數(shù)學(xué)建模之電力的生產(chǎn)問題

1、電力生產(chǎn)最小成本摘要 本文是需解決發(fā)電機廠每天在不同時間段用電需求量不同的情況下，根據(jù)給定不同型號不同數(shù)量的發(fā)電機，合理分配各臺發(fā)電機在不同時間段的開啟和關(guān)閉以及運行時的輸出功率，既使得一天內(nèi)總發(fā)電成本最小，又使發(fā)電機組在一天中各個時段的總輸出功率達(dá)到用電需求的問題，為解決這個問題，采用了單目標(biāo)非線性規(guī)劃方法，建立了所求問題的最優(yōu)化模型，借助Lingo軟件對模型進(jìn)行求解，得到每日最小發(fā)電總成本，以此制定發(fā)電機組的啟停計劃。 問題一：為了使發(fā)電廠一天總的發(fā)電成本最低，同時還要考慮到不同時間段開機數(shù)量不同對啟動成本的相互影響，將七個時間段的成本統(tǒng)一考慮，其中，啟動成本與發(fā)電機開啟數(shù)量有關(guān)，要讓成本

2、少，應(yīng)在滿足相應(yīng)約束條件下盡量減少開機數(shù)量，盡量讓上一階段的發(fā)電機下一階段依然工作，邊際成本與開啟發(fā)電機臺數(shù)、輸出功率、最小功率、時長有關(guān)，固定成本與開啟發(fā)電機臺數(shù)、時長有關(guān)，選取相應(yīng)的約束條件對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行約束，從而給出優(yōu)化模型，運用非線性規(guī)劃的方法，利用Lingo編程求解，得到發(fā)電廠每天最小發(fā)電總成本為：1427179元。具體的發(fā)電機使用方案見附錄一中表一、表二。 問題二：根據(jù)題目的要求，在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升，在建模時將每臺發(fā)電機的實際輸出功率降至80%，所以可以按照問題一建立的模型，將其約束條件中每個時間段的實際輸出功率改為功率的

3、80%但同時要滿足用電量，同樣利用Lingo編程求解，得到發(fā)電廠每天最小發(fā)電總成本為：1444670元。具體的發(fā)電機使用方案見附錄一中表三、表四。在得到上述兩個問題的結(jié)果后，對結(jié)果的正確性性進(jìn)行檢驗，并且對所得結(jié)果進(jìn)行分析，給出自己的評價，并且對所建模型的合理性進(jìn)行判斷，以及對模型做了適當(dāng)?shù)耐茝V。 關(guān)鍵詞：單目標(biāo)非線性規(guī)劃 發(fā)電機的合理搭配 電力生產(chǎn) 最優(yōu)解歡迎下載1問題重述1.1問題背景 為了滿足人們的用電需求，有四種類型的發(fā)電機可供發(fā)電廠選擇，發(fā)電廠需將不同型號的發(fā)電機合理搭配，在使每天發(fā)電功率滿足人們用電需求的同時，又使發(fā)電廠的發(fā)電成本最小。在此將用戶每日的用電情況主要分為7個階段，每個

4、階段的用電需求各不相同，為了能夠高效低成本完成每天發(fā)電計劃，就必須使得每階段的供需平衡，否則就會影響電力系統(tǒng)的安全運行。為了能夠?qū)崿F(xiàn)這樣的平衡狀態(tài)，就需要電力部門對發(fā)電機組進(jìn)行合理的啟停計劃，在滿足每日用電需求的前提下，追求發(fā)電成本的最小化。 在不考慮其它成本因素的前提下，假定所有發(fā)電機組的發(fā)電成本都是由三部分組成：固定成本和邊際成本以及啟動成本。需要考慮的約束有：發(fā)電機組使用數(shù)量范圍約束和發(fā)電機組輸出功率范圍約束以及每日電力需求約束。 因此，在不同時段開啟哪些型號發(fā)電機，使發(fā)電廠每天的發(fā)電總成本最小是一個有現(xiàn)實意義的問題。 1.2已知條件 為滿足每日電力需求（單位為兆瓦（MW），可以選用四種

5、不同類型的發(fā)電機。每日電力需求如下表1。 表1：每日用電需求（兆瓦）時段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求11000330002500036000250003000018000每種發(fā)電機都有一個最大發(fā)電能力，當(dāng)接入電網(wǎng)時，其輸出功率不應(yīng)低于某一最小輸出功率。所有發(fā)電機都存在一個啟動成本，以及工作于最小功率狀態(tài)時的固定的每小時成本，并且如果功率高于最小功率，則超出部分的功率每兆瓦每小時還存在一個成本，即邊際成本。這些數(shù)據(jù)均列于表2中。表2：發(fā)電機情況可用數(shù)量最小輸出功率（MW）最大輸出功率（MW）固定成本（元/小時）每兆瓦邊際成本（元/小時）啟動成本型號

6、110800180022002.75000型號251000150018002.21600型號381200200038001.82400型號441800350048003.81200只有在每個時段開始時才允許啟動或關(guān)閉發(fā)電機。與啟動發(fā)電機不同，關(guān)閉發(fā)電機不需要付出任何代價。1.3需要解決的問題 問題（1） 在每個時段應(yīng)分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成本最小，最小總成本為多少？ 問題（2） 如果在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升。那么每個時段又應(yīng)分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成本最小，此時最小總成本又為多少？2模型假設(shè)與符號說明 2.1模型假設(shè) 假設(shè)

7、1：每臺發(fā)電機在同一時間段內(nèi)按照預(yù)訂功率穩(wěn)定運行，并且輸出功率恒定不變。 假設(shè)2：發(fā)電機在工作過程中不考慮其電能的損失，即實際輸出電能全部轉(zhuǎn)化為用戶需求。 假設(shè)3：在第一時間段開機前，所有的機組都處于關(guān)閉狀態(tài)。 假設(shè)4：發(fā)電機運行中不出現(xiàn)故障。 假設(shè)5：發(fā)電機一經(jīng)啟動便開始正常運行，即，忽略啟動延遲時間。2.2符號說明符號符號說明第i種型號在第j個時間段的輸出功率第i種型號在第j個時間段運行的臺數(shù)第i種型號發(fā)電機每小時固定成本第i種發(fā)電機每臺啟動成本第i種發(fā)電機的每小時邊際成本第j個時間段的總時間每天發(fā)電機組的總成本第j時間段用戶的電量需求 i發(fā)電機的型號，取1、2、3、4 j時間段，取1、2

8、、3、4、5、6、73問題分析多機組啟停優(yōu)化問題是在滿足約束條件的前提下，優(yōu)化確定每個階段機組的啟停，求出機組的最佳運行方案，實現(xiàn)每日發(fā)電總成本最小。3.1問題一的分析 為解決問題一，需建立每日發(fā)電成本的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式。因為總成本是由各個時間段的總固定成本、總邊際成本和總啟動成本構(gòu)成，因此就可以根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，求出相應(yīng)的成本表達(dá)式。其中最為復(fù)雜的是啟動成本表達(dá)式的建立，因為啟動機組需要相應(yīng)的啟動費用，而關(guān)閉機組則不需要費用，這樣上一階段的電機運行情況將直接影響下一階段的啟動成本，進(jìn)而影響總成本，因此在考慮電機的啟動成本時應(yīng)該把下一階段電機的運行狀況和上一階段的運行狀況聯(lián)系起來，

9、故在此需要對全天的7個時間段的發(fā)電機的開啟情況進(jìn)行統(tǒng)一、合理的安排，不可只考慮某一個時間段。3.2問題二的分析 在第二問中總成本仍由三部分成本組成，不過此時的約束條件發(fā)生了改變，此時增加了如果在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升的約束條件。在求解過程中，仍可以使用第一問所建立的模型，不過要將第一問的約束條件改變，因為要正在工作的機組要留出20%的發(fā)電余量，所以每臺發(fā)電機的輸出功率就應(yīng)該將實際輸出功率減少20%，即將每日的用電需求提高25%，然后再對模型進(jìn)行求解。 總之，機組組合問題是一個多變量、多約束的混合非線性規(guī)劃問題，因此在求解時需要對各個時段每一

10、臺用于發(fā)電的發(fā)電機所需要的各項成本進(jìn)行求和計算，在此我們采用Lingo軟件對其進(jìn)行求解，得到發(fā)電廠每日最小發(fā)電總成本。4模型建立與求解 4.1問題一模型的建立及求解 4.1.1確定目標(biāo)函數(shù) 由題目給出的條件及模型的假設(shè)知：發(fā)電廠每日發(fā)電總成本僅由發(fā)電機組的固定成本、邊際成本和啟動成本構(gòu)成。 （1） 每天四種型號發(fā)電機固定成本： =*åå （2） 每天四種型號發(fā)電機邊際成本： =*-*åå （3）每天四種型號發(fā)電機總啟動成本： ()( ) ()( )目標(biāo)函數(shù)為： Min W=G+B+Q 4.1.2確定約束條件 （1） 因為是第i種型號的發(fā)電機在第j時間段內(nèi)

11、運行的臺數(shù)，所以不大于本型號發(fā)電機的臺數(shù)，即： （2） 由于代表的是第i種型號在第j個時間段的輸出功率，所以介于最小輸出功率與最大輸出功率之間，即： （3） 發(fā)電機每小時的輸出功率應(yīng)大于或等于電力需求，即： )( ) (4.1.3問題一的模型 綜上所述，得到問題一的多變量最優(yōu)化模型：Min W=+ £4.1.4模型一的求解£ìï ï££ï ££ïïíï

12、;££ï ïï=- 由上述分析可知，該問題為多變量非線性規(guī)劃問題，應(yīng)用LINGO程序進(jìn)行編程計算，最終得出每時段各型號發(fā)電機的使用數(shù)量及其各自的功率。由各型號發(fā)電機使用數(shù)量及各自功率可求出各時段內(nèi)的最小成本及一天的最小總成本，得到發(fā)電廠每天最小發(fā)電總成本為：1427179元。具體的數(shù)據(jù)見表： 各個時間段不同型號發(fā)電機的開啟臺數(shù)臺數(shù) 時間段型號0669912121414181822222410779916205440453002000044414920 各個時間段不同型號發(fā)動機的開啟功率 發(fā)電功率 時間段型號0

13、66991212141418182222241180018001800180018001750215001500150015001500320004275032202400345022003000 (第j個時間段i型號的開啟數(shù)目為0時，討論其功率沒有意義，故用“”表示)從表格可以看出，在該模型的運行下,發(fā)電供需可以保持平衡，且符合經(jīng)濟效益，既使得發(fā)電機能產(chǎn)生最低功率滿足用戶需求，也使得成本最低，并且一些次要因素所影響的概率很小，因此當(dāng)每個時間段開啟發(fā)電機臺數(shù)和相應(yīng)的功率如上表時，可以認(rèn)為該模型所得方案是最優(yōu)方案。 4.2問題二模型的建立及求解4.2.1確定目標(biāo)函數(shù)由題目給出的條件及模型的假設(shè)知

14、：發(fā)電廠每日發(fā)電總成本僅由發(fā)電機組的固定成本、邊際成本和啟動成本構(gòu)成。 （1）每天四種型號發(fā)電機固定成本： =*åå （2）每天四種型號發(fā)電機邊際成本： =*-*åå （3）每天四種型號發(fā)電機總啟動成本： ()( ) ()( )目標(biāo)函數(shù)為： Min W=G+B+Q 4.2.2確定約束條件 （1）因為是第i種型號的發(fā)電機在第j時間段內(nèi)運行的臺數(shù)，所以不大于本型號發(fā)電機的臺數(shù)，即： （2）由于代表的是第i種型號在第j個時間段的輸出功率，但發(fā)電機組要留20%的發(fā)電余量，所以實際輸出功率0.8應(yīng)大于最小輸出功率，功率應(yīng)介于最小輸出功率與最大輸出功率之間，即： （

15、3）因為正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升。所以發(fā)電廠發(fā)電功率的百分之八十應(yīng)大于人們的用電需求本，即： 4.2.3問題二的模型 綜上所述，得到問題一的多變量最優(yōu)化模型：Min W=+ 4.2.4模型二的求解由上述分析可知，該問題為多變量非線性規(guī)劃問題，應(yīng)用LINGO程序進(jìn)行編程計算，最終得出每時段各型號發(fā)電機的使用數(shù)量及其各自的功率。由各型號發(fā)電機使用數(shù)量及各自功率可求出各時段內(nèi)的最小成本及一天的最小總成本，得到發(fā)電廠每天最小發(fā)電總成本為：1444670.元。具體的數(shù)據(jù)見表：表三：各個時間段不同型號發(fā)電機的開啟臺數(shù)臺數(shù) 時間段型號0669912121414181

16、82222241081099100255455553234403240303203 表四：各個時間段不同型號發(fā)動機的開啟功率 發(fā)電功率 時間段型號066991212141418182222241176211001677154416502140015001500150015001500150032000200020002000200020004180018001800 2166 (第j個時間段i型號的開啟數(shù)目為0時，討論其功率沒有意義，故用“”表示)從表格可以看出，在該模型的運行下,發(fā)電功率可以保持供需平衡，且符合經(jīng)濟效益，既使得發(fā)電機能產(chǎn)生最低功率滿足用戶需求，也使得成本最低，并且一些次要因素

17、所影響的概率很小，因此當(dāng)每個時間段開啟發(fā)電機臺數(shù)喝相應(yīng)的功率如上表時，可以認(rèn)為該模型所得方案是最優(yōu)方案。5結(jié)果分析5.1問題一的結(jié)果分析將問題一機組啟動計劃最優(yōu)化方案轉(zhuǎn)化為圖示1以便于直接觀察： 圖1 圖2對圖1和圖2進(jìn)行觀察可知：型號1發(fā)電機雖然有10臺數(shù)目最多，由于其啟動成本高，并沒有全部使用，并且開啟數(shù)量不變，可以很好的節(jié)約總成本。由于型號2發(fā)電機各成本都較低，故其使用頻率相當(dāng)高，全部投入使用，并且全為滿功率工作。型號3發(fā)電機邊際成本、啟動成本較低，故投入使用數(shù)較多且為滿功率工作。而型號4發(fā)電機雖然固定成本與邊際成本都最高，其啟動成本最低，故使用數(shù)量在不同時段有明顯波動，且輸出高功率。所

18、以增配型號2和3發(fā)電機數(shù)量，適當(dāng)減少型號4發(fā)電機的數(shù)量，可以降低固定成本。 5.2問題二的結(jié)果分析將問題二機組啟動計劃最優(yōu)化方案轉(zhuǎn)化為圖示3以便于直接觀察： 圖3 圖4由圖3可清晰看出各型號電機在不同時段的使用情況。其中，型號1的發(fā)電機組在除第一、七時不使用，其余時段的使用數(shù)量在8臺左右，以減少開啟成本；型號2的發(fā)電機組在每天的各個時段的使用數(shù)量均維持在5臺；型號3的發(fā)電機組在每天的各個時段的使用數(shù)量均維持在4臺及以下；型號4的發(fā)電機組在每天的各個時段的使用數(shù)量處于04臺之間。 6模型的評價與改進(jìn)6.1 模型的優(yōu)點 （1）將一天所有時段作為整體，考慮到各個時段間啟動發(fā)電機對成本的影響，構(gòu)建了不

19、同時段發(fā)電機組的啟動成本計算公式，該公式可以很好的計算不同時段發(fā)電機組的啟動成本。 (2)建立該模型時，約束條件考慮較全面，所得的模較合理。 （3）提供了一種求解多變量，多約束整數(shù)非線性規(guī)劃的組合優(yōu)化問題的思路，此方法思路清晰明了，構(gòu)思新穎，方便易行。 6.2 模型的缺點 根據(jù)題目的要求，以及其他條件的限制和約束，對模型進(jìn)行了一些合理的假設(shè)，雖然求出的結(jié)果在所要求的誤差范圍之內(nèi)，但是假設(shè)還是會對所求結(jié)果有一定的影響。對于這些方面還需要做進(jìn)一步的探討和改進(jìn)。 7模型的應(yīng)用和推廣7.1模型的應(yīng)用 (1)由所得的結(jié)果可知發(fā)電廠對每種型號的發(fā)電機利用率是不同的，所以發(fā)電廠在選購不同型號的發(fā)電機時可以參

20、考所得結(jié)果，合理選購，使得每臺發(fā)電機都被使用，減少發(fā)電廠費用的支出。 (2)根據(jù)不同時段的用電需求，可以看出在06和2224時間段是用電低谷，此時人們大多在休息，而在1214時間段是用電高峰期，這也使符合人們的生活規(guī)律。夏季中午溫度較高，需要各種電器設(shè)備來降溫消暑，所以用電增加，針對用電高峰期，給出以下建議，如：盡量的使用功率小的空調(diào)，適當(dāng)?shù)奶岣呖照{(diào)溫度，從而節(jié)約能源，減少用電壓力。7.2 模型推廣 此模型不僅適用于電力生產(chǎn)問題，也可以應(yīng)用于其他的行業(yè)，即在有限的資源條件下，合理的分配資源得到相應(yīng)的要求，同時使得消耗最小。此模型具有很好的應(yīng)用價值，可以作進(jìn)一步的推廣和研究。8參考文獻(xiàn)1 宋來忠

21、,王志明.數(shù)學(xué)建模與實驗.北京：科學(xué)出版社，2005. 2 王正東.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗.北京：科學(xué)出版社，2010. 3 趙靜，但琦，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗.北京：高等教育出版社，2008. 4 吳禮斌，李柏年.數(shù)學(xué)實驗與建模.北京：國防工業(yè)出版社，2007. 5 謝金星.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件.北京：清華大學(xué)出版社，2005. 附錄一問題一中發(fā)電機的使用方案：表一：各個時間段不同型號的發(fā)電機開啟臺數(shù)臺數(shù) 時間段型號0669912121414181822222410222222255455553288888440302040 表二：各個時間段不同型號發(fā)電機開啟的功率 發(fā)電功率 時間段

22、型號066991212141418182222241180080018008001451125121400150014801500148015001500320002000200020002000200020004196722251800 問題二中發(fā)電機的使用方案： 表三：各個時間段不同型號發(fā)電機的開啟臺數(shù)臺數(shù) 時間段型號066991212141418182222241081099100255455553234403240303203 表四：各個時間段不同型號發(fā)動機的開啟功率 發(fā)電功率 時間段型號0669912121414181822222411762110016771544165021400

23、15001500150015001500150032000200020002000200020004180018001800 2166附錄二模型一求解程序：sets:shijianduan/1.7/:n,t,d;xinghao/1.4/:m,w,k,a,b,z;link(xinghao,shijianduan):x,c;endsetsmin=sum(xinghao(i):x(i,1)*z(i)+sum(xinghao(i):sum(shijianduan(j):x(i,j)*(a(i)+b(i)*(c(i,j)-w(i)*t(j)+sum(xinghao(i):sum(shijianduan(

24、j)|j#le#6:if(x(i,j+1)#gt#x(i,j),(x(i,j+1)-x(i,j)*z(i),0);for(link(i,j):gin(x(i,j);for(link(i,j):x(i,j)<=m(i);for(link(i,j):c(i,j)>=w(i);for(link(i,j):c(i,j)<=k(i);for(shijianduan(j):d(j)=sum(xinghao(i):x(i,j)*c(i,j);for(shijianduan(j):d(j)>=n(j);data:n=11000,33000,25000,36000,25000,30000

25、,18000;t=6,3,3,2,4,4,2;m=10,5,8,4;w=800,1000,1200,1800;k=1800,1500,2000,3500;a=2200,1800,3800,4800;b=2.7,2.2,1.8,3.8;z=5000,1600,2400,1200;enddataLocal optimal solution found. Objective value: 1427179. Objective bound: 1427179. Infeasibilities: 0.3649081E-11 Extended solver steps: 2 Total solver ite

26、rations: 989 Variable Value N( 1) 11000.00 N( 2) 33000.00 N( 3) 25000.00 N( 4) 36000.00 N( 5) 25000.00 N( 6) 30000.00 N( 7) 18000.00 T( 1) 6.000000 T( 2) 3.000000 T( 3) 3.000000 T( 4) 2.000000 T( 5) 4.000000 T( 6) 4.000000 T( 7) 2.000000 D( 1) 11000.97 D( 2) 33000.98 D( 3) 25001.58 D( 4) 36001.47 D(

27、 5) 25001.34 D( 6) 30001.12 D( 7) 18001.81 M( 1) 10.00000 M( 2) 5.000000 M( 3) 8.000000 M( 4) 4.000000 W( 1) 800.0000 W( 2) 1000.000 W( 3) 1200.000 W( 4) 1800.000 K( 1) 1800.000 K( 2) 1500.000 K( 3) 2000.000 K( 4) 3500.000 A( 1) 2200.000 A( 2) 1800.000 A( 3) 3800.000 A( 4) 4800.000 B( 1) 2.700000 B(

28、 2) 2.200000 B( 3) 1.800000 B( 4) 3.800000 Z( 1) 5000.000 Z( 2) 1600.000 Z( 3) 2400.000 Z( 4) 1200.000 X( 1, 1) 0.000000 X( 1, 2) 2.000000 X( 1, 3) 2.000000 X( 1, 4) 2.000000 X( 1, 5) 2.000000 X( 1, 6) 2.000000 X( 1, 7) 2.000000 X( 2, 1) 5.000000 X( 2, 2) 5.000000 X( 2, 3) 5.000000 X( 2, 4) 5.000000

29、 X( 2, 5) 5.000000 X( 2, 6) 5.000000 X( 2, 7) 5.000000 X( 3, 1) 2.000000 X( 3, 2) 8.000000 X( 3, 3) 8.000000 X( 3, 4) 8.000000 X( 3, 5) 8.000000 X( 3, 6) 8.000000 X( 3, 7) 4.000000 X( 4, 1) 0.000000 X( 4, 2) 3.000000 X( 4, 3) 0.000000 X( 4, 4) 4.000000 X( 4, 5) 0.000000 X( 4, 6) 2.000000 X( 4, 7) 0.

30、000000 C( 1, 1) 803.6196 C( 1, 2) 1800.000 C( 1, 3) 800.0000 C( 1, 4) 1800.000 C( 1, 5) 800.0000 C( 1, 6) 1450.559 C( 1, 7) 1250.905 C( 2, 1) 1400.194 C( 2, 2) 1500.000 C( 2, 3) 1480.317 C( 2, 4) 1500.000 C( 2, 5) 1480.267 C( 2, 6) 1500.000 C( 2, 7) 1500.000 C( 3, 1) 2000.000 C( 3, 2) 2000.000 C( 3,

31、 3) 2000.000 C( 3, 4) 2000.000 C( 3, 5) 2000.000 C( 3, 6) 2000.000 C( 3, 7) 2000.000 C( 4, 1) 1803.160 C( 4, 2) 1966.993 C( 4, 3) 1800.000 C( 4, 4) 2225.368 C( 4, 5) 1803.121 C( 4, 6) 1800.000 C( 4, 7) 1801.000附錄三模型二的求解程序：sets:shijianduan/1.7/:n,t,d;xinghao/1.4/:m,w,k,a,b,z;link(xinghao,shijianduan):x,c;endsetsmin=sum(xinghao(i):x(i,1)*z(i)+sum(xinghao(i):sum(shijianduan(j):x(i,j)*(a(i)+b(i)*(c(i,j)-w(i)*t