異面直線的夾角-線面角

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上空間角1、異面直線所成角的求法一是幾何法，二是向量法。異面直線所成的角的范圍：幾何法求異面直線所成角的思路是：通過平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，進而利用平面幾何知識求解?；舅悸肥沁x擇合適的點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的點。常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點）：補形平移法：“補形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。例1在正方體中，E是AB的中點， （1）求BA/與CC/夾角的度數(shù).（2）求

2、BA/與CB/夾角的度數(shù) (3)求A/E與CB/夾角的余弦值 例2：長方體ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的余弦值。直接平移：常見的利用其中一個直線a和另一個直線b上的一個已知點，構(gòu)成一個平面，在此平面內(nèi)做直線a的平行線。解法一：如圖，過B1點作BEBC1交CB的延長線于E點。則DB1E就是異面直線DB1與BC1所成角，連結(jié)DE交AB于M，DE=2DM=3，DB1E= 解法二：如圖，在平面D1DBB1中過B點作BEDB1交D1B1的延長線于E，則C1BE就是異面直線DB1與BC1所成的角，連結(jié)C1E，在B1C1E中，C1B1E=135&#

3、176;，C1E=3，C1BE=課堂思考：1.如圖，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD與PC所成角的余切值為。ABCD2.在長方體ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=，求D B和AC所成角的余弦值.例3題圖例3 如圖所示，長方體A1B1C1D1-ABCD中，ABA1=45°,A1AD1=60°,求異面直線A1B與AD1所成的角的度數(shù).課堂練習(xí)如圖空間四邊形ABCD中，四條棱AB，BC，CD，DA及對角線AC，BD均相等，E為AD的中點，F(xiàn)為BC中，（1） 求直線AB和CE 所成的角的余弦值。（2） 求直線AF和CE 所成的角的

4、余弦值。二、線面角 1、線面角的范圍：0，2、線面角的求法1）解決該類問題的關(guān)鍵是找出斜線在平面上的射影，然后將直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角在某一直角三角形內(nèi)求解2）線面角的求法還可以不用做出平面角可求出線上某點到平面的距離d，利用sin可求.直接法 ：平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例1 （ 如圖1 ）四面體ABCS中，SA,SB,SC 兩兩垂直，SBA=45°, SBC=60°, M 為 AB的中點，求（1）B

5、C與平面SAB所成的角。（2）SC與平面ABC所成的角。解:（1） SCSB,SCSA, 圖1SC平面SAB 故 SB是斜線BC 在平面SAB上的射影， SBC是直線BC與平面SAB所成的角為60°。（2） 連結(jié)SM,CM，則SMAB,又SCAB,AB平面SCM,面ABC面SCM過S作SHCM于H, 則SH平面ABCCH即為 SC 在面ABC內(nèi)的射影。 SCH 為SC與平面ABC所成的角。 sin SCH=SHSCSC與平面ABC所成的角的正弦值為77（“垂線”是相對的，SC是面 SAB的垂線，又是面 ABC 的斜線. 作面的垂線常根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，其思路是：先找出與已知平面垂

6、直的平面，然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線，則得面的垂線。）2. 利用公式sin=h其中是斜線與平面所成的角， h是 垂線段的長，是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點，為此可用三棱錐的體積自等來求垂線段的長。例2 （ 如圖2） 長方體ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB與面 AB1C1D 所成的角。解：設(shè)點 B 到AB1C1D的距離為h,VBAB1C1=VABB1C113 SAB1C1·h= 13 SBB1C1·AB，易得h=125 設(shè)AB 與 面 A B1C1D 所成的角為,則sin=hAB=4

7、5 圖2AB與面AB1C1D 所成的角為arcsin 45 例3、如圖甲，在平面四邊形ABCD中A45°，C90°，ADC105°，ABBD，再將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC(如圖乙)，設(shè)點E、F分別為棱AC、AD的中點(1)求證：DC平面ABC；(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值證明：在圖甲中，ABBD且A45°，ADB45°.ABD90°，即ABBD.在圖乙中，平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDCBD，AB平面BDC.ABCD.又DCB90°，DCBC，且ABBCB.DC平面ABC.2)E

8、、F分別為AC、AD的中點，EFCD.又由(1)知DC平面ABC，EF平面ABC，垂足為點E.FBE是BF與平面ABC所成的角在圖甲中，ADC105°，BDC60°，DBC30°.設(shè)CDa，則BD2a，BCa，BFBDa，EFCDa.在RtFEB中，sinFBE.即BF與平面ABC所成角的正弦值為.練習(xí)3在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是() 答案：CA30° B45°C60° D90練習(xí)4(2011·全國卷)如圖，四棱錐SABCD中

9、，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，ABBC2，CDSD1.(1)證明：SD平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成的角的正弦值解：(1)證明：取AB的中點E，連接DE，則四邊形BCDE為矩形，DECB2.連接SE，則SEAB，SE.又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE為直角，即SDSE.由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.SD與兩條相交直線AB、SE都垂直，所以SD平面SAB.(2)由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE.作SFDE，垂足為F，則SF平面ABCD，SF.作FGBC，垂足為G，則FGDC1.連接SG，則SGBC.又BCFG，SG

10、FGG，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG.作FHSG，H為垂足，則FH平面SBC.FH，即F到平面SBC的距離為.由于EDBC，所以ED平面SBC，E到平面SBC的距離d也為.設(shè)AB與平面SBC所成的角為，則sin課后作業(yè)、如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(1)求PB和平面PAD所成的角的大??；(2)證明AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值思維啟迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，線面角的定義要能靈活運用；(2)可以利用線面垂直根據(jù)二面角的定義作角(1)解在四棱錐PABCD中，因PA底面

11、ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，從而AB平面PAD，故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA，從而APB為PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.(2)證明在四棱錐PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由條件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60°，可得ACPA.E是PC的中點，AEPC.又PCCDC，綜上得AE平面PCD.(3)解過點E作EMPD，垂足為M，連接AM，如圖所示由(2)知，AE

12、平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30°.設(shè)ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AM·PDPA·AD，則AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值為.探究提高(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可