第2章平穩(wěn)隨機信號的功率譜-頻域特征

1、1平穩(wěn)隨機信號的譜分析平穩(wěn)隨機信號的譜分析 2本章要解決的問題本章要解決的問題 v隨機信號是否也可以應(yīng)用頻域分析方法隨機信號是否也可以應(yīng)用頻域分析方法? v傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機信號？傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機信號？ v相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系 v功率譜的應(yīng)用功率譜的應(yīng)用 v采樣定理采樣定理 v白噪聲的定義白噪聲的定義 32.1 隨機信號的譜分析隨機信號的譜分析 一、預(yù)備知識一、預(yù)備知識1. 付氏變換付氏變換設(shè)設(shè)x(t)x(t)是時間是時間t t的非周期實函數(shù)，且的非周期實函數(shù)，且x(t)x(t) 滿足滿足 在在 范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件 )(tx),(

2、 絕對可積，即絕對可積，即 )(txdttx )( 信號的總能量有限，即信號的總能量有限，即 )(txdttx2)(有限個極值有限個極值有限個斷點有限個斷點斷點為有限斷點為有限值值4則則 的傅里葉變換為：的傅里葉變換為： )(txdtetxXtjX)()( 其反變換為：其反變換為： deXtxtjX)(21)(稱稱 為為 的頻譜密度，也簡稱為頻譜。的頻譜密度，也簡稱為頻譜。)(tx)(XX包含：包含：振幅譜振幅譜 相位譜相位譜5常見的傅立葉變換常見的傅立葉變換 t11 2tcos000tsin000 j0, tetj1te222tje00262. 帕塞瓦等式帕塞瓦等式dtdeXtxdttxtj

3、X)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21dXdttxX22)(21)(即即能量譜密能量譜密度度7二、隨機信號的功率譜密度二、隨機信號的功率譜密度 應(yīng)用截取函數(shù)應(yīng)用截取函數(shù) TtTttxtxT0)()(8當(dāng)當(dāng)x(t)x(t)為有限值時，為有限值時， 的傅里葉變換存在的傅里葉變換存在 )(txTdtetxTXtjTX)(),(TTtjdtetx)(應(yīng)用帕塞瓦等式應(yīng)用帕塞瓦等式 dTXdttxXTT22),(21)(dTXTdttxTXTT22),(41)(21dTXTEdttxTEXTT22),(41)(21除以除以2T2T取集合平均取集合平均9

4、令令 ，再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分，再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序的次序 T dTTXEdttXETXTTTT2),(lim21)(21lim22 功功率率Q )( XS非非負負存存在在 dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2（1）Q為確定性值，不是隨機變量為確定性值，不是隨機變量)( XS（2） 為確定性實函為確定性實函數(shù)。數(shù)。注意：注意：10兩個結(jié)論：兩個結(jié)論： )(2tXEAQ1 .21lim.TAT表示時表示時間平均間平均 若平穩(wěn)若平穩(wěn))0()()(22XRtXEtXEAQ dSQX)(21211例例1 1：設(shè)隨機信號：設(shè)隨機信號 ，其中，其中 皆是實常數(shù)，皆是

5、實常數(shù)， 是服從是服從 上均勻分布的隨機變量，求隨機信號上均勻分布的隨機變量，求隨機信號 的平均功率。的平均功率。 )cos()(0tatX0和a），（20)(tX)(cos)(0222taEtXE)22cos(1 202taEdtaa)22cos(2220202220022)22sin(22taa解：解：taa0222sin2不是寬平穩(wěn)的不是寬平穩(wěn)的)(tX12)(2tXEAQ2)2sin2(212022limadttaaTTTT13功率譜密度：功率譜密度： 描述了隨機信號描述了隨機信號X(t)X(t)的的 功率在各個不同頻率上的分布功率在各個不同頻率上的分布 稱為隨機信號稱為隨機信號X(t

6、)X(t)的功率譜密度。的功率譜密度。 )( XS)( XS對對 在在X(t)X(t)的整個頻率范圍內(nèi)的整個頻率范圍內(nèi)積分，便可得到積分，便可得到X(t)X(t)的功率。的功率。 )( XS對于平穩(wěn)隨機信號，有：對于平穩(wěn)隨機信號，有： dStXEX)(21)(214三、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系三、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 確定信號：確定信號：)()(jXtx隨機信號：平穩(wěn)隨機信號的自相關(guān)函數(shù)隨機信號：平穩(wěn)隨機信號的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。功率譜密度。 1. 1. 維納維納辛欽定理辛欽定理 若隨機信號若隨機信號X(t)X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)R(R() )以

7、及以及 R(R() )絕對可積，則自相關(guān)函絕對可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對付氏變換，即：數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對付氏變換，即：15deRSjXX)()(deSRjXX)(21)(2. 2. 證明：證明：TTXESXTX2),(lim)(2 ),(),(21lim* TXTXETXXT TT21lim)()(221121TTtjTTtjdtetXdtetXE TTTTttjTdtdtetXtXET21)(2112)()(21lim TTTTttjXTdtdtettRT21)(1212)(21lim我們允許自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度中存在我們允許自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度中存在函數(shù)函數(shù)16設(shè)設(shè)12

8、tt 12ttu 則則22ut 21 ut所以：所以：2121212121),(),(21 uttJ t1t2-TT2T2Tu-2T Tu2Tu2 Tu2Tu217則則dueRdTSjXTTTTX )(2121lim)(2022 )(210222dueRdjXTTT )(2121lim2222dueRdTjXTTTTTdeRTTjXTTT)()2(21lim22deRTjXTTT)()21 (lim22deRjX)(deRTjXTTT)(2lim22)(XR ( (注意注意 絕對可積，第二項為絕對可積，第二項為0)0) deRjX)(18推論：對于一般的隨機信號推論：對于一般的隨機信號X(t)

9、X(t)，有：，有： dettRASjXX),()(deSttRAjXX)(21),(平均功率為：平均功率為： dSdttXETXTTT )(21)(21lim2 利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納數(shù)的性質(zhì)，又可將維納辛欽定理表示成：辛欽定理表示成： dRSXXcos)(2)(dSRXXcos)(1)(193 3單邊功率譜單邊功率譜 由于實平穩(wěn)過程由于實平穩(wěn)過程x(t)x(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) 是實偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實偶函是實偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實偶函數(shù)。有時我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的數(shù)。有時我們經(jīng)常利用只有正頻率部

10、分的單邊功率譜。單邊功率譜。 )( XR000)(2)(XXSG20 tX XR XS taX XRa2 XSa2 dttdX XS2 22dRdX nndttXd XnS2 nXnndRd2221 tjetX0 tjXeR00XSX(t)X(t)變換的功率譜密度變換的功率譜密度21例例2 2：平穩(wěn)隨機信號的自相關(guān)函數(shù)為：平穩(wěn)隨機信號的自相關(guān)函數(shù)為 ，A0A0， ，求過程的功率譜密度。，求過程的功率譜密度。 AeRX)(0 解：應(yīng)將積分按解：應(yīng)將積分按 和和 分成兩部分進行分成兩部分進行 deAedeAeSjjX00)(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A22例例3 3：設(shè)：設(shè)

11、為隨機相位隨機信號為隨機相位隨機信號其中，其中， 為實常數(shù)為實常數(shù) 為隨機相位，在為隨機相位，在 均勻分布?？梢酝茖?dǎo)出這個過程為廣義平穩(wěn)均勻分布?？梢酝茖?dǎo)出這個過程為廣義平穩(wěn)隨機信號，自相關(guān)函數(shù)為隨機信號，自相關(guān)函數(shù)為 求求 的功率譜密度的功率譜密度 。)(tX)cos()(0tAtX0,A)2 , 0()cos(2)(02ARX)(XS)(tX23解：注意此時解：注意此時 不是有限不是有限值，即不可積，因此值，即不可積，因此 的付氏變換的付氏變換不存在，需要引入不存在，需要引入 函數(shù)。函數(shù)。 dRX )()( XR deAdeRSiiXX)cos(2)()(02deeeAjjj22002)2

12、)(cos(000jjeedeeeAjjj）（0042)()(2002A)(2(00je24例例4 4：設(shè)隨機信號：設(shè)隨機信號 ，其中，其中 皆為常數(shù)，皆為常數(shù)， 為具有功率譜為具有功率譜密度密度 的平穩(wěn)隨機信號。求過程的平穩(wěn)隨機信號。求過程 的功率譜密度。的功率譜密度。 ttaXtY0sin)()(0,a)(tX)(XS)(tY解：解： )()(),(tYtYEttRY)(sin)(sin)(00ttaXttaXE)2cos()cos(20002ttRaXdettRASjYY),()(deRajX02cos)(2)()(4002XXSSa25例例5 5：設(shè)隨機信號：設(shè)隨機信號 ，其中其中 是

13、概率密度為是概率密度為 的隨機的隨機變量，變量，a a和和為實常數(shù)，求為實常數(shù)，求X(t)X(t)的功率譜密度的功率譜密度。 tjaetX)( f tXtXERX*)(jeEa2 defaj2 deSRjXX21)( faSX2226四、平穩(wěn)隨機信號功率譜密度的性質(zhì)四、平穩(wěn)隨機信號功率譜密度的性質(zhì) 1. 1. 功率譜密度為非負的功率譜密度為非負的, ,即即 0)(XS證明：證明：TTXESXTX2),(lim)(20),(2TXX0)(XS2. 2. 功率譜密度是功率譜密度是 的實函數(shù)的實函數(shù) 273.3. 對于實隨機信號來說，功率譜密度是對于實隨機信號來說，功率譜密度是 的偶函數(shù)的偶函數(shù)，即

14、即)()(XXSS證明：證明：)(txT是實函數(shù)是實函數(shù)*)(),(dtetxTXtjTXdtetxtjT)(dtetxtjT)()(),(TXX),(),(),(*2TXTXTXXXX),(),(TXTXXX),(),(*TXTXXX2),(TXXTTXESXTX2),(lim)(2)()(XXSS又又284.4. 功率譜密度可積，即功率譜密度可積，即 dSX)(證明：對于平穩(wěn)隨機信號，有：證明：對于平穩(wěn)隨機信號，有： dStXEX)(21)(2平穩(wěn)隨機信號的均方值有限平穩(wěn)隨機信號的均方值有限dSX)(292.2 2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機信號的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機信號的互譜密度一、互譜密度一、互

15、譜密度 考慮兩個平穩(wěn)實隨機信號考慮兩個平穩(wěn)實隨機信號X(t)X(t)、Y(t)Y(t)， 它們的樣本函數(shù)分別為它們的樣本函數(shù)分別為 和和 ，定，定義兩個截取函數(shù)義兩個截取函數(shù) 、 為：為：)(tx)(ty txT tyTTtTttxtxT0)()(TtTttytyT0)()(30 因為因為 、 都滿足絕對都滿足絕對可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在?？煞e的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時間范圍在時間范圍 (-T(-T，T)T)內(nèi)，兩個隨機信號的內(nèi)，兩個隨機信號的互功率互功率 為為: :（注意（注意 、 為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時間為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時間平均）平均

16、） txT tyT)(TQXY txT tyTTTTTXYdttytxTTQ)()(21)(TTdttytxT)()(21 由于由于 、 的傅里葉變換存的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對它們也適用，即在，故帕塞瓦定理對它們也適用，即: : txT tyT31dttytxTT)()(*dTYTXYX),(),(21*dttytxTT)()(TTXYdttytxTTQ)()(21)(dTTYTXYX2),(),(21* 注意到上式中，注意到上式中， 和和 是任一樣本是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機性，取數(shù)學(xué)期望，并令函數(shù)，因此具有隨機性，取數(shù)學(xué)期望，并令 得：得： )(tx)(ty T32)()(21l

17、im)(limdttytxTEQTQETTTXYXYT ),(21limdtttRTTTXYT*( ,)( ,)1lim22XYTE XTY TdT 定義互功率譜密度為：定義互功率譜密度為：*1( )lim( ,)( ,)2XYXYTSE XTY TTdSQXYXY)(21則則33同理，有：同理，有：*1( )lim( ,)( ,)2YXYXTSE Y TXTTdSQYXYX)(21YXXYQQ且且34二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系若若X(t)X(t)、Y(t)Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有)()(XYXYSRdeRSjXYXY)()(d

18、eSRjXYXY)(21)(即即對于兩個聯(lián)合平穩(wěn)對于兩個聯(lián)合平穩(wěn)( (至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn)至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn)) )的的實隨機信號，它們的互譜密度與其互相關(guān)函實隨機信號，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。數(shù)互為傅里葉變換。35三、互譜密度的性質(zhì)三、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1：)()()(* YXYXXYSSS 證明：證明： deRSjXYXY)()(deRjYX)( （令（令 ） deRjYX)()(*YXSdeRjYX)()()(YXS36性質(zhì)性質(zhì)2 2： )(Re)(ReXYXYSS)(Re)(ReYXYXSS證明：證明： deRSjXYXY)()(djRXY)sin()cos(d

19、RSXYXYcos)()(RedRXYcos)()(ReXYS同理可證同理可證)(Re)(ReYXYXSS37性質(zhì)性質(zhì)3 3： )(Im)(ImXYXYSS)(Im)(ImYXYXSS證明：類似性質(zhì)證明：類似性質(zhì)2 2證明。證明。性質(zhì)性質(zhì)4 4： 若若X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)正交，則有正交，則有 0)(YXS0)(XYS證明：若證明：若X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)正交，則正交，則 0),(),(2121ttRttRYXXY所以所以0)()(YXXYSS38性質(zhì)性質(zhì)5 5： 若若X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)不相關(guān)，不相關(guān)，X(t)X(t)、Y(t)Y(t)分別具有常數(shù)

20、均值分別具有常數(shù)均值 和和 ，則，則 XmYm)(2)()(YXYXXYmmSS證明：證明： 因為因為X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)不相關(guān)，所以不相關(guān)，所以YXmmtYtXE )()(21 deRSjXYXY )()(demmjYX)(2YXmm)(21 （ ）39例例6 6：設(shè)兩個隨機信號：設(shè)兩個隨機信號X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)，其互相關(guān)函數(shù) 為為: : )( XYR0009)(3eRXY求互譜密度求互譜密度 ， 。)( XYS)( YXS wSwSwSYXXY2性質(zhì)性質(zhì)6 6： 40解：解： deRSjXYXY)()(deej39dej )3

21、(9j39jSSXYYX39)()(*412.3 2.3 離散時間隨機信號的功率譜密度離散時間隨機信號的功率譜密度一、離散時間隨機信號的功率譜密度一、離散時間隨機信號的功率譜密度1.1.平穩(wěn)離散時間隨機信號的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)離散時間隨機信號的相關(guān)函數(shù) 設(shè)設(shè)X(n)X(n)為廣義平穩(wěn)離散時間隨機信號，為廣義平穩(wěn)離散時間隨機信號，或簡稱為廣義平穩(wěn)隨機序列，具有零均值或簡稱為廣義平穩(wěn)隨機序列，具有零均值，其自相關(guān)函數(shù)為，其自相關(guān)函數(shù)為: :)()()(mTnTXnTXEmRX簡寫為：簡寫為： )()()(mnXnXEmRX422. 2. 平穩(wěn)離散時間隨機信號的功率譜密度平穩(wěn)離散時間隨機信號的功率譜密度

22、當(dāng)當(dāng) 滿足條件式滿足條件式 時，我們定義時，我們定義 的功率譜密度為的功率譜密度為 的離散傅里葉變換，并記為的離散傅里葉變換，并記為 )(mRXmXmR)()(nX)(mRX)(XS( )( )jm TXXmSRm e 是頻率為是頻率為 的周期性連續(xù)函數(shù)，的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為其周期為 )(XS qT 22記記為為 奈奎斯奈奎斯特頻率特頻率 43因為因為 為周期函數(shù)，周期為為周期函數(shù)，周期為 ， )( XSq 2deSmRjmXqXqq)(21)(0m在在 時時dSRnXEqqXqX)(21)0()(244 在離散時間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)在離散時間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離散時間隨

23、機信號的功率譜密度定義為離散時間隨機信號的功率譜密度定義為 的的z z變換，并記為變換，并記為 ，即，即 )(mRX zSX mmXXzmRzS)(式中式中jez dzzzSjmRmDXX1)(21)(式中，式中，D D為在為在 的收斂域內(nèi)環(huán)繞的收斂域內(nèi)環(huán)繞z z平面原平面原點反時針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。點反時針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。 zSX 性質(zhì)性質(zhì) zSzSXX1)(45例例7 7：設(shè)：設(shè) ，求，求 和和1,)(aamRmX)(zSX)(XS解：解：mmmmmmXzazazS01)(azzazaz1)1)()1 (2azazza)1)(1 ()1 (12azaza)()(111zzaaaa將將

24、z= z= 代人上式，即可求得代人上式，即可求得jecos2)(11aaaaSX46其中，其中，T為采樣周期，為采樣周期， 為在為在 時對時對 的采樣的采樣。nccntntnTsts)sin()()()(nTsnTt )(ts),(cccf2/1)(ts)(ts二二 確定性信號的采樣定理確定性信號的采樣定理47連續(xù)時間連續(xù)時間確知信號確知信號離散時間離散時間確知信號確知信號)(tS)(nS采樣采樣香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理nccntntnTsts)sin()()()()(nTSnSTc48連續(xù)時間平穩(wěn)隨機信號離散時間平穩(wěn)隨機信號自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù))(tX)(nX)(cR)(

25、mR)(S)(cSFTDFT49三三 平穩(wěn)隨機信號的采樣定理平穩(wěn)隨機信號的采樣定理連續(xù)時間平連續(xù)時間平穩(wěn)隨機信號穩(wěn)隨機信號離散時間平離散時間平穩(wěn)隨機信號穩(wěn)隨機信號)(tX)(nX 采樣采樣50其它0)()(cXXSScf21T )(tX)(tXNNnccNntntnTXmi ltX)sin()(. .)(51nccXXnnnTRR)sin()()(nccXXnnanTRaR)sin()()(nccXXnanaanTRR)()(sin()() (0)()()(limtXtXtXEN(4)()()(limtXtXtXEN(5)02)()(limtXtXEN=0NNnccNntntnTXmi ltX

26、)sin()(. .)(證明思路：證明思路：52NNnccNntntnTXmi ltX)sin()(. .)(連續(xù)時間平連續(xù)時間平穩(wěn)隨機信號穩(wěn)隨機信號離散時間平離散時間平穩(wěn)隨機信號穩(wěn)隨機信號)(tX)(nX采樣采樣)(nX)(nTX= =自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù))(cR)(mR)(S)(cSFTFTDFTDFT 53三、三、 功率譜密度的采樣定理功率譜密度的采樣定理 若平穩(wěn)連續(xù)時間實隨機信號若平穩(wěn)連續(xù)時間實隨機信號 ，其自相關(guān)，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為函數(shù)和功率譜密度分別記為 和和 ，對，對 采樣后所得離散時間隨機信號采樣后所得離

27、散時間隨機信號 ， 的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為 和和 ，則有，則有)(tX)(cR)(cS)(tX)()(nTXnX)(nX)(mR)(S )()(mTRmRc )2(1)(TnSTSnc 54證明: (1) 根據(jù)定義)(mR=)()(mnXnXE=)()(TmnXnTXE=)(mTRc由)()(mTRmRc可見，)(mR，即樣可得)()(mTRmRc=)()(PRcnnTP)()()(S)(cSkTkT)2(2=21kcTkST)2(1(2)(cR進行等間隔的采對55)()(mTRmRc連續(xù)時間平穩(wěn)隨機信號離散時間平穩(wěn)隨機信號)(tX)(nXNNnccN

28、ntntnTXmi ltX)sin()(. .)(采樣)()(nTXnX自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù))(cR)(mR)(S)(cSF TDFT)2(1)(qncnSTSTq562.4 2.4 白噪聲白噪聲一、理想白噪聲一、理想白噪聲定義：若定義：若N(t)N(t)為一個具有零均值的平穩(wěn)隨機為一個具有零均值的平穩(wěn)隨機信號，其功率譜密度均勻分布在信號，其功率譜密度均勻分布在 的整個頻率區(qū)間，即的整個頻率區(qū)間，即 ),(021)(NSN其中其中 為一正實常數(shù)，則稱為一正實常數(shù)，則稱N(t)N(t)為白噪聲為白噪聲過程或簡稱為白噪聲。過程或簡稱為白噪聲。0N57自相關(guān)函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)為 deSRjNN)(21)(deNj40)(210N0001)0()()(NNNRRr自相關(guān)系數(shù)為自相關(guān)系數(shù)為 58總結(jié)：總結(jié)：（1 1）白噪聲只是一種理想化的模型，是不存在的。）白噪聲只是一種理想化的模型，是不存在的。（2 2）白噪聲的均方值為無限大）白噪聲的均方值為無限大 )0(2)0()(02 NRtXEN而物理上