優(yōu)化問題的MATLAB求解

1、優(yōu)化問題的優(yōu)化問題的MATLAB求解求解一、一、matlabmatlab優(yōu)化工具箱中常用的功能函數(shù)優(yōu)化工具箱中常用的功能函數(shù)l求解求解線性規(guī)劃線性規(guī)劃問題的主要函數(shù)是問題的主要函數(shù)是linprog。l求解求解二次規(guī)劃二次規(guī)劃問題的主要函數(shù)是問題的主要函數(shù)是quadprog。l求解求解無約束非線性規(guī)劃無約束非線性規(guī)劃問題的主要函數(shù)是問題的主要函數(shù)是fminbnd、fminunc和和fminsearch。l求解求解約束非線性規(guī)劃約束非線性規(guī)劃問題的主要函數(shù)是問題的主要函數(shù)是fgoalattain和和fminimax。二、一般步驟二、一般步驟 建立目標(biāo)函數(shù)文件 針對實(shí)際問題建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型不等

2、式約束條件表示成g(X)0的形式 建立調(diào)用優(yōu)化工具函數(shù)的命令文件文件內(nèi)容：文件內(nèi)容：必須的輸入?yún)?shù)、描述標(biāo)函數(shù)表達(dá)式等存儲：存儲：以自定義的目標(biāo)函數(shù)文件名存儲在文件夾中 建立約束函數(shù)文件文件內(nèi)容：文件內(nèi)容：必須的輸入?yún)?shù)、約束函數(shù)表達(dá)式等存儲：存儲：以自定義的約束函數(shù)文件名存儲在文件夾中將優(yōu)化設(shè)計(jì)的命令文件復(fù)制到MATLAB命令窗口中進(jìn)行運(yùn)算求解分析優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，選擇適用的優(yōu)化工具函數(shù)文件內(nèi)容：文件內(nèi)容：初始點(diǎn)，設(shè)計(jì)變量的邊界約束條件， 運(yùn)算結(jié)果輸出等內(nèi)容存儲：存儲：以自定義的命令文件名存儲于文件夾中。線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題三、線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型三、線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型1.主要應(yīng)用對象：主要

3、應(yīng)用對象：（1）在有限的資源條件下完成最多的任務(wù)；（2）如何統(tǒng)籌任務(wù)以使用最少資源。2.數(shù)學(xué)模型形式：數(shù)學(xué)模型形式： min f TX s.t. AXb （線性線性不等式約束條件） AeqX=beq （線性線性等式約束條件） lb X ub （邊界約束條件）約束條件約束條件決策變量決策變量目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)非負(fù)數(shù)線性3.MATLAB中函數(shù)調(diào)用格式中函數(shù)調(diào)用格式 xopt, fopt=linprog( f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)最優(yōu)解最優(yōu)解最優(yōu)值最優(yōu)值目標(biāo)函目標(biāo)函數(shù)各維數(shù)各維變量系變量系數(shù)向量數(shù)向量初始點(diǎn)初始點(diǎn)可選項(xiàng)可選項(xiàng)四、線性規(guī)劃例題四、線性

4、規(guī)劃例題 生產(chǎn)規(guī)劃問題生產(chǎn)規(guī)劃問題：某廠利用a,b,c三種原料生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每種產(chǎn)品在消耗原料方面的各項(xiàng)指標(biāo)和單位產(chǎn)品的利潤，以及可利用的數(shù)量，試制定適當(dāng)?shù)纳a(chǎn)規(guī)劃使得該工廠的總利潤最大。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品所消耗的原料現(xiàn)有原料數(shù)量（千克）ABCa342600b212400c132800單位產(chǎn)品利潤（萬元）243合計(jì)1800千克x1x2x32x14x23x33x14x22x32x1x1x23x22x32x3+ + + + + + + + +3.確定約束條件：確定約束條件：X=x1,x2,x3T4.編制線性規(guī)劃計(jì)算的編制線性規(guī)劃計(jì)算的M文件文件f= 2, 4, 3A=3,4,2;2,

5、1,2;1,3,2;b=600;400;800;Aeq=;beq=;lb=zeros(3,1);xopt,fopt=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)四、線性規(guī)劃例題四、線性規(guī)劃例題解：解： 1.確定決策變量：確定決策變量：max2x1+4x2+3x33x1+4x2+2x36002x1+x2+2x3400 x1+3x2+2x3800設(shè)生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品的數(shù)量分別是x1,x2,x3，決策變量： 根據(jù)三種單位產(chǎn)品的利潤情況，按照實(shí)現(xiàn)總的利潤最大化，建立關(guān)于決策變量的函數(shù)：2.建立目標(biāo)函數(shù)：建立目標(biāo)函數(shù)：根據(jù)三種資料數(shù)量限制，建立三個(gè)線性不等式約束條件5.M文件運(yùn)行結(jié)果：文件運(yùn)行

6、結(jié)果：Optimization terminated successfully.xopt =0.0000 66.6667 166.6667fopt=-766.6667x1,x2,x30 xopt, fopt=linprog( f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)- - - 二次規(guī)劃問題二次規(guī)劃問題1.研究意義：研究意義：（1）最簡單的非線性規(guī)劃問題；（2）求解方法比較成熟。2.數(shù)學(xué)模型形式：數(shù)學(xué)模型形式： s.t. AXb （線性線性不等式約束條件） AeqX=beq （線性線性等式約束條件） lb X ub （邊界約束條件）XCHXX21)X(fmi

7、nTT五、二次規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型五、二次規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型約束條件約束條件決策變量決策變量目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)二次函數(shù)3.MATLAB中函數(shù)調(diào)用格式中函數(shù)調(diào)用格式 xopt, fopt=quadprog(H,C, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)最優(yōu)解最優(yōu)解最優(yōu)值最優(yōu)值目標(biāo)函目標(biāo)函數(shù)的海數(shù)的海賽矩陣賽矩陣初始點(diǎn)初始點(diǎn)可選項(xiàng)可選項(xiàng)目標(biāo)函目標(biāo)函數(shù)的一數(shù)的一次項(xiàng)系次項(xiàng)系數(shù)向量數(shù)向量 結(jié)果xopt=2.571,1.143,0.000fopt=-16.4898六、二次規(guī)劃問題例題六、二次規(guī)劃問題例題求解約束優(yōu)化問題321232221xxx2xx2x2)X( f 6x2x3

8、x)X(g321 4xxx2)X(h321 0 x,x,x321 s.t.XCHXX21)X( fTT 解：(1)將目標(biāo)函數(shù)寫成二次函數(shù)的形式，其中： 321xxxX 200042024H 100Cxopt, fopt=quadprog( H, C, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)(2)編寫求解二次規(guī)劃的M文件：H=4,-2,0;-2,4,0;0,0,2;C=0,0,1;A=1,3,2;b=6;Aeq=2,-1,1;beq=4;lb=zeros(3,1);xopt,fopt=quadprig(H,C,A,b,Aeq,beq,lb)無約束非線性規(guī)劃問題無

9、約束非線性規(guī)劃問題七、無約束非線性規(guī)劃問題的函數(shù)七、無約束非線性規(guī)劃問題的函數(shù)fminbnd要求目標(biāo)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)要求目標(biāo)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)只求解單變量問題只求解單變量問題fminunc可求解單變量和多變量問題可求解單變量和多變量問題適用于簡單優(yōu)化問題適用于簡單優(yōu)化問題可求解復(fù)雜優(yōu)化問題可求解復(fù)雜優(yōu)化問題fminsearch1.使用格式：使用格式： xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2,options)八、函數(shù)八、函數(shù)fminbnd設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)迭代搜索區(qū)間迭代搜索區(qū)間目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)

10、解2.例題：例題： 求解一維無約束優(yōu)化問題f(x)=(x3+cosx+xlogx/ex) 在區(qū)間0,1中的極小值。解解：(1)編制求解優(yōu)化問題的編制求解優(yōu)化問題的M文件。文件。 %求解一維優(yōu)化問題 fun=inline(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x),x);%目標(biāo)函數(shù) x1=0;x2=1;%搜索區(qū)間 xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2) (2)編制一維函數(shù)圖形的編制一維函數(shù)圖形的M文件。文件。 ezplot(fun,0,10) title(x3+cosx+xlogx)/ex) grid on八、函數(shù)八、函數(shù)fminbnd運(yùn)行結(jié)果：xopt = 0.522

11、3fopt = 0.39741.使用格式：使用格式： xopt,fopt=fminsearch(fun,x0,options)九、函數(shù)九、函數(shù)fminsearch設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)初始點(diǎn)初始點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解2.例題：例題：求解二維無約束優(yōu)化問題 f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2 +6)的極小值。解解：(1)編制求解二維無約束優(yōu)化問題的編制求解二維無約束優(yōu)化問題的M文件。文件。 %求解二維優(yōu)化問題求解二維優(yōu)化問題 fun=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x

12、(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6; x0=0,0; %初始點(diǎn)初始點(diǎn) xopt,fopt=fminsearch(fun,x0) (2)討論。討論。 將目標(biāo)函數(shù)寫成函數(shù)文件的形式：將目標(biāo)函數(shù)寫成函數(shù)文件的形式： %目標(biāo)函數(shù)文件目標(biāo)函數(shù)文件search.m function f=search(x) f=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6; 則命令文件變?yōu)椋簞t命令文件變?yōu)椋?%命令文件名稱為命令文件名稱為eg9.m x0=0,0; %初始點(diǎn)初始點(diǎn) xopt,fopt=fminsearch(search,x0)九、函數(shù)九、函

13、數(shù)fminsearch運(yùn)行結(jié)果：xopt = 1.0000 2.0000fopt = 4.0000 1.使用格式：使用格式： x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)十、函數(shù)十、函數(shù)fminunc設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)初始點(diǎn)初始點(diǎn)調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)返回算法的終止標(biāo)志返回算法的終止標(biāo)志返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函

14、數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解附加參數(shù)附加參數(shù)管道截面積：其中設(shè)計(jì)變量：十、函數(shù)十、函數(shù)fminunc2.例題：例題： 已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度c，高度h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊夾角為。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關(guān)系。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。解解：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型 管道截面周長 hcsinh2cs64516ctghchA2hctgh64516csinh2hctgh64516sminx1x221211xsinx2ctgxxx64516f(X)hxxX21目標(biāo)函數(shù)的文件目標(biāo)函數(shù)的文件(sc_

15、wysyh.m)：function f=sc_wysyh(x) %定義目標(biāo)函數(shù)調(diào)用格式定義目標(biāo)函數(shù)調(diào)用格式a=64516;hd=pi/180;f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd); %定義目標(biāo)函數(shù)定義目標(biāo)函數(shù)十、函數(shù)十、函數(shù)fminunc2.例題：例題：解解：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型 (2)編寫求解無約束非線性優(yōu)化問題的編寫求解無約束非線性優(yōu)化問題的M文件文件21211xsinx2ctgxxx64516)X( f x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminbnd(fun,x0,o

16、ptions,P1,P2)求最優(yōu)化解時(shí)的命令程序求最優(yōu)化解時(shí)的命令程序：x0=25,45; %初始點(diǎn)初始點(diǎn)x,Fmin=fminunc(sc_wysyh,x0); %求優(yōu)語句求優(yōu)語句fprintf(1,截面高度截面高度h x(1)=%3.4fmmn,x(1)fprintf(1,斜邊夾角斜邊夾角 x(2)=%3.4f度度n,x(2)fprintf(1,截面周長截面周長s f=%3.4fmmn,Fmin)計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果截面高度截面高度h x(1)=192.9958mm斜邊夾角斜邊夾角 x(2)=60.0005度度截面周長截面周長s f=668.5656mmxx1=linspace(100,300

17、,25);xx2=linspace(30,120,25);x1,x2=meshgrid(xx1,xx2);a=64516;hd=pi/180;f=a./x1-x1./tan(x2*hd)+2*x1./sin(x2*hd);subplot(1,2,1);h=contour(x1,x2,f);clabel(h);axis(100,300,30,120)xlabel(高度高度 h/mm)ylabel(傾斜角傾斜角theta/(。)十、函數(shù)十、函數(shù)fminunc2.例題：例題：解解：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型 (2)編寫求解無約束非線性優(yōu)化問題的編寫求解無約束非線性優(yōu)化問題的M文件

18、文件 (3)編寫繪制一維函數(shù)圖形的編寫繪制一維函數(shù)圖形的M文件文件title(目標(biāo)函數(shù)等值線目標(biāo)函數(shù)等值線)subplot(1,2,2);meshc(x1,x2,f);axis(100,300,30,120,600,1200)title(目標(biāo)函數(shù)網(wǎng)格曲面圖目標(biāo)函數(shù)網(wǎng)格曲面圖)控制參數(shù)控制參數(shù)options序號功能默認(rèn)值及其含義說明1輸出形式0，無中間結(jié)果輸出Options(1)=1,按照表格輸出結(jié)果Options(1)=-1,隱藏警告信息2解x的精度1e-4Options(2)設(shè)置x解的終止條件3函數(shù)f的精度1e-4Options(3)設(shè)置函數(shù)f的終止條件4約束g的精度1e-6Options(

19、4)設(shè)置約束g的終止條件5選擇主要算法0Options(5)選擇主要優(yōu)化算法6搜索方向算法0fmin()函數(shù)為無約束優(yōu)化搜索方向提供3種算法：Options(6)=0,擬牛頓法BFGS公式Options(6)=1,擬牛頓法DFP公式Options(6)=2,梯度法7步長一維搜索0fmin()函數(shù)為無約束優(yōu)化的步長一維搜索提供2種算法：Options(7)=0,二次和三次混合插值法Options(7)=1,三次多項(xiàng)式插值法123控制參數(shù)控制參數(shù)options序號功能默認(rèn)值及其含義說明8函數(shù)值輸出Options(8)輸出最終迭代函數(shù)值9梯度檢驗(yàn)0，不檢驗(yàn)Options(9)比較梯度10函數(shù)計(jì)算次數(shù)

20、Options(10)輸出函數(shù)計(jì)算次數(shù)11梯度計(jì)算次數(shù)Options(11)輸出函數(shù)梯度計(jì)算次數(shù)12約束計(jì)算次數(shù)Options(12)輸出約束計(jì)算次數(shù)13等式約束個(gè)數(shù)0，等式約束為0 Options(13)輸入等式約束個(gè)數(shù)14最大迭代次數(shù)100n（n為變量維數(shù)）Options(14)輸入最大迭代次數(shù)15目標(biāo)個(gè)數(shù)0Options(15)輸入目標(biāo)個(gè)數(shù)16差分步長最小值1e-8Options(16)步長的下限或變量的最小梯度值17差分步長最大值0.1Options(17)步長的上限或變量的最大梯度值18步長Options(18)步長參數(shù)，第1次迭代時(shí)置1123 約束非線性規(guī)劃問題1. 數(shù)學(xué)模型形式：

21、數(shù)學(xué)模型形式： min f （X） s.t. AXb （線性線性不等式約束）不等式約束） AeqX=beq （線性線性等式約束）等式約束） C(X)0 （非線性非線性不等式約束條件）不等式約束條件） Ceq(X)=0（非線性非線性等式約束）等式約束） Lb X Ub （邊界約束條件）（邊界約束條件）約束條件約束條件 2.使用格式：使用格式： x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2)設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)初始點(diǎn)初始點(diǎn)調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名調(diào)用目標(biāo)函

22、數(shù)的函數(shù)文件名目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)返回算法的終止標(biāo)志返回算法的終止標(biāo)志返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解附加參數(shù)附加參數(shù)非線性約束條件的函數(shù)名非線性約束條件的函數(shù)名設(shè)計(jì)變量的下界和上界設(shè)計(jì)變量的下界和上界線性等式約束的常數(shù)向量線性等式約束的常數(shù)向量線性等式約束的系數(shù)矩陣線性等式約束的系數(shù)矩陣線性不等式約束的系數(shù)矩陣線性不等式約束的系數(shù)矩陣線性不等式約束的常數(shù)向量線性不等式約束的常數(shù)向量無定義時(shí)以空矩陣無定義時(shí)以空矩

23、陣符號符號“ ”代替代替控制參數(shù)控制參數(shù)options序號功能默認(rèn)值及其含義說明1輸出形式0，無中間結(jié)果輸出Options(1)=1,按照表格輸出結(jié)果Options(1)=-1,隱藏警告信息2解x的精度1e-4Options(2)設(shè)置x解的終止條件3函數(shù)f的精度1e-4Options(3)設(shè)置函數(shù)f的終止條件4約束g的精度1e-6Options(4)設(shè)置約束g的終止條件5選擇主要算法0Options(5)選擇主要優(yōu)化算法6搜索方向算法0fmin()函數(shù)為無約束優(yōu)化搜索方向提供3種算法：Options(6)=0,擬牛頓法BFGS公式Options(6)=1,擬牛頓法DFP公式Options(6)

24、=2,梯度法7步長一維搜索0fmin()函數(shù)為無約束優(yōu)化的步長一維搜索提供2種算法：Options(7)=0,二次和三次混合插值法Options(7)=1,三次多項(xiàng)式插值法控制參數(shù)控制參數(shù)options序號功能默認(rèn)值及其含義說明8函數(shù)值輸出Options(8)輸出最終迭代函數(shù)值9梯度檢驗(yàn)0，不檢驗(yàn)Options(9)比較梯度10函數(shù)計(jì)算次數(shù)Options(10)輸出函數(shù)計(jì)算次數(shù)11梯度計(jì)算次數(shù)Options(11)輸出函數(shù)梯度計(jì)算次數(shù)12約束計(jì)算次數(shù)Options(12)輸出約束計(jì)算次數(shù)13等式約束個(gè)數(shù)0，等式約束為0 Options(13)輸入等式約束個(gè)數(shù)14最大迭代次數(shù)100n（n為變量維

25、數(shù)）Options(14)輸入最大迭代次數(shù)15目標(biāo)個(gè)數(shù)0Options(15)輸入目標(biāo)個(gè)數(shù)16差分步長最小值1e-8Options(16)步長的下限或變量的最小梯度值17差分步長最大值0.1Options(17)步長的上限或變量的最大梯度值18步長Options(18)步長參數(shù)，第1次迭代時(shí)置128 例 100 , 50 07 025 . .2min 21222122221121xxxxXgxxXgtsxxXf1)先建立先建立M-文件文件fun.m定義目標(biāo)函數(shù)定義目標(biāo)函數(shù): function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);2)再建立再建立M文件文件mycon2.m定義非線性

26、約束：定義非線性約束： function g,ceq=mycon2(x) g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7; ceq=;293) 主程序主程序fxx.m為為: x0=3;2.5; VLB=0 0;VUB=5 10; x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2)304) 運(yùn)算結(jié)果為運(yùn)算結(jié)果為: x = 4.0000 3.0000fval =-11.0000exitflag = 1output = iterations: 4 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: 1x44 char firstorderopt: cgiterations: 311)先建立先建立M文件文件 fun4.m,定義目標(biāo)函數(shù)定義目標(biāo)函數(shù): function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);)()(min12424221222