剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、4-1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體極其運(yùn)動(dòng)剛體受力時(shí)不改變形狀和體積的物體。注：（1）剛體是固體物件的理想模型。（2）剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系（各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置在運(yùn)動(dòng)中保持不變）。剛體的運(yùn)動(dòng)分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。平動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線 。（用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)處理）轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng). 轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 。二、   剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于各質(zhì)元間的相對(duì)位置保持不變，因此描述各質(zhì)元的角量是一樣的。用角量描寫剛體的整體運(yùn)動(dòng)。角坐標(biāo)： 角位移：

2、60; 角速度：角速度的方向：右手螺旋法則。角加速度： 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)： （1） 每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面； （2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但 不同；（3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo) 。三、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)-剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量。剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)  四 、角量與線量的關(guān)系     4-2力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、力矩設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中i質(zhì)點(diǎn)受力為 現(xiàn)對(duì)i質(zhì)點(diǎn)所受力的力矩：對(duì)i求和，剛體所受力的力矩為（內(nèi)力矩為零）二、剛體的

3、轉(zhuǎn)動(dòng)定律組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，所以剛體對(duì)給定軸的力矩為即剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。它在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位相當(dāng)于牛頓第二定律在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的地位。三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其的計(jì)算1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量令，將其定義為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：?jiǎn)蝹€(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是千克二次方米（kg · m2） 例： 如圖所示，求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為z的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直 解 (1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直 在棒

4、上任取一質(zhì)元，其長(zhǎng)度為dx距軸0的距離為x，設(shè)棒的線密度(即單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量)為， 則該質(zhì)元的質(zhì)量 dm = dx該質(zhì)元對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為整個(gè)棒對(duì)中心周6的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（2）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同 例 設(shè)質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過(guò)各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解 (1)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如圖所示，在環(huán)上任取一質(zhì)元。其質(zhì)量為dm,該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離為R，則該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細(xì)圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

5、(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。整個(gè)圓盤可以看成許多半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成為此，在離轉(zhuǎn)軸的距離為r處取一小圓環(huán)，其面積為dS=2rdr，設(shè)圓盤的面密度(單位面積上的質(zhì)量)， 則小圓環(huán)的質(zhì)量該小圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為則整個(gè)圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為表明，質(zhì)量相同，轉(zhuǎn)軸位置相同的剮體，由于質(zhì)量分布不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的特點(diǎn)：(1)與剛體的總質(zhì)量有關(guān)；(2)與剛體質(zhì)量對(duì)軸的分布有關(guān)，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大；(3)與軸的位置有關(guān)，對(duì)質(zhì)量分布均勻的物體，其對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最?。?4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性。 例 如圖所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B。A放在傾角為的光滑

6、斜面上，通過(guò)定滑輪由不可伸長(zhǎng)的輕繩與B相連定滑輪是半徑為R的圓盤，其質(zhì)量也為m物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求繩中張力T1和T2及物體的加速度a(輪軸光滑)。解 物體A，B，定滑輪受力如圖， 對(duì)于作平動(dòng)的物體A，B分別由牛頓定律得又對(duì)定滑輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 由于繩不可伸長(zhǎng)，所以又聯(lián)立以上各式得例 轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，在t=0時(shí)角速度為0此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過(guò)程，阻力矩M的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常數(shù))，當(dāng)=0/3時(shí)，飛輪的角加速度是多少?從開始制動(dòng)到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少?解 （1）由題知M = -k2，故由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 - k2 =J 將 代入，求得這時(shí)飛輪的角速

7、度為（2）為求經(jīng)歷的時(shí)間t，將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫成微分方程的形式，即分離變量，并考慮到t=0時(shí)， = 0，兩邊積分故 當(dāng)時(shí)，制動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為小結(jié)：、       本節(jié)內(nèi)容分為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)部分和動(dòng)力學(xué)部分。、       在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分，重點(diǎn)掌握描述運(yùn)動(dòng)的角量、線量及角量與線量的關(guān)系。、       動(dòng)力學(xué)部分重點(diǎn)掌握轉(zhuǎn)動(dòng)定律，它的地位如同質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的牛頓第二定律。分析方法也與牛頓第二定律相似。、  

8、     注意剛體受變力矩作用時(shí)的力矩分析，同樣應(yīng)在任意位置，不能在特定位置。、       學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容應(yīng)反復(fù)與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)類比。 4-3 角動(dòng)量、角動(dòng)量守恒定律一、           質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 1、 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以速度在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn)O的位矢，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的角動(dòng)量為： 大?。悍较颍悍嫌沂址▌t.注意：作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)相對(duì)圓心的角動(dòng)量：

9、        2、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理  因?yàn)?#160;則 定義：力矩    即，作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn) O 的力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn) O 的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.將上式變形，得 兩邊積分有：、 、      定義沖量矩：。所以，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn) O ，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量.3、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律 如果，則為恒矢量。即，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律：質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考

10、點(diǎn) O 的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn) O 的角動(dòng)量為一恒矢量。注：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律常用于質(zhì)點(diǎn)僅受有心力的情況，如行星的運(yùn)動(dòng)。（此時(shí)，動(dòng)量不守恒）二、  剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 一、 二、  即：2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 積分有： 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理-剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。 3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)合外力矩為零時(shí)，有：恒量即，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：如果物體所受的合外力矩為零，或者不受外力矩的作用，

11、物體的角動(dòng)量保持不變。 小結(jié)：、       本節(jié)從力矩的時(shí)間累計(jì)效應(yīng)，分別引入了角動(dòng)量、沖量矩、角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒。、      角動(dòng)量定理及守恒定律的應(yīng)用 4-4力矩的功 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理一轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能設(shè)剛體以角速度。設(shè)第i個(gè)質(zhì)元質(zhì)量為mi，離軸的距離為ri,它的線速度為vi=ri，則i質(zhì)元的動(dòng)能為： 整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也與軸的位置有

12、關(guān)。） 二力矩的功 如圖所示。設(shè)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的外力Fi作用于P點(diǎn)經(jīng)dt時(shí)間后P點(diǎn)沿一圓周軌道移動(dòng)dsi弧長(zhǎng)，半徑ri掃過(guò)d角，并有dri= dsi = rid，由功的定義式有式中M為作用于剛體上外力矩之和。上式說(shuō)明力矩所作元功等于力矩和角位移的乘積。當(dāng)剛體在力矩M作用下，由1轉(zhuǎn)到2時(shí)，力矩的功為力矩的功率是當(dāng)輸出功率一定時(shí)，力矩與角速度成反比。三剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 如果將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫成如下形式分離變量并積分，又考慮到 = 1時(shí)， = 1，所以 于是可得此即剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。例 如圖所示，一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為z的均勻細(xì)棒OA可繞固定點(diǎn)

13、O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成30º角時(shí)，中心點(diǎn)C 和端點(diǎn)A的速度。 解 棒受力如圖2-39所示，其中重力G對(duì)O軸的力矩大小等于 ，是的函數(shù)，軸的支持力對(duì)O軸的力矩為零。由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，有 等式左邊的積分為重力矩的功。即則中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度分別為例 如圖，物體的質(zhì)量為m1，m2且m1m2。圓盤狀定滑輪的質(zhì)量為M1和M2，半徑為R1、R2 ，質(zhì)量均勻分布。繩輕且不可伸長(zhǎng)，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑。試求當(dāng)m1下降了x距離時(shí)兩物體的速度和加速度。解 以兩物體、兩滑輪、地球成為一系統(tǒng)， A外=0，A內(nèi)非= 0，故機(jī)械能守恒。以 m1下降x時(shí)的

14、位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有由于 解得由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物體所受合力為恒力，a為常數(shù)，v2=2ax，故有 質(zhì)點(diǎn)與剛體力學(xué)規(guī)律對(duì)照表 質(zhì)點(diǎn) 剛體（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）力F，質(zhì)量m牛頓第二定律F=ma動(dòng)量mv，沖量動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律平均動(dòng)能力的功動(dòng)能定理功能原理力矩 M=r×F， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=J角動(dòng)量L=J，沖量矩角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能力矩的功動(dòng)能定理功能原理例 如圖，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，可繞過(guò)其一端的水平軸0轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)將棒拉到水平位置(OA)后放手，棒下擺到豎直位置(OA)時(shí)，與靜止放置在水平面A處的質(zhì)量為M的物塊作完全彈性碰撞，物體在水平面上向右滑行了一段距離s后停止。設(shè)物體與水平面間的摩擦系數(shù)處處相同，求證： 解 此題可分解為三個(gè)簡(jiǎn)單過(guò)程： (1)棒由水平位置下擺至豎直位置但尚未與物塊相碰此過(guò)程機(jī)械能守恒。以棒、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，以棒的重心在豎直位置時(shí)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有(2)棒與物塊作完全彈性碰撞，此過(guò)程角動(dòng)量守恒(并非動(dòng)量守恒)和機(jī)械能守恒，設(shè)碰撞后棒的角速度為，物塊速度為v，則有(3)碰撞后物塊在水平面滑行，其滿足動(dòng)能定理 聯(lián)立以上四式，即可證得本章小結(jié)：、       本節(jié)從力矩的時(shí)間和空間累計(jì)效應(yīng)，分別引入了角動(dòng)量、沖量矩、角動(dòng)量定理、角