空間向量及其運(yùn)算

1、 空間向量及其運(yùn)算一、選擇題(每小題6分，共36分)1若對(duì)任意一點(diǎn)O，有xy，則xy1是P，A，B三點(diǎn)共線的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)xy1時(shí)，x1y.xy(1y)yy.y，A，P，B三點(diǎn)共線當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，()，即(1).令x，y1，則xy1.【答案】C2已知向量a，b，c兩兩夾角都是60°，其模都是1，則|ab2c|等于()A. B5C6 D.【解析】(ab2c)2a2b24c22a·b4b·c4a·c1142×1×1×cos60°4×1

2、×1×cos60°4×1×1×cos60°61225，|ab2c|.【答案】A3在以下命題中，不正確的命題個(gè)數(shù)為()已知A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則0.|a|b|ab|是a，b共線的充分條件若a與b共線，則a與b所在直線平行對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，若x yz(其中x、y、zR)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)【解析】0，正確；|a|b|a|b|成立的充分條件是|a|與|b|共線且方向相反，且|a|>|b|，因此錯(cuò)，由向量平行知不正確，由空間向量中點(diǎn)共面知不正確，故選C.【答案

3、】C4已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則·的值為()Aa2 B.a2C.a2 D.a2【解析】·()·(··)(a2cos 60°a2cos 60°)a2.【答案】C5已知四邊形ABCD滿足：·>0，·>0，·>0，·>0，則該四邊形為()A平行四邊形 B梯形C平面四邊形 D空間四邊形【解析】由已知條件得四邊形的四個(gè)外角均為銳角，但在平面四邊形中任一四邊形的外角和是360°，這與已知條件矛盾，所以該四

4、邊形是一個(gè)空間四邊形故選D.【答案】D6將正ABC沿其所在平面的法向量平移到A1B1C1，連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，若ABBB1，則AB1與C1B所成的角的大小為()A60° B90°C105° D75°【解析】設(shè)與的夾角為，則，.不妨取BB11，AB，得AB1，C1B.則·|cos 3cos .又·()·()····01×cos 60°00，cos 0，得90°，故選B.【答案】B二、填空題(每小題6分，共18分)7已知平行六面體ABCDA1B1C1D1，以頂點(diǎn)A為

5、端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且兩兩夾角為60°，則對(duì)角線AC1的長(zhǎng)是_【解析】，|2()22·2·2·1112cos 60°×36，|.【答案】8已知a(2,3，1)，b(2,1,3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積是_【解析】a·b4334，|a|b|，cosa，b，sina，b，S平行四邊形|a|b|sina，b14×6.【答案】69在各棱長(zhǎng)都等于1的正四面體OABC中，若點(diǎn)P滿足x·y·z·(其中xyz1)，則|的最小值等于_【解析】由于x·y·z·，

6、所以|2(x·y·z·)2x2y2z2xyyzxz1(xyyzxz)，而1(xyz)2x2y2z22(xyyzxz)3(xyyzxz)，所以xyyzxz，于是|2，故|，即|的最小值等于.【答案】三、解答題(10,11每題15分，12題16分，共46分)10如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，求OA與BC所成角的余弦值【解析】BAA，O·BO·(AA)O·AO·A|O|A|cosO，A|O|A|cosO，A8×4×cos135&

7、#176;8×6×cos120°2416，cosO，B，故OA與BC所成角的余弦值為.11在空間四邊形PABC中，PA平面ABC，ACBC.若A在PB、PC上的射影分別是E、F.求證：EFPB.【證明】由已知可得·0，·0，·0，·0，又、共面，所以存在實(shí)數(shù)x，y，使得xy，·()···()·(xy)·x(·)y(·)000.EFPB.12在平行四邊形ABCD中，ABAC1，ACD90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D之間的距離【解析】如圖(1)、(2)ACD90°，BAC90°，·0，·0.AB與CD所成的角為60°.，60°或