數(shù)學(xué)證明方法

1、數(shù)學(xué)證明方法 摘要：數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一部分，數(shù)學(xué)證明有核實(shí)作用，理解作用，發(fā)現(xiàn)作用和思維訓(xùn)練作用，數(shù)學(xué)證明常用的方法有綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等等。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)證明；意義；方法 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，它的應(yīng)用非常廣泛，是學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)學(xué)科。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就離不開數(shù)學(xué)證明，這是由數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)發(fā)展中所起的作用決定的。什么是數(shù)學(xué)證明呢？許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)證明是根據(jù)相應(yīng)的公理，法則等來說明結(jié)論是正確的一種活動。數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一部分，在不同的情境中，數(shù)學(xué)證明有不同方法。數(shù)學(xué)證明的方法（一）綜合法和分析法綜合法是從命題的條件出發(fā)，經(jīng)過

2、逐步的邏輯推理，最后達(dá)到要證的結(jié)論的方法。分析法則是從要證的結(jié)論出發(fā)，一步一步的搜索下去，最后達(dá)到命題的已知條件的方法。例1 求證=方法1： 左邊 =右邊所以得證。 方法2：右邊= = =左邊所以得證。 方法3：=tan=所以得證。 方法4：要證=只需要證即要證，顯然，這個命題成立，故得證。上述例題的四種解法中，前三種是用綜合法解的，而第四種解法是用分析法解的。在證明的過程中，我們用到了同角三角函數(shù)的關(guān)系，半角公式等等。所以，通過數(shù)學(xué)證明我們不僅理解了這道命題的正確性，還知道了為什么正確，同時還增進(jìn)了對同角三角函數(shù)的關(guān)系，半角公式等等的理解。從例1我們可以看出，綜合法的特點(diǎn)是從“已知”逐步推向

3、“未知”，其逐步推理，實(shí)際是要尋找它的必要條件。分析法的特點(diǎn)是從“需知”逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的充分條件。綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點(diǎn)。從尋求解題思路來看，綜合法是由已知的尋找未知的，即直接由條件證明結(jié)論。但是由條件容易導(dǎo)出許多其它的結(jié)論，因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的，即由結(jié)論慢慢推出所需要的條件，這樣比較容易解決問題。就表述證明的過程而論，綜合法的形式比較簡潔，條理清晰，分析法由于倒過來敘述，因而比較繁瑣，文辭冗長。這也就是說，分析法有利于思考解決問題，綜合法宜于表達(dá)問題。因此在解題時，可以把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，先以分析法為主，尋找解題思路，再用綜合

4、法有條理的表述證明過程。 (二)反證法通過證明論題的否定命題不真實(shí)，從而肯定論題真實(shí)性的方法叫做反證法。反證法的一般步驟如下：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即結(jié)論的否定命題成立。從否定的結(jié)論出發(fā)，逐層進(jìn)行推理，得出與公理或前述的定理，定義或題設(shè)條件等自相矛盾的結(jié)論，即說證明結(jié)論否定不成立。據(jù)排中律，最后肯定原命題成立。反證法有歸謬法與窮舉法兩種。在應(yīng)用反證法時如果與原命題結(jié)論相矛盾的方面只有一種可能情況，只要把這種情況推翻，就能肯定結(jié)論成立，這種反證法叫做歸謬法。如果與原命題相矛盾的方面不止一種情況，就必須把矛盾方面的所有可能的情況一一駁倒，才能肯定結(jié)論成立，這種反正法叫做窮舉法。例 2求證是無理數(shù)。

5、證明：假設(shè)是有理數(shù)，且為既約分?jǐn)?shù)，（p>0,q>0），則=2，由此可見p是偶數(shù)，記為2r。同理又可得q也是偶數(shù)，這與是既約分?jǐn)?shù)相矛盾。從而是無理數(shù)。在這道題目中，只有兩種可能，是無理數(shù)或者不是無理數(shù)。所以，命題的否定方面只有一種可能情況。因而，我們可以假即設(shè)其為有理數(shù)，然后推出矛盾證得該題。例 3在四邊形中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，已知OB=OD，。求證：四邊形是平行四邊形。證明：如圖，假設(shè)四邊形不是平行四邊形，則由于OB=OD，所以必有OAOC，即OA<OC或OA>OC。若OA<OC，在OC上取一點(diǎn)，使得O=OA，則必在OC上，連B，D。則有四邊形ABD為平

6、行四邊形。則又,，與矛盾。如果，同理可證，這也是不可能的。所以，四邊形是平行四邊形。在該題中，命題的否定方面有兩種可能OA<OC或OA>OC。所以，在利用反證法證明時要把這兩種否定情況都駁倒才可以。通過這道題的證明，可以增進(jìn)人們對平行四邊形特征的理解，使自己的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，縝密。反證法是一種重要的證明方法，不但在初等數(shù)學(xué)中有很多的應(yīng)用，就是在高等數(shù)學(xué)中也有著很重要的應(yīng)用，數(shù)學(xué)中的一些重要的結(jié)論，從最基本的性質(zhì)，定理到某些難度較大的世界難題，往往是用反證法得到的。在證明該題的過程中，用到了勾股定理，全等三角形的知識。所以，通過該題，也可以使人們加強(qiáng)對勾股定理以及三角形全等方面的知識的

7、理解。需要指出的是，同一法和反正法的適用范圍是不同的，同一法的局限性較大，通常只適用于符合同一原理的命題，反證法則普遍適用，對于能夠用同一法證明的命題一般都能用反證法證明。（三）數(shù)學(xué)歸納法我們采用記號表示一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，把它們都寫出來 ，事實(shí)上，如果滿足下面兩個條件：（1）成立（即當(dāng)時命題成立）（2）只要假設(shè)成立（歸納假設(shè)），由此就可得也成立（是自然數(shù)）就能保證這一大串（無數(shù)多個）命題，都成立。我們把此叫做數(shù)學(xué)歸納法原理。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，我們在證明時可以相應(yīng)的按照以下兩步進(jìn)行：（1） 驗(yàn)證是成立的。（2） 假設(shè)成立，證明出也成立。由（1），（2）可得對于任意的自然數(shù)，命題都成立。這是數(shù)學(xué)歸納法最基本的形式，通常稱作第一數(shù)學(xué)歸納法。例5 證明1+3+5+=證明：（1）當(dāng)=1時，左邊=1，右邊=1 等式成立。（2） 假設(shè)當(dāng)=（1）時等式成立，即1+3+5+= 則=+1時1+3+5+=1+3+5+2-1=1+3+5+ =+=所以，當(dāng)=+1時，等式也成立。由（1），（2）可知，對于任意自然數(shù)，等式都成立。所以得證。總之，一個數(shù)學(xué)命題往往可以有不同的思路來思考證明，思路不同，所產(chǎn)生的影響不同，證明方法