二次曲線上的四點共圓問題的完整結(jié)論

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次曲線上的四點共圓問題的完整結(jié)論甘志國(該文已發(fā)表 數(shù)學(xué)通訊，2013(7下)：40-41)百年前，著名教材坐標(biāo)幾何(Loney著)中曾提到橢圓上四點共圓的一個必要條件是這四點的離心角之和為周角的整數(shù)倍(橢圓上任一點的坐標(biāo)可以表示為R)，角就叫做點的離心角)，證明方法十分巧妙，還要運(yùn)用高次方程的韋達(dá)定理.這一條件是否充分，一直是懸案.在20世紀(jì)80年代編寫數(shù)學(xué)題解辭典(平面解析幾何)時，仍未解決.到20世紀(jì)年代初編寫中學(xué)數(shù)學(xué)范例點評時，才證明了此條件的充分性.2011年高考全國大綱卷理科第21題，2005年高考湖北卷理科第21題(也即文科第22題)及2002年高考江

2、蘇、廣東卷第20題都是關(guān)于二次曲線上四點共圓的問題(見文獻(xiàn)3,4).筆者曾由2005年的這道高考題得出了二次曲線上四點共圓的一個簡潔充要條件(其證明也很簡潔但有技巧)：若兩條直線與二次曲線有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是.文獻(xiàn)2還用此結(jié)論證得了“橢圓上的四點共圓的充要條件是這四點的離心角之和為周角的整數(shù)倍”.文獻(xiàn)5用較長的篇幅得出了下面的兩個結(jié)論(即原文末的命題7、8)：結(jié)論1 拋物線的內(nèi)接四邊形同時內(nèi)接于圓的充要條件是該四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中有一對直線的傾斜角互補(bǔ).結(jié)論2 圓錐曲線的內(nèi)接四邊形同時內(nèi)接于圓的充要條件是該四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中

3、有一對直線的傾斜角互補(bǔ).請注意，文獻(xiàn)5中所涉及的直線的斜率均存在，所以這兩個結(jié)論均正確.但不夠完整，本文將給出二次曲線上的四點共圓問題的完整結(jié)論，即文末的推論4.定理1 若兩條二次曲線有四個交點，則這四個交點共圓.證明 過這四個交點的二次曲線一定能表示成以下形式不同時為0)： 式左邊的展開式中不含的項，選時，再令式左邊的展開式中含項的系數(shù)相等，得,此時曲線即 的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個圓、一個點、無軌跡.而題中的四個交點都在曲線上，所以曲線表示圓.這就證得了四個交點共圓.定理2 若兩條直線與二次曲線有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是.證明 由組成的曲線即所以經(jīng)過它與

4、的四個交點的二次曲線一定能表示成以下形式不同時為0)： 必要性.若四個交點共圓，則存在使方程表示圓，所以式左邊的展開式中含項的系數(shù).而(否則表示曲線，不表示圓)，所以.充分性.當(dāng)時，式左邊的展開式中不含的項，選時，再令式左邊的展開式中含項的系數(shù)相等，即，得.此時曲線即 的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個圓、一個點、無軌跡.而題中的四個交點都在曲線上，所以曲線表示圓.這就證得了四個交點共圓.推論1 若兩條直線與二次曲線有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是這兩條直線的斜率均不存在或這兩條直線的斜率均存在且互為相反數(shù).證明 設(shè)兩條直線為，由定理2得，四個交點共圓的充要條件是.(1)

5、當(dāng)即時，得四個交點共圓的充要條件即也即或.(2)當(dāng)與不平行即時，由得，所以四個交點共圓的充要條件即也即直線的斜率均存在且均不為0且互為相反數(shù).由此可得欲證成立.推論2 設(shè)二次曲線上的四個點連成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，在該四邊形的的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中：若有一對直線的斜率均不存在，則另兩對直線的斜率均存在且均互為相反數(shù)；若有一對直線的斜率均存在且均互為相反數(shù)，則另兩對直線的斜率也均存在且均互為相反數(shù)，或另兩對直線的斜率中有一對均不存在另一對均存在且互為相反數(shù).證明 設(shè)圓內(nèi)接四邊形是四邊形，其兩組對邊與、與及對角線與所中的直線分別是由定理中的充分性知，若四個交點共圓，則以下等式之一

6、成立：再運(yùn)用定理2中的必要性知，若四個交點共圓，則以上等式均成立.再由推論1的證明，可得欲證成立.推論2的極限情形是推論3 設(shè)點是定圓錐曲線(包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線)上的定點但不是頂點，是上的兩個動點，直線的斜率互為相反數(shù)，則直線的斜率為曲線過點的切線斜率的相反數(shù)(定值).由推論3可立得以下三道高考題中關(guān)于定值的答案：高考題1 (2009·遼寧·理·20(2) 已知是橢圓上的定點，是上的兩個動點，直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值.(答案：.)高考題2 (2004·北京·理·17(2)如圖1，過拋物線上一

7、定點作兩條直線分別交拋物線于.當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求的值，并證明直線的斜率是非零常數(shù).(答案：.)圖1高考題3 (2004·北京·文·17(2)如圖1，拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，點均在拋物線上.當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求的值及直線的斜率.(答案：.)推論4 設(shè)二次曲線上的四個點連成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，則該四邊形只能是以下三種情形之一：(1)兩組對邊分別與坐標(biāo)軸平行的矩形；(2)底邊與坐標(biāo)軸平行的等腰梯形；(3)兩組對邊均不平行的四邊形，但在其兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中，每對直線的斜率均存在且均不為0且均互為相反數(shù).證明 推

8、論2中的圓內(nèi)接四邊形，只能是以下三種情形之一：(1)是平行四邊形.由推論2知，該平行四邊形只能是兩組對邊分別與坐標(biāo)軸平行的矩形.(2)是梯形.由推論2知，該梯形的底邊與坐標(biāo)軸平行，兩腰所在直線的斜率及兩條對角線所在直線的斜率均存在且均不為0且均互為相反數(shù)，可得該梯形是底邊與坐標(biāo)軸平行的等腰梯形.(3)兩組對邊均不平行的四邊形.由推論2知，該四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中，每對直線的斜率均存在且均不為0且均互為相反數(shù).參考文獻(xiàn)1 陳振宣.圓錐曲線上四點共圓的充要條件J.數(shù)學(xué)教學(xué)，2007(2)：332 甘志國著.初等數(shù)學(xué)研究(II)下M .哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.62-633 甘志國.對一道