平面向量題型三

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載題型三 三角形“四心”與向量結(jié)合（一）平面向量與三角形內(nèi)心1、 O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP S（ AB. AC）|AB| |AC|，川0嚴(yán)廁p點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)MBC的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心2、知$ ABC，P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：a PA b p B c遊則P是三角形的（）A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心2 _ 2 3、在三角形ABC中,動(dòng)點(diǎn)P滿足：CA =CB -2ABCP，則p點(diǎn)軌跡一定通過(guò)ABC的：（ ）A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心（二）平面向量與三角形垂心“垂心定理”H是厶A

2、BC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HA HB二HB HC二HCHA =點(diǎn)H是厶ABC的垂心. 證明. 由 HA HBHC w HBHA）=o= hb AC =o= HB 丄XC同理HC_AB，HA_BC.故日是厶ABC的垂心.（反之亦然（證略）P滿足:（4、已知 abc，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)PAPC PA-PB PB-PC =0，則P點(diǎn)為三角形的A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5、點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OA OB =OB OC =0C OA，則點(diǎn)0是ABC的（）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）三條高的交點(diǎn)4 H2

3、2 2 26、在同一個(gè)平面上有 ABC及一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：°A + BC = OB + CA2oc + AB，則o為-ABC 的（）A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心（三）平面向量與三角形重心“重心定理”6是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，GA GB GC =0=點(diǎn)G是厶ABC的重心.證明 圖中GB GC =GE連結(jié)BE和CE則CE=GB BE=GC BGC為平行四邊形=。是BC的中點(diǎn)，AD為 BC邊上的中線.將GB GC =GE代入GA GB GC =0，得GA EG =0= GA - _GE =/GD，故6是厶ABC的重心.（反之亦然（證略） 1 一 PG J （PA *PB +PC

4、） P是厶ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)（是厶ABC的重心=一3.證明PG 二PA：；AG 二 PB >BG 二 PC CG = 3PG =（AG BG CG） （PA PB PC）/ G 是 ABC 的重心 GA GB GC =0 = AG BG Cg =0 ,即3PG =PA PB PC1 PG=（PA + PB+PC）由此可得 3（反之亦然（證略）7、已知O是平面上一 定點(diǎn)，A B C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足：OP =OA（AB AC），則p的軌跡一定通過(guò)厶ABC的（）A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心8、已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿

5、足 1 OP=3 （ 2OA+2 +2OC）,則點(diǎn) P一定為三角形 ABC的（）A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心D.AB邊的中點(diǎn)OA =OB =OC，則 o 是 “BC 的C .垂心D .重心（四）平面向量與三角形外心9、若°為ABC內(nèi)一點(diǎn)，A.內(nèi)心 B .外心10、ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，OH =m(OA*OB*OC)，貝q實(shí)數(shù) m （五）平面向量與三角形四心11、已知向量 Op，Op，Op 滿足條件 Op +OP2 +OP3 =0, | Op | = | OP2 | = | Op | = 1， 求證 RBR是正三角形.（數(shù)學(xué)

6、第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題） 12、 在厶ABC中，已知Q G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證： Q G H三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:213、若° H分別是 ABC的外心和垂心.求證 OH =°A °B °C . 114、 設(shè)° G H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.求證 °G=3°H15已知點(diǎn)0、 N 、 P在三角形ABC所在平面內(nèi)，且0A0B= |0CNA + NB+NC=O,貝q PA PB =PBPC=PCPA 貝點(diǎn) 0、N、P依次是三角形ABC的(A)重心、外心、垂心(B)重心、外心、內(nèi)心

7、(C)外心、重心、垂心(D)外心、重心、內(nèi)心題型三 三角形“四心”與向量結(jié)合答案AB因?yàn)锳B是向量又0p -0 = ap，則原式可化為ap(e e2),由菱形的基本性質(zhì)1、解析:和e2知AP平分 BAC，那么在ABC中，AP平分 BAC，貝知選B.4、 解 析 ： 由=得 PA - PB P0PB (PA-PC) =0,即PB CA =0 則PBCA,同理PA BC,pCAB所以p為"BC的垂心.故選D. 1 丄 1°B8 取 AB 邊的中點(diǎn) M 則 °A + °B = 2OM，由 OP 二？ ( 2 OA+2+2°C )可得= MC-3 ，即

8、點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè) 故選B.°到ABC的三頂點(diǎn)距離相等。故°是ABCAB的單位向量設(shè)AB與AC方向上的單位向量分別為30P =30M 2MC MP三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過(guò)重心,9、解析：由向量模的定義知 外心，選B。10、1_ _t_ 111證明 由已知OP1 +OP2 =- OP3，兩邊平方得OP1 OP2 = Y， H t_1OP2 OP3 =OP3 OP1 =2，從而RRR是正三角形.同理.| Rp2 | = |反之，若點(diǎn) °| = | P3P1 |= .3是正三角形 P1P2P3的中心，則顯然有°P1 +°P2 +°

9、;P3 =0OP3 |.P2P3| OP1 | = | OP2 | = |即O是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，OP1 +OP2+°P3 =0 且 | OP1 | = | OP2| = | OP3| 二點(diǎn) O 是正 RRP 的中心.12【證明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系設(shè) A(0,0)、B (X1,0 )、C(X2,y 2)，D E、F 分別為 AB BC AC的中點(diǎn)，則有:x1D (寸,0)、2X1 X2G(hy2x2 y2x12)、F(, 2)Q(22 由題設(shè)可設(shè) 2X2 X1 y y )廳巧三f)X J x2E(12.2 2¥). AH =(

10、x2，y4),QF =(30BC 化"12)“T i:AH _BC.AH *BC =x2(x2y2y4 =0x2(x2 Xi)y 4 ：- y2:QF _ AC3)=0x 2 x 1.QF AC -x2( 2-) - y2(2 2X2(X2 -Xi)2 y 2QH=(X2 -牛 y42- y 3)2x 2X123X2(X2-Xi) y 2X2y2 y)=(X2 X13Xi2x2_Xi y2X2(X2-Xi)y2=(2x2 -xi63x 2 (x 26y22y21/2x2-Xi3X2(X2-Xi)上) 22)3即QH =3QG，故Q G H三點(diǎn)共線，且QG GH=i ： 213證明 若

11、厶ABC勺垂心為H,外心為O,如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D,連結(jié)AD, CDAD丄AB , CD丄BC.又垂心為 H, AH丄BC , CH丄AB AH/ CD CH/ AD.四邊形AHC為平行四邊形,AH = DC =DO OC 故 OH =OA AH = OA OB OC .著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置關(guān)系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線”；(2) 三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重 心到垂心的距離是重心到外心距離的 2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問(wèn)題.1 OG =

12、(OA+OB+OC)14證明 按重心定理 G是厶ABC的重心3按垂心定理OH =OA OB OCOGOH由此可得3三角形“四心”與向量結(jié)合總結(jié)1. 0是 ABC 的重心=OA OB 0C = 0；若 0是 ABC 的重心，則 S BOC =SAOC =S AOB 洛(貳富無(wú)二G為：ABC的重心._1S 一一一= 3S ABC 故 OA OB 0C = 0OA ；形)的垂心，2. 0是 AABC 的垂心 u OA OB = OB OC = OC 若 0 是 ABC (非直角S boc : S aoc : S aob - tan A :tan B: tan C故 tan AOA tan BOB t

13、anCOC =0 2 2 23. O是 ABC 的外心二 |OA|=|OB|=|OC|(或OA = OB = OC ) 若O是UBC的夕卜SBoc： SAOC SAOB=sin BOCsin AOCsin AOB=sir2A:sirQB:sir2C故 sin2AOA sin2BOB sin2COC =04. O 是 內(nèi) 心 A B的 充 要 AB AC BA BC CA CBOA (1) =OB ( ) =OC ( )=0|AB | AC|BA|BC|CA|CB|引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記AB,BC,CA的單位向量為ei,e2,e3 , 則剛才 O 是 ABC 內(nèi)心的充要條件可以寫(xiě)成OA (ei * e3)= OB (ei +e2)= OC (e2 * e3)= 0 , O 是也ABC 內(nèi)心的充要條件也可以是aOA bOB cOC