第4章交通流理論

1、tktkePk!)(!kemkmkPmeP0kkmkPP1129.01109.99.9110)11(1)11(ieiiiiPPP！解： P0 = e-0.067 =0.935P0 = e-0.133 =0.875P0 = e-0.2 =0.8190.2P0 = e-ml例例3、設、設60輛車隨機分布在輛車隨機分布在4km長的道路上，長的道路上，求任意求任意400m路段上有路段上有4輛及輛及4輛以上汽車的概輛以上汽車的概率。率。解：解：（1）基本公式： ，k0，1，2，Pk在計數(shù)間隔t內(nèi)到達k輛車或k個人的概率；單位時間間隔的平均到達率（輛/s或人/s）；t每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間（s）或距離（m

2、）；n觀測次數(shù)，正整數(shù)。knntkntknkCP)1()(ntp通常記 ，則二項分布為：) 10( )1 ()(pppCPknkknk（2）遞推公式：npP)1(0kppkknkPP111（3）適用條件：車輛比較擁擠、自由行駛機會不多的車流。l適用條件:用于描述有充分超車機會的單列車流和密度不大的多列車流的車頭時距分布。l負指數(shù)分布常與泊松分布相對應，當來車符合泊松分布時，車頭時距則符合負指數(shù)分布。 由公式： 可知，當車輛平均到達率為時，P(0)為計數(shù)間隔t 內(nèi)無車到達的概率。 可見，在具體的時間間隔 t 內(nèi)，如無車輛到達，則在上一次車和下一次車到達之間車頭時距h至少有t，即ht。teP )(

3、0tethP)(例4：對于單向平均流量為360輛/h的車流，求車頭時距大于或等于10s的概率。解：車頭時距大于或等于10s的概率也就是10s以內(nèi)無車的概率。 由=360/3600=0.1 同樣，車頭時距小于10s的概率為：6301.)(ttheP l車頭時距服從負指數(shù)分布的車流特性 見圖，曲線是單調(diào)下降的，說明車頭時距愈短，出現(xiàn)的概率愈大。這種情形在不 能超車的單列車流中 是不可能出現(xiàn)的，因 為車輛的車頭與車頭 之間至少存在一個車 長，所以車頭時距必 有一個大于零的最小 值。)(t )()(tethP類別輸入分布服務方式服務臺數(shù)量符號含義M泊松或負指數(shù)分布M負指數(shù)分布1D定長D定長NEk 愛爾

4、朗分布Ek 愛爾朗分布M/M/N泊松輸入、負指數(shù)分布服務、N個服務臺M/D/1泊松輸入、定長服務、單個服務臺lM/M/1系統(tǒng)（單通道服務系統(tǒng)）的基本概念：由于排隊等待接受服務的通道只有單獨的一條，因此也叫做“單通道服務”系統(tǒng)。服務服務（收費站）（收費站）輸出輸出輸入輸入M/M/1系統(tǒng)系統(tǒng)主要參數(shù)：設平均到達率為，則兩次到達的平均間隔時間（時距）為1/；設排隊從單通道接受服務后出來的系統(tǒng)平均服務率（輸出率）為， 則平均服務時間為1/ ；比率： 稱為交通強度或利用系數(shù)，由比率即可確定各種狀態(tài)的性質(zhì)。 當比率1（即），且時間充分，每個狀態(tài)都會以非0的概率反復出現(xiàn)；當比率1（即），任何狀態(tài)都是不穩(wěn)定的

5、，且排隊會越來越長。要保持穩(wěn)定狀態(tài)，確保單通道排隊消散的條件是1（即）。 例如：某高速公路進口收費站平均每10s有一輛車到達，收費站發(fā)放通行卡的時間平均需要8s，即: 1/=10s； 1/=8s 如果時間充分，這個收費站不會出現(xiàn)大量阻塞。8081101./ l當比率1（即），系統(tǒng)處以穩(wěn)定狀態(tài)：在系統(tǒng)中沒有顧客的概率為（即沒有接受服務，也沒有排隊）：在系統(tǒng)中有k個顧客的概率為（包括接受服務的顧客與排隊的顧客之和）：在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)為（平均接受服務的顧客與排隊的顧客之和）： 10P)( 1kkP（輛輛）1)1 (n系統(tǒng)中顧客數(shù)的方差： 隨著的增大，n 增大；當0.8以后， n 迅速增大，從而使

6、排隊長度快速增加，排隊系統(tǒng)便的不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的服務能力迅速下降。平均排隊長度： 這里是指排隊顧客（車輛）的平均排隊長度，不包括接受服務的顧客（車輛）。)1()1/(22 （輛輛）)(112 nnq平均非零排隊長度： 即排隊不計算沒有顧客的時間，僅計算有顧客時的平均排隊長度，即非零排隊。如果把有顧客時計算在內(nèi)，就是前述的平均排隊長度。排隊系統(tǒng)中平均消耗時間： 這里是指排隊中消耗時間與接受服務所用時間之和。)(輛輛輛輛或或s/ h/1 nd（輛輛）)(qqqww 11排隊中的平均等待時間： 這里在排隊時平均需要等待的時間，不包括接受服務的時間，等于排隊系統(tǒng)平均消耗時間與平均服務時間之差。 共有八

7、個指標。)()(輛輛輛輛或或 s/ h/1 dw例1：高速公路入口收費站，車輛到達是隨機的，流入量為400輛/h，如果收費工作人員平均能在8s內(nèi)發(fā)放通行卡，符合負指數(shù)分布，求：收費站排隊系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)，平均排隊長度，排隊系統(tǒng)中的平均消耗時間和排隊中的平均等待時間。 解：=400/3600（輛/s）, =1/8 （輛/s） =/=0.89 1 ，排隊系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 收費站排隊系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)：)(.輛輛889018901 n 平均排隊長度： 排隊系統(tǒng)中的平均消耗時間： 排隊中的平均等待時間：（輛輛）7.110.898 nq)(輛輛s/ 7236004008111 d)(輛輛s/ 64872

8、1 dw例2：修建一個服務能力為120輛/h的停車場，布置一條進入停車場的引道，經(jīng)調(diào)查車輛到達率為72輛/h，進入停車場的引道長度能夠容納5輛車，是否合適 。 解： =72（輛/h）, =120 （輛/h） =/=0.6 1 ，排隊系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 進入停車場的引道長度能夠容納5輛車,如果系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)小于5輛車則是合適的，否則，準備停放的車輛必然影響交通。合合適適輛輛輛輛)()(.51.5601601 n 驗證系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過5輛車的概率P(5)，如果P(5)很小，則得到 “合適”的結(jié)論正確。由： 驗證結(jié)果表明：系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過5輛車的概率P(5)不足5%，概率很小，進入停車場的引

9、道長度是合適的。0.046710.03110.05180.08640.14400.24000.400011555432100）（）（得得：和和PPPPPPPPPPkk)( n+1 n+1 n n+1 n S(t) )(txn )(txn 1 t 時時刻刻兩兩車車位位置置 前前車車開開始始減減速速的的位位置置 3d 1d 2d L 后后車車開開始始減減速速的的位位置置 完完全全剎剎車車后后兩兩車車位位置置 線性跟車模型示意圖線性跟車模型示意圖l兩車在剎車操作后的相對位置如圖所示。 第i 輛車在時刻t 的位置； 兩車在時刻 t 的間距，且: 后車在反應時間T內(nèi)行駛的距離； 后隨車在減速期間行駛的距

10、離； 前導車在減速期間行駛的距離； 停車后的車頭間距； 第n+1輛車在時刻t 的速度。)(txi)(tS)()()(txtxtSnn11d)()(tTxTtxTdnn1112d3dL)(txn 1 假定 ，要使在時刻t 兩車的間距能保證在突然剎車事件中不發(fā)生碰撞，則應有： 對t 微分，得: 式中: 為后車在(t+T)時刻的加速度，稱為后車 的反應 ；1/T 稱為敏感度； 稱為t 時刻 的刺激。這樣，上式就可理解為： 反應敏感度刺激。 32dd LTtxTLdtSn)()(11)()()(TtxTtxtxnnn11 )()()(txtxTTtxnnn111 )(Ttxn1 )()(txtxnn1

11、 第五節(jié)第五節(jié) 流體力學理論流體力學理論 一、流體動力學理論建立一、流體動力學理論建立 l車流連續(xù)性方程的建立車流連續(xù)性方程的建立 設車流順次通過斷面設車流順次通過斷面和和的時間間隔為的時間間隔為t，兩，兩斷面得間距為斷面得間距為x。車流在斷面。車流在斷面的流入量為的流入量為Q、密度為密度為K；同時，車流在斷面；同時，車流在斷面得流出量為：得流出量為：(Q+q)， (K-K)，其中：，其中： K的前面加一負號，的前面加一負號，表示在擁擠狀態(tài)，車流密度隨車流量增加而減小。表示在擁擠狀態(tài)，車流密度隨車流量增加而減小。 x tQ KQ+Q K-K KQ(K,Q)(K-K,Q+Q )一、流體動力學理論

12、建立一、流體動力學理論建立 l車流連續(xù)性方程的建立：車流連續(xù)性方程的建立： 根據(jù)物質(zhì)守恒定律，在根據(jù)物質(zhì)守恒定律，在t時間內(nèi)：時間內(nèi)： 流入量流入量-流出量流出量=x內(nèi)車輛數(shù)的變化，內(nèi)車輛數(shù)的變化， 即：即： Q-(Q+Q)t=K-(K-K)x 或：或： ，取極限可得：，取極限可得： 含義為：當車流量隨距離而降低時，車輛密度隨含義為：當車流量隨距離而降低時，車輛密度隨時間而增大。時間而增大。0 xQtK 0 xQtK一、流體動力學理論建立一、流體動力學理論建立l車流波及波速：車流波及波速： 列隊行駛的車輛在信號交叉口遇到紅燈后，即列隊行駛的車輛在信號交叉口遇到紅燈后，即陸續(xù)停車排隊而集結(jié)成密度

13、高的隊列；當綠燈開陸續(xù)停車排隊而集結(jié)成密度高的隊列；當綠燈開啟后，排隊的車輛又陸續(xù)起動疏散成一列具有適啟后，排隊的車輛又陸續(xù)起動疏散成一列具有適當密度的隊列。當密度的隊列。 車流中兩種不同密度部分的分界面掠過一輛輛車流中兩種不同密度部分的分界面掠過一輛輛車向車隊后部傳播的現(xiàn)象，稱為車流的波動。車向車隊后部傳播的現(xiàn)象，稱為車流的波動。 此車流波動沿道路移動的速度稱為波速。此車流波動沿道路移動的速度稱為波速。二、車流波動理論二、車流波動理論l波速公式的推導：波速公式的推導： 假設一條公路上由兩個相鄰的不同交通流密度假設一條公路上由兩個相鄰的不同交通流密度區(qū)域（區(qū)域（K1和和K2）用垂線）用垂線S分

14、割這兩種密度，稱分割這兩種密度，稱S為為波陣面，設波陣面，設S的速度為的速度為w（ w為垂線為垂線S相對于路面相對于路面的絕對速度），并規(guī)定垂線的絕對速度），并規(guī)定垂線S的速度的速度w沿車流運行沿車流運行方向為正。由流量守恒可知，在方向為正。由流量守恒可知，在t 時間內(nèi)由時間內(nèi)由A進入進入S面的車輛數(shù)等于由面的車輛數(shù)等于由S面駛?cè)朊骜側(cè)隑的車輛數(shù)，即：的車輛數(shù)，即： 式中式中: (V1-w)、(V2-w)分別為車輛進出分別為車輛進出S 面前后相面前后相對于對于S 面的速度。面的速度。tKwVtKwV2211)()(二、車流波動理論二、車流波動理論V1=100km/hK1=10輛輛/kmV2=8

15、0km/h K2=14輛輛/km 車頭間距車頭間距71mwwK1 V1K2 V2ABSS二、車流波動理論二、車流波動理論 由：由： 規(guī)定：當規(guī)定：當K2K1，密度增加，產(chǎn)生的，密度增加，產(chǎn)生的w為集結(jié)波。為集結(jié)波。12121112221211221122122221112211)()()(KKQQwKVQKVQKKKVKVwKVKVKKwwKKVwKKVtKwVtKwV 得得三、車流波動狀態(tài)討論三、車流波動狀態(tài)討論l 當當Q2Q1 、K2Q1 、K2K1時，產(chǎn)生一個集結(jié)波，時，產(chǎn)生一個集結(jié)波， w為正為正值，集結(jié)波在波動產(chǎn)生的那一點，沿著與車流相值，集結(jié)波在波動產(chǎn)生的那一點，沿著與車流相同的方

16、向，以相對路面為同的方向，以相對路面為w的速度移動。的速度移動。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)三、車流波動狀態(tài)討論三、車流波動狀態(tài)討論l 當當Q2K1時，產(chǎn)生一個集結(jié)波，時，產(chǎn)生一個集結(jié)波， w為負為負值，集結(jié)波在波動產(chǎn)生的那一點，沿著與車流相值，集結(jié)波在波動產(chǎn)生的那一點，沿著與車流相反的方向，以相對路面為反的方向，以相對路面為w的速度移動。的速度移動。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)三、車流波動狀態(tài)討論三、車流波動狀態(tài)討論l 當當Q2Q1 、K2K1時，產(chǎn)生一個消散波，時，產(chǎn)生一個消散波， w為負為負值，集結(jié)波在波動產(chǎn)生的那一點，沿著與車流相值，集結(jié)波在波動產(chǎn)生的那一點，沿著與車流相反的方

17、向，以相對路面為反的方向，以相對路面為w的速度移動。的速度移動。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)四、車流波動理論的應用四、車流波動理論的應用例：道路上的車流量為例：道路上的車流量為720輛輛/h，車速為，車速為60 km/h，今有一輛超限汽車以今有一輛超限汽車以30km/h的速度進入交通流并的速度進入交通流并行駛行駛5km后離去，由于無法超車，就在該超限車后離去，由于無法超車，就在該超限車后形成一低速車隊，密度為后形成一低速車隊，密度為40輛輛/km，該超限車，該超限車離去后，受到擁擠低速車隊以車速離去后，受到擁擠低速車隊以車速50km/h，密度，密度為為25輛輛/km的車流疏散，計算：的車流

18、疏散，計算： (1)擁擠消散時間擁擠消散時間ts；(2)擁擠持續(xù)時間擁擠持續(xù)時間tj；(3)最大最大排隊長度；排隊長度；(4)排隊最長時的排隊車輛數(shù)；排隊最長時的排隊車輛數(shù)；(5) 參參與過排隊的車輛總數(shù)。與過排隊的車輛總數(shù)。四、車流波動理論的應用四、車流波動理論的應用 解：三種狀態(tài)的解：三種狀態(tài)的Q、K、V分別如圖所示：分別如圖所示： 超限車進入后，車流由狀態(tài)變超限車進入后，車流由狀態(tài)變?yōu)闋顟B(tài)為狀態(tài) ，將產(chǎn)，將產(chǎn)生一個集結(jié)波生一個集結(jié)波：（注意集結(jié)波的方向?。海ㄗ⒁饧Y(jié)波的方向?。?km Q1=720V1=60K1=12 Q2=1200V2=30K2=40 Q3=1250V3=50K3=25

19、 w1 w2(km/h)14.1760/72040720403012121KKQQw四、車流波動理論的應用四、車流波動理論的應用 超限車插入后，超限車的速度為超限車插入后，超限車的速度為30km/h，集結(jié)波，集結(jié)波由超限車進入點以由超限車進入點以w1=17.14km/h的速度沿車流方的速度沿車流方向運動。如果這種狀況持續(xù)向運動。如果這種狀況持續(xù)1h， 1h后跟在超限車后跟在超限車后的低速車隊長度為：后的低速車隊長度為：30-17.14=12.86 km。但超。但超限車行駛限車行駛5km后離去，超限車行駛后離去，超限車行駛5km所用時間所用時間為：為：ta=5/30=0.167h，在超限車駛離時

20、刻超限車后，在超限車駛離時刻超限車后的低速車隊長度應為：的低速車隊長度應為： 5-w1ta=2.14km。5km w1w1ta 5-w1ta=2.14km四、車流波動理論的應用四、車流波動理論的應用 超限車離去后，車流由狀態(tài)超限車離去后，車流由狀態(tài)變?yōu)闋顟B(tài)變?yōu)闋顟B(tài)，在超，在超限車駛離點產(chǎn)生一個消散波：限車駛離點產(chǎn)生一個消散波： 注意：超限車離去，低速車隊前端以注意：超限車離去，低速車隊前端以-3.33km/h的的速度消散，后端還在以速度消散，后端還在以17.14km/h的速度集結(jié)。的速度集結(jié)。5km w1 w2w1ta 5-w1ta=2.14km(km/h)333402540302550232

21、32.KKQQw四、車流波動理論的應用四、車流波動理論的應用 由此可見，在超限車離去的時刻低速車隊最長！由此可見，在超限車離去的時刻低速車隊最長！ 因此，最大排隊長度為因此，最大排隊長度為2.14km （為什么？），這（為什么？），這2.14km上的車輛數(shù)即為最大排隊車輛數(shù)：上的車輛數(shù)即為最大排隊車輛數(shù)： 2.14K2=2.1440=86 （輛）（為什么是（輛）（為什么是K2 ？ ） 超限車離去的時刻，低速車隊前端以超限車離去的時刻，低速車隊前端以-3.33km/h的的速度消散，后端還在以速度消散，后端還在以17.14km/h的速度集結(jié)，設的速度集結(jié)，設要消散長度為要消散長度為2.14km的低速車隊需要的時間為的低速車隊需要的時間為ts 5km w1 w2w1ta 5-w1ta=2.14km四、車流波動