彈性力學(xué)試卷2017上學(xué)期答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

1、2016-2017 第二學(xué)期彈性力學(xué)考試答案及評分標(biāo)準(zhǔn)概念問答題1、以應(yīng)力作未知量，應(yīng)滿足什么方程及什么邊界條件？答：以應(yīng)力作為未知量應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及邊界條件。（5 分）2、平面問題的未知量有哪些？方程有哪些？答：平面問題有x、y、xy、x、y、xy、U、V 八個(gè)，方程有兩個(gè)平衡方程, 個(gè)幾何方程，三個(gè)物理方程。（5 分）3、已知x200Pa，y100Pa，xy50Pa及r100Pa，100Pa，試分別在圖中所示單元體畫出應(yīng)力狀態(tài)圖4、簡述圣維南原理答:如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相 同，對同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有

2、顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受 的影響可以不計(jì)。（5 分）5、簡述應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義。答：形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體一位移連續(xù)-幾何方程一形 變協(xié)調(diào)條件。（2 分）形變協(xié)調(diào)條件是與形變對應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。形變協(xié)調(diào)一對應(yīng)的位移存在一位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào)對應(yīng)的位移不存在不是物體實(shí)際存在的形變微分體變形后不 保持連續(xù)。（3 分）&剛體位移相應(yīng)于什么應(yīng)變狀態(tài)。答：剛體位移相應(yīng)于零應(yīng)變狀態(tài)，對平面問題為x=y=xy=0（ 5 分）7、簡述最小勢能原理，該原理等價(jià)于彈性力學(xué)的哪些基本方程？答：由位移變分方程可得300Pa，（2分）UXu Yv Zw dxdydz Xu

3、Yv Zw dSU Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS 0 或0其中為物體得總勢能（形變勢能和外力勢能在之和），0稱為最小勢能原理，它表明物體處于平衡位置時(shí)，總勢能的一階變分為零?？梢宰C明：在線 彈性體中，20,即在所有幾何可能的位移中，實(shí)際的位移使總勢能取最小值。最小勢能原理等價(jià)于平衡微分方程和靜力邊界條件。（5 分）、已知下述應(yīng)變狀態(tài)是物體變形時(shí)產(chǎn)生的，試求各系數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系（5分）xA0A（X2y2）44x yyB0Bdx2y2）44x yxyC0Gxy（x2y2C2）應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變相容條件，即為固定邊界。（15 分）解：2x2y2y2X2xyx

4、 y（2分）由題中給出的應(yīng)變可得：222T2A112y2，則由相容條件可得：2A,2B112x2，12y22耳2xyx y12x23C1x23C1y2C1C23C1x23C1y2C1C2上式對任意 x，y 均成立，則有：12 3C1C142A 2B1C1C2A1A 2C2（3分）、試與出圖中所示各邊的精確邊界條件，圖中s、q 均為均勻分布荷載，AFUXu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dSAF 邊：u=0，v=0（2 分）AB 邊：y=0,xy=0（2 分）xyEF 邊:BC 邊:l siny=0,xy=o（4 分）2（2分）22Txy2TycosxT2xyCD 邊：（2 分）x

5、qscosssin222s2xxyxy yssin222Txy、2 22xy2yDE 邊：（3 分）lm cos2scos2 s2ssin2 s2xyxy四、對于圖中所示結(jié)構(gòu),l 遠(yuǎn)大于 h,已知2M3hqx823y y2h h2M 是集中彎矩，q 為均勻分布荷載，試證明它是圣維南條件下的解。（15）OI11l1r11111qrZZ/2尹/z丿1xy解:（1）（2）驗(yàn)證相容方程:應(yīng)力分量：0，這里顯然滿足。（1 分）22（3）頂部 xh2h2解:yx2xy12My有0qx1 6yh h2（3分）邊界條件0,h2h2xyxyxyy ydy0,0（2分）3一q成立 （2 分）43y2h2dyh 1

6、2Myh2h3dy，積分后為偶數(shù)，故為 0（2分）2y2hh2212Mydyh 3dy2hh2h2h2h24My3h3xydy 03yh2h2h2ydyh2h22q昇0,成立（2分）成立（3 分）試按逆解法推導(dǎo)軸對稱問題的應(yīng)力解和位移解（15分）應(yīng)力數(shù)值軸對稱一僅為 的函數(shù)，應(yīng)力方向軸對稱 一相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)TPbp，應(yīng)力分量:d2dp0.（a）（3分）（1）相容方程丄）20pdp其中:d2dp2p）p221 d 1 d - P- dP PdP相容方程成為常微分方程，積分四次得2AinpBpInpC應(yīng)力通解：將式(c)代入式(a)，A2B(1 2ln ) 2C,dP)0,dP的通解，PD(b)(

7、c)(3 分)AB(3 2ln )2C,(d)(3 分)(3) 應(yīng)變通解：將應(yīng)力(d)代入物理方程，得對應(yīng)的應(yīng)變分量的通解。應(yīng)變|也為軸對稱。(4) 求對應(yīng)的位移：將應(yīng)變代入幾何方程，對應(yīng)第一、二式分別積分,PP,uP1 UP Up f (D;U,7(P季 up)d卩護(hù)up,fi( P)。將UP,u代入第二式,p)1 UPP 分開變量，兩邊均應(yīng)等于同一常量d ff1P P即得兩個(gè)常微分方程,fi(P)Pd fi(PF,dPfi(P)UPF,Up0,d fd(3 分)F；d f()d得：f()代入up,uf()dF,K sind2f()f(0,其中I cos，得軸對稱應(yīng)力對應(yīng)的位移通解,Uy (

8、1)-2(1)B (In2(1)CI cosK sin，4BUHI sinK cos。1)E(1 3 )B(e)(3 分)I , K為 x、y 向的剛體平移， H為繞 o 點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。六、一端固定、另一端彈性支撐的梁，其跨度為 I，抗彎剛度 EI 為常數(shù)，彈簧 系數(shù)為 k,承受分布荷載 q(x)的作用(如圖所示)。試用位移變分方程(或最小 勢能原理)導(dǎo)出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件( 15 分)vy解：用位移變分方程推導(dǎo)(1)梁內(nèi)總應(yīng)變能的改變?yōu)?U -lEJ20d2vdx2dxEJd2vdx2d2vdx2dx ( 1 分)(2) 外力總虛功為l0(3) 由位移變分方程

9、得ld2vd2vEJ22dx0dx2dx2q x vdx RAvl0qlq對上式左端運(yùn)用分部積分得lEJ0d2vdx2d2vdx2dxEJEJEJvdxvdx坐d0dx2d2vdx2d2vdx2dvdxdvdx(1 分)(a) (1 分)dvdxiEJld3v0代入(a)式，經(jīng)整理得dvd3vdxdx3d2vEJdx2由于變分0d3vdx3dx3l色dxdxdvdxv的任意性，式(b)成立的條件為d2vdx2EJ兇dx4dvkv(c)EJld4v0dx4dxx l(b)d4vEJ4q x vdx 0 dx4(3 分)dxd3vdx3(d)d2vdvd3vEJ2kv EJ3v 0(e)(3 分)dx(4)式(c)就是以撓度 v 表示的平衡微分方程。下面討論邊界條件。