例析圓中的最值問題 專題輔導(dǎo) 不分版本

1、例析圓中的最值問題介志剛 在解圓中的最值問題時，涉及到二元函數(shù)變量的取值范圍，直接涉及到不等式的有關(guān)性質(zhì)，如果不注意合理使用不等式的性質(zhì)，就會造成錯解，下面分析一例。 例：平面上有兩點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），P為圓上的一點(diǎn)，試求的最大值與最小值，并求相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)。 錯解1：把已知圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則 點(diǎn)P（）在已知圓上， 同理， ，即。 的最大值為116，最小值為4。 錯解2：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），則 當(dāng)時等號成立，把代入圓的方程化簡，得，解得，取較小值得，這時。 的最小值為，而無最大值。 錯因分析1：在錯解1中，產(chǎn)生錯誤的原因，在于把看成相互獨(dú)立的，能同時達(dá)到

2、最大值、最小值的量。實(shí)際上作為兩個“變量”是相互聯(lián)系的，它們同時受的約束，這個約束條件表示了與的最大取值區(qū)間。但是，當(dāng)、成為沒有聯(lián)系的獨(dú)立變量后，就不一定同時滿足約束條件了，離開了約束條件的變量肯定會擴(kuò)大解集。例如當(dāng)取得最大值5時，只能等于4，不能取得最大值6；當(dāng)取得最大值6時，只能等于3，不能取得最大值5。同樣也不能同時取得最小值。 在不等式的性質(zhì)中，若“”，但反之，由“”，也就是說，的充分不必要條件。 錯解用的是放縮變形，不是同解變形，故改變了解集，比如：設(shè)，可以得到： 然而，由卻得不出，只能得出。這是因?yàn)橹械牟皇仟?dú)立的，而是相互制約的，從而擴(kuò)大了所求S的取值范圍。 比如，但是是不成立的，

3、因?yàn)?，這也是由于與都受條件約束，當(dāng)與離開約束條件以后，的范圍明顯發(fā)生了改變，即擴(kuò)大了取值范圍。 錯因分析2：在錯解2中，利用不等式求最值，不等式的一邊必須為定值，若乘積為定值m，則當(dāng)時，平方和的最小值為；若平方和為定值n，則當(dāng)時，乘積的最大值為。但因錯解2中乘積不是定值，因而不能應(yīng)用這一方法求最值。 正解：把已知圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則 點(diǎn)P在已知圓上， 的最大值是100，這時點(diǎn)P的坐標(biāo)是。S的最小值是20，這時點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）。 印象文華： 不等式的性質(zhì)是解題的理論基礎(chǔ)，要深刻理解與正確應(yīng)用不等式的性質(zhì)，不僅要弄清每一個性質(zhì)的條件和結(jié)論各是什么，還需要弄清條件和結(jié)論之間

4、是“單向”的（如就是單向的，即條件是結(jié)論的充分不必要條件；還有，但等也是單向的）、不可逆的，還是“雙向”的（如的充分必要條件，即）。在解題時若被忽視，就容易產(chǎn)生錯誤。 “同向不等式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向”這一性質(zhì)是單向的，用它來做變形，是非同解變形，這樣，每應(yīng)用一次這一性質(zhì)，就會使所求范圍擴(kuò)大。 在使用重要不等式定理求最值時，必須具備三個條件：在所求最值的代數(shù)式中，各變數(shù)均應(yīng)是正數(shù)（如不是，則進(jìn)行變號轉(zhuǎn)換）；各變數(shù)的和或積必須為常數(shù)，以確保不等式一邊為定值（如不是，則進(jìn)行拆項(xiàng)或分解，務(wù)必使不等式的一端的和或積為常數(shù)）；各變數(shù)有相等的可能。若這三個條件缺少任何一個，使用此定理解題都是錯誤的，也