高中數(shù)學(xué)必修1基本初等函數(shù)?？碱}型：函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

1、函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例【知識(shí)梳理】1常見(jiàn)的函數(shù)模型(1)正比例函數(shù)模型：(為常數(shù)，)；(2)反比例函數(shù)模型：(為常數(shù)，)；(3)一次函數(shù)模型：(，為常數(shù)，)；(4)二次函數(shù)模型：(，為常數(shù)，)；(5)指數(shù)函數(shù)模型：(，為常數(shù)，)；(6)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：(，為常數(shù)，)；(7)冪函數(shù)模型：(，為常數(shù)，)2建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的框圖表示【常考題型】題型一、二次函數(shù)模型【例1】據(jù)市場(chǎng)分析，煙臺(tái)某海鮮加工公司，當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時(shí)，月生產(chǎn)總成本(萬(wàn)元)可以看成月產(chǎn)量(噸)的二次函數(shù)；當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時(shí)，月總成本為20萬(wàn)元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時(shí)，月總成本最低為17.5萬(wàn)元，為二次函數(shù)的頂點(diǎn)寫(xiě)出月總成本(萬(wàn)元

2、)關(guān)于月產(chǎn)量(噸)的函數(shù)關(guān)系已知該產(chǎn)品銷售價(jià)為每噸1.6萬(wàn)元，那么月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲最大利潤(rùn)？解(1)，將，代入上式，得.解得.所以()(2)設(shè)最大利潤(rùn)為，則()因?yàn)?，所以月產(chǎn)量為噸時(shí)，可獲最大利潤(rùn)萬(wàn)元【類題通法】利用二次函數(shù)模型解決問(wèn)題的方法在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】漁場(chǎng)中魚(yú)群的最大養(yǎng)殖量為()，為了保證魚(yú)群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量小于，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量已知魚(yú)群的年增長(zhǎng)量和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量

3、的比值)的乘積成正比，比例系數(shù)為()(1)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；(2)求魚(yú)群年增長(zhǎng)量的最大值解：(1)根據(jù)題意知，空閑率是，故關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是，.(2)由(1)知，.則當(dāng)時(shí)，.所以，魚(yú)群年增長(zhǎng)量的最大值為.題型二、分段函數(shù)模型【例2】提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度(單位：千米/小時(shí))是車(chē)流密度(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)研究表明：當(dāng)時(shí)，車(chē)流速度是車(chē)流密度的一次函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車(chē)流密

4、度為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))解(1)由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，再由已知得，解得故函數(shù)的表達(dá)式為(2)依題意并結(jié)合(1)可得當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值.綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值.即當(dāng)車(chē)流密度為輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為輛/小時(shí)【類題通法】構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點(diǎn)建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間，對(duì)每一區(qū)間進(jìn)行分類討論，從而寫(xiě)出函數(shù)的解析式【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】某醫(yī)療研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)

5、定的計(jì)量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量與時(shí)間之間近似滿足如圖所示的曲線(1)寫(xiě)出服藥后與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于時(shí)治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥為上午，問(wèn)一天中怎樣安排服藥時(shí)間(共次)效果最佳？解：(1)依題意得(2)設(shè)第二次服藥時(shí)在第一次服藥后小時(shí)，則，解得，因而第二次服藥應(yīng)在.設(shè)第三次服藥在第一次服藥后小時(shí)，則此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為前兩次服藥后的含藥量的和，即有，解得小時(shí)，故第三次服藥應(yīng)在.設(shè)第四次服藥在第一次服藥后小時(shí)()，則此時(shí)第一次服進(jìn)的藥已吸收完，血液中含藥量應(yīng)為第二、第三次的和，解得小時(shí)，故第四次服藥應(yīng)在.題型三、指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)

6、模型【例3】目前某縣有100萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)年后為萬(wàn)人如果年平均增長(zhǎng)率是1.2%，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)計(jì)算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人)；(3)計(jì)算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)(精確到1年)解(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故關(guān)于的函數(shù)解析式為()(2)當(dāng)時(shí)，.故年后該縣約有萬(wàn)人(3)設(shè)年后該縣的人口總數(shù)為萬(wàn)，即，解得.故大約年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到萬(wàn)【類題通法】 指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示通?？梢员硎緸?其中為基礎(chǔ)數(shù)，為增長(zhǎng)率，為時(shí)間)的形式【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】20世紀(jì)70年代，里

7、克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)，其計(jì)算公式為：.其中是被測(cè)地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(1)假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中1 000千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.002，計(jì)算這次地震的震級(jí)；(2)5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，我國(guó)發(fā)生在汶川的8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍？解：(1).即這次地震的震級(jí)為級(jí)(2)，即我國(guó)發(fā)生在汶川的8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的1 000倍【練習(xí)反饋】1某廠日產(chǎn)手套總成本(元)與手套日

8、產(chǎn)量(副)的函數(shù)解析式為，而手套出廠價(jià)格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為()A200副B400副C600副 D800副解析：選D由，解得，即日產(chǎn)手套至少800副時(shí)才不虧本2已知A，B兩地相距150千米，某人開(kāi)汽車(chē)以60千米/小時(shí)的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回A地，則汽車(chē)離開(kāi)A地的距離關(guān)于時(shí)間(小時(shí))的函數(shù)解析式是()ABCD解析：選D顯然出發(fā)、停留、返回三個(gè)過(guò)程中行車(chē)速度是不同的，故應(yīng)分三段表示函數(shù)3由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔5年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低，則現(xiàn)在價(jià)格為8 100元的計(jì)算機(jī)15年后的價(jià)格應(yīng)降為_(kāi)元解析：，所以當(dāng)時(shí)，(元)答案：4如圖所示，折線是某電信局規(guī)定打長(zhǎng)途電話所需要付的電話費(fèi)(元)與通話時(shí)間(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系圖象，根據(jù)圖象填空：(1)通話2分鐘，需付的電話費(fèi)為_(kāi)元；(2)通話5分鐘，需付的電話費(fèi)為_(kāi)元；(3)如果，則電話費(fèi)(元)與通話時(shí)間(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)解析：(1)由圖象可知，當(dāng)時(shí)，電話費(fèi)都是3.6元(2)由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即需付電話費(fèi)6元(3)當(dāng)時(shí)，關(guān)于的圖象是一條直線，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，則解得，故關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為()答案：(1)(2)(3)()5某商店某種商品(以下提到的商品均指該商品)進(jìn)貨價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為