小學(xué)奧數(shù)幾何難題

1、小學(xué)奧數(shù)幾何難題類型一：旋轉(zhuǎn)、對稱類（2011年日本算術(shù)奧林匹克大賽高小預(yù)賽）在中，點(diǎn)在邊上使得，點(diǎn)在邊上使得請求出三角形的面積【考點(diǎn)】 圖形對稱【答案】【分析】 方法一：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，作、關(guān)于的對稱點(diǎn)、，連接、，如下圖所示：，又，又，又，方法二：（供參考）作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，又、分別是、的高，于是有：，即而又【總結(jié)】 本題沒有邊之間的比例，只有角度相等，因此嘗試做對稱來構(gòu)造出平行線，解決問題如圖，正方形有三個頂點(diǎn)分別在的三條邊上，求正方形的面積【考點(diǎn)】 圖形旋轉(zhuǎn)【答案】【分析】 如下圖所示，連接，根據(jù)題意有：，那么有：，因此，如下圖所示，將以點(diǎn)為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)，至位置，同樣的將以點(diǎn)為中心，

2、順時針旋轉(zhuǎn)，至位置因?yàn)椋詢蓚€陰影三角形恰好構(gòu)成完整的四邊形連接，因?yàn)?，所以為直角三角形，同理也是直角三角形有，因此，【總結(jié)】 正方形中的旋轉(zhuǎn)問題9 / 9類型二：勾股、弦圖類（2011年日本算術(shù)奧林匹克大賽高小預(yù)賽）是直角三角形在邊、上分別取點(diǎn)、，使得當(dāng)成為等腰直角三角形、時，求的面積【考點(diǎn)】 勾股定理【答案】【分析】 作交于點(diǎn)，易知和完全相同（，又，）有，又，是的中點(diǎn)，也是中點(diǎn)，即，因此有【總結(jié)】 本題其實(shí)是弦圖的應(yīng)用：圖中即構(gòu)成了一個標(biāo)準(zhǔn)的弦圖其實(shí)很多時候出現(xiàn)等腰直角三角形就可以考慮構(gòu)造弦圖來解決問題如圖，是正方形外面的一點(diǎn)，厘米，的面積是平方厘米，的面積是平方厘米請問：正方形的面積是

3、多少平方厘米？【考點(diǎn)】 勾股與弦圖【答案】 平方厘米【分析】 將反向延長如下圖所示構(gòu)造弦圖，以為底，的高是，于是有：，即厘米，同理有厘米因此平方厘米【總結(jié)】 本題構(gòu)造弦圖是關(guān)鍵點(diǎn)?。?011年華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽武漢卷）如圖，點(diǎn)在直角內(nèi)，且，厘米，的面積是平方厘米，的面積是平方厘米，求的面積【考點(diǎn)】 勾股與弦圖【答案】 平方厘米【分析】 如下圖所示構(gòu)造弦圖：以為底，的高為，有：，即厘米，同理有厘米，因此平方厘米，所以平方厘米【總結(jié)】 本題和上一題本質(zhì)相同，不過是點(diǎn)的位置發(fā)生了改變（2011年日本算術(shù)奧林匹克大賽高小決賽）下圖是一個面積為、的四邊形其兩條對角線和在四邊形的內(nèi)部相交，當(dāng)，時

4、，求的面積【考點(diǎn)】 勾股定理【答案】 平方厘米【分析】 作，交延長線于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)勾股定理：，兩式想減，結(jié)合平方差公式得：又，整理得得：，平方厘米【總結(jié)】 本題貌似上兩題類似，實(shí)則不然上面兩題告訴我們的是兩個小三角形的面積，而此題是整個的面積因?yàn)轭}中出現(xiàn)兩個長度，不好構(gòu)造弦圖，因而轉(zhuǎn)化為做垂線利用勾股定理解決問題自內(nèi)部一點(diǎn)向、作垂線，垂足依次為、，以、為邊長分別向外作正方形，如下圖所示，這六個正方形的面積依次記為、如果，那么試求的值【考點(diǎn)】 勾股定理【答案】【分析】 連接、，其長度分別記為、，另記，如下圖所示：，即，又，兩式相減得同理有，因而【總結(jié)】 正方形面積很容易和平方結(jié)合起來，而垂線則要想到勾股定理類型三：等積變化類如下圖，大正方形被分成了面積相等的五塊，若長為厘米，則大正方形的面積為多少平方厘米？【考點(diǎn)】 等積變化模型【答案】 平方厘米【分析】 連接、，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)如下圖所示：設(shè)正方形邊長為，那么每一塊的面積都是，即有，所以，有，又，所以，所以同樣的，所以有：，所以有：，因此，也即，即，所以正方形面積為平方厘米【總結(jié)】 如何從五塊面積都相等這個條件中提取出更多的信息是解