例說二項(xiàng)式定理的常見題型及解法

1、例說二項(xiàng)式定理的常見題型及解法二項(xiàng)式定理的問題相對較獨(dú)立，題型繁多，解法靈活且比較難掌握。二項(xiàng)式定理既是排列組合的直接應(yīng)用，又與概率理論中的三大概率分布之一的二項(xiàng)分布有著密切聯(lián)系。二項(xiàng)式定理在每年的高考中基本上都有考到，題型多為選擇題，填空題，偶爾也會有大題出現(xiàn)。本文將針對高考試題中常見的二項(xiàng)式定理題目類型一一分析如下，希望能夠起到拋磚引玉的作用。一、求二項(xiàng)展開式1“”型的展開式例1求的展開式；解：原式= = = 小結(jié)：這類題目一般為容易題目，高考一般不會考到，但是題目解決過程中的這種“先化簡在展開”的思想在高考題目中會有體現(xiàn)的。2 “”型的展開式 例2求的展開式；分析：解決此題，只需要把改寫

2、成的形式然后按照二項(xiàng)展開式的格式展開即可。本題主要考察了學(xué)生的“問題轉(zhuǎn)化”能力。3二項(xiàng)式展開式的“逆用”例3計(jì)算；解：原式=小結(jié)：公式的變形應(yīng)用，正逆應(yīng)用，有利于深刻理解數(shù)學(xué)公式，把握公式本質(zhì)。二、通項(xiàng)公式的應(yīng)用1確定二項(xiàng)式中的有關(guān)元素例4已知的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為 解： 令，即依題意，得，解得2確定二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)例5展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 解： 令，即。 所以常數(shù)項(xiàng)是3求單一二項(xiàng)式指定冪的系數(shù)例6（03全國）展開式中的系數(shù)是 ；解：= 令則，從而可以得到的系數(shù)為： ，填三、求幾個二項(xiàng)式的和（積）的展開式中的條件項(xiàng)的系數(shù)例7的展開式中，的系數(shù)等于 解：的系數(shù)是四個二項(xiàng)展開式中4個含的，

3、則有 例8（02全國）的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是 ； 解：在展開式中，的來源有： 第一個因式中取出，則第二個因式必出，其系數(shù)為； 第一個因式中取出1，則第二個因式中必出，其系數(shù)為的系數(shù)應(yīng)為：填。四、利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)解題1 求中間項(xiàng)例9求（的展開式的中間項(xiàng)；解：展開式的中間項(xiàng)為 即：。 當(dāng)為奇數(shù)時，的展開式的中間項(xiàng)是和；當(dāng)為偶數(shù)時，的展開式的中間項(xiàng)是。2 求有理項(xiàng)例10求的展開式中有理項(xiàng)共有 項(xiàng)；解：當(dāng)時，所對應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)。故展開式中有理項(xiàng)有4項(xiàng)。 當(dāng)一個代數(shù)式各個字母的指數(shù)都是整數(shù)時，那么這個代數(shù)式是有理式； 當(dāng)一個代數(shù)式中各個字母的指數(shù)不都是整數(shù)（或說是不可約分?jǐn)?shù)）時，那么這個代數(shù)式是無理

4、式。3 求系數(shù)最大或最小項(xiàng)（1） 特殊的系數(shù)最大或最小問題例11（00上海）在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)是 ；解：要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則必為奇數(shù)，且使為最大，由此得，從而可知最小項(xiàng)的系數(shù)為（2） 一般的系數(shù)最大或最小問題 例12求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)； 解：記第項(xiàng)系數(shù)為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則有 又，那么有 即 解得，系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)。（3） 系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)例13在（的展開式中，系數(shù)絕對值最大項(xiàng)是 ；解：求系數(shù)絕對最大問題都可以將“”型轉(zhuǎn)化為型來處理，故此答案為第4項(xiàng)，和第5項(xiàng)。五、利用“賦值法”求部分項(xiàng)系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和 例14若， 則的值為 ； 解： 令，有， 令，有

5、故原式= =在用“賦值法”求值時，要找準(zhǔn)待求代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系，一般而言：特殊值在解題過程中考慮的比較多。 例15設(shè)， 則 ；分析：解題過程分兩步走；第一步確定所給絕對值符號內(nèi)的數(shù)的符號；第二步是用賦值法求的化簡后的代數(shù)式的值。 解： = =0六、利用二項(xiàng)式定理求近似值 例16求的近似值，使誤差小于； 分析：因?yàn)?，故可以用二項(xiàng)式定理展開計(jì)算。 解：= ， 且第3項(xiàng)以后的絕對值都小于， 從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì)。 =小結(jié)：由，當(dāng)?shù)慕^對值與1相比很小且很大時，等項(xiàng)的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì)，因此可以用近似計(jì)算公式：，在使用這個公式時，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項(xiàng)的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：。 利用二項(xiàng)式定理求近似值在近幾年的高考沒有出現(xiàn)題目，但是按照新課標(biāo)要求，對高中學(xué)生的計(jì)算能力是有一定的要求，其中比較重要的一個能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二項(xiàng)式定理來求近似值。七、利用二項(xiàng)式定理證明整除問題 例17求證：能被7整除。 證明： = = =49P+（） 又 =（7+1） = =7Q（Q） 能被7整除。在利用二項(xiàng)式定理處理整除問題時，要巧妙地將非標(biāo)準(zhǔn)