也不在彈 力Fn所指的P0線上.（2 ）向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運動的質(zhì)點受力情況時，切不可在 物體的相互作用力（重力、彈力、摩擦力等）以外再添加一個向心力 圓周運動的臨界專題（1）細線系球模型細線系著小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，如圖所示，小球在最高點，受拉力T和重力G 作用，即 T+G=mVr , 在 T=0時，速度 v 最小為v>即此模型中最高點的速度與此模型等效的是小球在圓軌道內(nèi)側(cè)做圓周運動，如圖5-5。如果在最高點速度小于，重力提供此速度的向心力多了，小球?qū)⒚撾x軌道運動，其實小球在達最高點之前就已經(jīng)脫離了軌道。(2) 桿系球模型輕桿連著小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，如圖1所示，小球在最高點時的受力與速度的大小有關(guān)：,重力正好作此速度的向心力,A. v=小球不受桿的其它作用力B. v >,重力作此速度的向心力少了,小球受桿的拉力補充重力的不足C. vv，重力作此速度的向心力多了，小球受桿的支持力，抵消多余的重力圖1圖2與此等效的模型是小球在圓管內(nèi)作圓周運動，如圖2所示。m=1kg，不計例2、如圖所示，0.5米長的輕桿系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動, 一切摩擦，求（1）最低點速度為4m/s時，球能否上升