三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式ppt

1、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式ppt第一頁(yè)，共41頁(yè)。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系平方關(guān)系:商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系:1cossin22cossintan),2(Zkk),2(Zkk同一個(gè)角同一個(gè)角 的正弦、余弦的平的正弦、余弦的平方和等于方和等于1，商等于角，商等于角 的正的正切。切。第二頁(yè)，共41頁(yè)。1.3 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 +、- 、 -的誘導(dǎo)的誘導(dǎo)第三頁(yè)，共41頁(yè)。問(wèn)題提出問(wèn)題提出t57301p21.1.任意角任意角的正弦、余弦、正切是怎樣的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？定義的？的終邊的終邊P(xP(x，y)y)O Ox xy ysinycosxtan(

2、0)yxx第四頁(yè)，共41頁(yè)。2. 2k2. 2k（kZkZ）與）與的三角函數(shù)之的三角函數(shù)之間的關(guān)系是什么？間的關(guān)系是什么？公式一：公式一： sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ（ )3.3.你能求你能求sin750sin750和和sin930sin930的值嗎？的值嗎？21？第五頁(yè)，共41頁(yè)。4.4.利用公式一，可將任意角的三角函數(shù)值，利用公式一，可將任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為0 00 03603600 0范圍內(nèi)的三角函數(shù)值范圍內(nèi)的三角函數(shù)值. .其中其中銳角的三角函數(shù)是我們熟悉的，而對(duì)于銳角的三角函數(shù)是我們熟悉的，而對(duì)于90900 03603600 0范圍內(nèi)

3、的三角函數(shù)值，能否轉(zhuǎn)化范圍內(nèi)的三角函數(shù)值，能否轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，這就是我們需要研為銳角的三角函數(shù)值，這就是我們需要研究和解決的問(wèn)題究和解決的問(wèn)題. .第六頁(yè)，共41頁(yè)。第七頁(yè)，共41頁(yè)。的終邊的終邊xy yo o+的終邊的終邊思考：思考：對(duì)于任意給定的一個(gè)角對(duì)于任意給定的一個(gè)角，角，角的終邊與角的終邊與角的終邊有什么關(guān)系？的終邊有什么關(guān)系？第八頁(yè)，共41頁(yè)。思考：思考：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P P（x x，y y），則角），則角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)如何？標(biāo)如何？的終邊的終邊xy yo o+的終邊的終邊P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-

4、x，-y)-y)第九頁(yè)，共41頁(yè)。思考：思考：根據(jù)三角函數(shù)定義，根據(jù)三角函數(shù)定義，sinsin（） 、coscos（）、）、tantan（）的值分別是什么？）的值分別是什么？的終邊的終邊xy yo o+的終邊的終邊P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x，-y)-y)sin(sin()=-y)=-ycos(cos()=-x)=-xtan(tan()=)=yx第十頁(yè)，共41頁(yè)。思考：思考：對(duì)比對(duì)比sinsin，coscos，tantan的值，的值，的三角函數(shù)與的三角函數(shù)與的三角函數(shù)有什的三角函數(shù)有什么關(guān)系？么關(guān)系？ 公式二：公式二： tan)tan(cos)cos(sin)sin(第十一頁(yè)，共41

5、頁(yè)。知識(shí)探究（二）：知識(shí)探究（二）：-，-的誘導(dǎo)公式：的誘導(dǎo)公式： 思考：思考：對(duì)于任意給定的一個(gè)角對(duì)于任意給定的一個(gè)角，的終邊與的終邊與的終邊有什么關(guān)系？的終邊有什么關(guān)系？ y y的終邊的終邊xo o-的終邊的終邊第十二頁(yè)，共41頁(yè)。思考：思考：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn) P P（x x，y y），則），則的終邊與單位圓的交的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)如何？點(diǎn)坐標(biāo)如何？y y的終邊的終邊xo o-的終邊的終邊P(x,y)P(x,y)P(x,-y)P(x,-y)xyxy)tan()cos()sin(第十三頁(yè)，共41頁(yè)。 公式三：公式三： tan)tan(cos)cos(sin

6、)sin(思考：思考：根據(jù)三角函數(shù)定義，根據(jù)三角函數(shù)定義，的三角函的三角函數(shù)與數(shù)與的三角函數(shù)有什么關(guān)系？的三角函數(shù)有什么關(guān)系？y y的終邊的終邊xo o-的終邊的終邊P(x,y)P(x,y)P(x,-y)P(x,-y)第十四頁(yè)，共41頁(yè)。思考：思考：利用利用( ()，結(jié)合公式二、三，結(jié)合公式二、三，你能得到什么結(jié)論？你能得到什么結(jié)論？ 公式四：公式四： tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(第十五頁(yè)，共41頁(yè)。思考：思考：公式一四都叫做誘導(dǎo)公式，他們公式一四都叫做誘導(dǎo)公式，他們分別反映了分

7、別反映了2k2k（kZkZ），），的三角函數(shù)與的三角函數(shù)與的三角函數(shù)之的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你能概括一下這四組公式的共間的關(guān)系，你能概括一下這四組公式的共同特點(diǎn)和規(guī)律嗎？同特點(diǎn)和規(guī)律嗎？ 第十六頁(yè)，共41頁(yè)。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系平方關(guān)系:商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系:1cossin22cossintan),2(Zkk),2(Zkk同一個(gè)角同一個(gè)角 的正弦、余弦的平的正弦、余弦的平方和等于方和等于1，商等于角，商等于角 的正的正切。切。第十七頁(yè)，共41頁(yè)。tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)c

8、os(sin)sin(sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tank 2k2k（kZkZ），），的的三角函數(shù)值，三角函數(shù)值，等于等于的同名函數(shù)值的同名函數(shù)值，再放上，再放上將將當(dāng)作銳角當(dāng)作銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)時(shí)原函數(shù)值的符號(hào). . 第十八頁(yè)，共41頁(yè)。利用誘導(dǎo)公式一四，可以求任意角的利用誘導(dǎo)公式一四，可以求任意角的三角函數(shù)，其基本思路是：三角函數(shù)，其基本思路是：這是一種化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想這是一種化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. .任意負(fù)角的任意負(fù)角的三角函數(shù)三角函數(shù)任意正角的任意正角的三角函數(shù)三角函數(shù)0 022的角的角的三角函數(shù)的三角函數(shù)銳角的三角銳角的三角函數(shù)函數(shù)第十九頁(yè)，共41頁(yè)。t

9、an32cos()3sin()4cos()sin(2)例例3 3已知：已知：，求的值。2cos3sin23tan74cossin4tan tan3解：原式3sin5 tan cos(3)sin(5)例4已知，且是第四象限角，求的值。tan cos(3)sin(5)tan cos()sin()tan( cossin)tansintancossin(tan1)43cos,tan54 2120解：由已知得：， 原式第二十頁(yè)，共41頁(yè)。理論遷移理論遷移例例1 1 求下列各三角函數(shù)的值：求下列各三角函數(shù)的值：cos225) 1 (311sin)2()316sin(-)3()cos(-2040)4(第二十

10、一頁(yè)，共41頁(yè)。31 例例2 2 已知已知cos(cos(x x) ) ，求下列，求下列各式的值：各式的值：（1 1）cos(2cos(2x x) )；（；（2 2）cos(cos(x x).). 例例3 3 化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：（1 1） ；（2 2） .)-cos(-180)180-sian(-)360sin()cos(180tan585)cos(-350)210(sincos190第二十二頁(yè)，共41頁(yè)。2.2.誘導(dǎo)公式一四要靈活應(yīng)用，要點(diǎn)：誘導(dǎo)公式一四要靈活應(yīng)用，要點(diǎn)：負(fù)化正，大化小，化至銳角解決了！負(fù)化正，大化小，化至銳角解決了！小結(jié)小結(jié)1.1.誘導(dǎo)公式都是恒等式，即在等式有意義時(shí)誘導(dǎo)公式都是

11、恒等式，即在等式有意義時(shí)恒成立恒成立. .第二十三頁(yè)，共41頁(yè)。3.3.利用誘導(dǎo)公式一四，可以求任意角利用誘導(dǎo)公式一四，可以求任意角的三角函數(shù)，其基本思路是：的三角函數(shù)，其基本思路是：這是一種化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想這是一種化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. .任意負(fù)角的任意負(fù)角的三角函數(shù)三角函數(shù)任意正角的任意正角的三角函數(shù)三角函數(shù)0 022的角的角的三角函數(shù)的三角函數(shù)銳角的三角銳角的三角函數(shù)函數(shù)第二十四頁(yè)，共41頁(yè)。 作業(yè)：作業(yè)： P27P27練習(xí)：練習(xí)：1 1，2 2，3 3，4.4.第二十五頁(yè)，共41頁(yè)。1.3 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第二課時(shí)第二課時(shí)第二十六頁(yè)，共41頁(yè)。問(wèn)題提出問(wèn)

12、題提出1.1.誘導(dǎo)公式一、二、三、四分別反映了誘導(dǎo)公式一、二、三、四分別反映了2k+2k+（kZkZ）、）、 與與的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這四的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這四組公式的共同特點(diǎn)是什么？組公式的共同特點(diǎn)是什么？cosxcosx函數(shù)函數(shù)同名同名，象限，象限定號(hào)定號(hào). . 第二十七頁(yè)，共41頁(yè)。對(duì)形如對(duì)形如、的角的三角函數(shù)的角的三角函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為可以轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，對(duì)形角的三角函數(shù)，對(duì)形如如 、 的角的三角函數(shù)與的角的三角函數(shù)與角角的三角函數(shù)，是否也存在著某種關(guān)系？的三角函數(shù)，是否也存在著某種關(guān)系？這需要我們作進(jìn)一步的探究！這需要我們作進(jìn)一步的探究！22pa+第二十八頁(yè)，共41頁(yè)。第二十九

13、頁(yè)，共41頁(yè)。思考思考1 1：sinsin（90906060）與）與sin60sin60的值相等嗎？相反嗎？的值相等嗎？相反嗎？思考思考2 2：sinsin（90906060) )與與cos60cos60，coscos（90906060）與）與sin60sin60的值分別的值分別有什么關(guān)系？據(jù)此，你有什么猜想？有什么關(guān)系？據(jù)此，你有什么猜想？2cos)2(sin知識(shí)探究（一）：知識(shí)探究（一）： 的誘導(dǎo)公式的誘導(dǎo)公式 2cos)2(sincos()si n2paa-=第三十頁(yè)，共41頁(yè)。cos)2(sin思考思考3 3：如果如果為銳角，你有什么辦法證為銳角，你有什么辦法證明明 ， ？cos()s

14、i n2paa-=a ab bc c2pa-si n()cos2bcpaa-=cos()si n2acpaa-=第三十一頁(yè)，共41頁(yè)。思考思考5 5：點(diǎn)點(diǎn)P P1 1（x x，y y）關(guān)于直線(xiàn)）關(guān)于直線(xiàn)y=xy=x對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的點(diǎn)P P2 2的坐標(biāo)如何？的坐標(biāo)如何？思考思考4 4：若若為一個(gè)任意給定的角，那么為一個(gè)任意給定的角，那么 的終邊與角的終邊與角的終邊有什么對(duì)稱(chēng)關(guān)的終邊有什么對(duì)稱(chēng)關(guān)系？系？2的終邊的終邊Oxy的終邊的終邊2第三十二頁(yè)，共41頁(yè)。思考思考6 6：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的終邊與單位圓的交點(diǎn)為為P P1 1（x x，y y），則），則 的終邊與單的終邊與單位圓的交點(diǎn)為位

15、圓的交點(diǎn)為P P2 2（y y，x x），根據(jù)三角函），根據(jù)三角函數(shù)的定義，你能獲得哪些結(jié)論？數(shù)的定義，你能獲得哪些結(jié)論？2的終邊的終邊P P1 1(x(x，y)y)Oxy的終邊的終邊2P P2 2(y(y，x)x) 公式五：公式五： sin)2cos(cos)2sin(第三十三頁(yè)，共41頁(yè)。知識(shí)探究（二）：知識(shí)探究（二）： 的誘導(dǎo)公式的誘導(dǎo)公式 2)2(cos)2cos()2(sin)2sin(思考思考2 2： 與與 有什么內(nèi)在聯(lián)系？有什么內(nèi)在聯(lián)系？22cos)2sin(sin)2cos()2(2第三十四頁(yè)，共41頁(yè)。 公式六：公式六： sin)2cos(cos)2sin(第三十五頁(yè)，共41

16、頁(yè)。思考思考6 6：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)互稱(chēng)為異名正弦函數(shù)與余弦函數(shù)互稱(chēng)為異名函數(shù)，你能概括一下公式五、六的共同特函數(shù)，你能概括一下公式五、六的共同特點(diǎn)和規(guī)律嗎？點(diǎn)和規(guī)律嗎？sin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(cos)2sin( 的三角函數(shù)值，的三角函數(shù)值，等于等于的同名的同名函數(shù)值函數(shù)值，再放上，再放上將將當(dāng)作銳角當(dāng)作銳角時(shí)原函數(shù)值時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)的符號(hào). . 2第三十六頁(yè)，共41頁(yè)。思考思考5 5：根據(jù)相關(guān)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)，根據(jù)相關(guān)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)，3si n(),2pa-3cos(),2pa-3si n(),2pa+)23cos(cossincossin第三十七頁(yè)，共41頁(yè)。思考思考7 7：誘導(dǎo)公式可統(tǒng)一為誘導(dǎo)公式可統(tǒng)一為的三角函數(shù)與的三角函數(shù)與的三角函數(shù)之間的關(guān)系，的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你有什么辦法記住這些公式？你有什么辦法記住這些公式？)Zk(2k奇變偶不變，符號(hào)看象限奇變偶不變，符號(hào)看象限.第三十八頁(yè)，共41頁(yè)。理論遷移理論遷移例例1 1 化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：)29)sin(-)sin(-)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2第三十九頁(yè)，共41頁(yè)。 例例2 2 已知已知 ，求，求 的值的值32)6(cos)32(sin 例例3 3 已知已知 ，求，求 的值的值. .31)30(s