三角函數(shù)恒等變換教材分析

1、北師大版必修四“三角函恒等變換”教材分析本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及運用這些公式進行簡單的恒等變換。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上。 通過本章的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力，使學(xué)生體會三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會它們在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。由本章的章頭語所介紹的,三角恒等變換既是解決生產(chǎn)實際問題的工具，又是學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)三角恒等變換是實踐中經(jīng)常使用的工具在力學(xué)、物理、電氣工程、機械制造、圖像處理，及其他科學(xué)研究和工程實踐中經(jīng)常會用到這些公式三角函數(shù)恒等變形的教學(xué)

2、內(nèi)容是在三角函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上的，進一步研究單角的三角函數(shù)之間以及單角的三角函數(shù)與復(fù)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系他包括同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式、半角公式等經(jīng)驗證明通過這一部分知識等教學(xué)，對于培養(yǎng)學(xué)生等運算能力、推理能力和邏輯思維能力起較大作用知識結(jié)構(gòu)簡單的三角恒等變形同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式兩角差的余弦公式和（差）角公式倍角公式一、課程標(biāo)準要求理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，掌握用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；能運

3、用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進一步提高運用轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用二、教學(xué)目標(biāo)三角恒等變換作為三角的一個重要內(nèi)容，它是代數(shù)運算的一個重要組成部分，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用1) 知識與技能2) 以上述課標(biāo)為準進行學(xué)習(xí)3) 過程與方法通過公式的推導(dǎo)，提高學(xué)生恒等變形能力和邏輯推理能力；通過公式的靈活運用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法4) 情感、態(tài)度、價值觀目標(biāo)使學(xué)生體會“聯(lián)想轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論”的數(shù)學(xué)思想；培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、敢于

4、探索、勇于置疑、嚴謹、求實的科學(xué)態(tài)度三、教學(xué)安排本章包含3節(jié)，教學(xué)時間約7課時，具體分配如下(僅供參考)：31同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(約2課時) 32 兩角和與差的三角函數(shù)(約2課時)33 二倍角的正弦、余弦、正切(約2課時)復(fù)習(xí)小結(jié) 約1課時四、教學(xué)重點和難點1、教學(xué)重點本章的重點分別為：同角三角函數(shù)的關(guān)系式；兩角和與差的正弦、余弦公式及其推導(dǎo)；以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式；掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本解題思想和步驟:2、教學(xué)難點本章的難點為三角公式的靈活運用五、內(nèi)容分析三角恒等變換的學(xué)習(xí)以代數(shù)變換與同角三角函數(shù)式的變換的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，和其他數(shù)學(xué)變換一樣，它

5、包括變換的對象，變換的目標(biāo)，以及變換的依據(jù)和方法等要素。本章變換的對象要由只含一個角的三角函數(shù)式拓展為包含兩個角的三角函數(shù)式，因此建立起一套包含兩個角的三角函數(shù)式變換的公式就是本章的首要任務(wù)，也是3.1節(jié)的中心內(nèi)容一.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系a) 教學(xué)目標(biāo):知識與技能:能借助單位圓中的三角函數(shù)線,推出同一個角的正弦、余弦和正切之間的關(guān)系，理解兩個基本關(guān)系式并能簡單應(yīng)用過程與方法培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想情感與態(tài)度通過公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹規(guī)范的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀點.b) 本節(jié)的重點與難點重點:公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.難點:公式在解題中的靈活應(yīng)用和對學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)

6、.c) 本節(jié)流程d) 習(xí)題分析例1. 一題多變，讓學(xué)生發(fā)散思維，進一步理解基本關(guān)系式。以分層次的問題引導(dǎo)學(xué)生的思維層層深入，特別是變式，滲透方程組的思想,使學(xué)生的思維得到升華。例2. 套用公式,加深角的正弦、余弦和正切之間的關(guān)系的理解.例3. )熟悉變形公式的使用,證明的方法思想化繁為簡證明要有方向感目標(biāo)意識二 、兩角和與差的三角函數(shù)2 .1兩角差的余弦函數(shù)a) 教學(xué)目標(biāo)：知識目標(biāo)：通過讓學(xué)生猜想、探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)"兩角差的余弦公式"；了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系；通過變式訓(xùn)練，加深對兩角差的余弦公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力及邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。能

7、力目標(biāo)：運用兩角差的余弦公式，會進行簡單的求值、化簡、證明；體會化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運用；提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。b) 本節(jié)的重點與難點重點:公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.難點:公式在解題中的靈活應(yīng)用和對學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)c) 教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式；能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；能夠運用兩角和的正、余弦公式進行化簡、求值、證明；揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強化學(xué)生的參與意識.2.過程與方法通過創(chuàng)設(shè)情境：通過向量的手段證明兩角差的余弦

8、公式，讓學(xué)生進一步體會向量作為一種有效手段的同時掌握兩角差的余弦函數(shù)，然后通過誘導(dǎo)公式導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3.情感態(tài)度價值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個全新的認識；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.d) 教學(xué)重、難點 重點: 公式的應(yīng)用.難點: 兩角差的余弦公式的推導(dǎo).e) 例題分析例題1的設(shè)計初見給出學(xué)生一種解決問題的無厘頭,在老師的引導(dǎo)下,更加加大學(xué)生的探索,對未知數(shù)據(jù)的分析和觀察動手實踐能力,在一定程度上是對所學(xué)的兩角和與差的正余弦公式的理解和應(yīng)用.例題2的設(shè)計使得知識的理解與應(yīng)用更深一

9、步,在理解掌握了三角函數(shù)值與角度范圍要求的前提下,判斷出所給出正余弦在角度范圍所對應(yīng)的正余弦值,此處要求學(xué)生有對前知識的充分建構(gòu),有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想嚴謹性和靈活性.課后思考交流cos=cos-cos cos=cos+cos以上兩式在學(xué)習(xí)本節(jié)后是容易出現(xiàn)的問題,針對此現(xiàn)象,為加深學(xué)生對兩角和差的余弦公式的理解,讓他們就此問題做深入討論,看在何時以上兩個錯誤公式能夠成立,何時是不成立的,由此深入理解,完全掌握本節(jié)內(nèi)容2.3兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能（1）能夠利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式；（2）能夠運用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明；（3）

10、揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；（4）創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強化學(xué)生的參與意識.2、過程與方法借助兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式，讓學(xué)生進一步體會各個公式之間的聯(lián)系及結(jié)構(gòu)特點；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3、情感態(tài)度價值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個全新的認識；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.、教學(xué)重、難點 重點: 公式的應(yīng)用.難點: 公式的推導(dǎo).、學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：通過通過類比分析、探索、掌握兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程。 (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)

11、用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距。教學(xué)用具:電腦、投影機、例題分析例3 要求學(xué)生熟練掌握公式，正切及恰當(dāng)?shù)氖褂脙山呛团c差的正切公式，從第二個小題可以看出還要求學(xué)生注意兩個角，是有一定的取值范圍的，而并非所有的角都可以使用這個公式。例4要求學(xué)生巧妙的運用公式，將會得到意想不到的效果。如題中所給的1，巧妙的換成了tan45.同時要求學(xué)生具有逆向思維有這樣一種形式的式子我們也可以求一個角的正切值。例5則是在前兩個例題的基礎(chǔ)之上有了對這個公式有了更深一步的了解。較前兩個例題來說難度也加大了。這里把+/4轉(zhuǎn)化成了（+）-（-） 學(xué)習(xí)小結(jié)1必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tana，tanb，ta

12、n(a±b)只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來解；2注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號。三 二倍角的三角函數(shù).1知識目標(biāo)：了解二倍角公式的推導(dǎo)過程并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。二倍角公式在兩角和與差三角函數(shù)一章中占據(jù)著承上啟下的地位：既可以兩角和公式為基礎(chǔ)推出二倍角公式，又能在此基礎(chǔ)上得出版角公式。結(jié)合職教數(shù)學(xué)大綱，加強基礎(chǔ)，突出應(yīng)用，針對中職生源，定為了解推導(dǎo)過程而非理解、掌握，僅使學(xué)生能構(gòu)建公式之間的聯(lián)系。2能力目標(biāo)：正確運用公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。根據(jù)理素質(zhì)教育為基礎(chǔ)，以能力為本位的指導(dǎo)思想，在本節(jié)課中精心

13、配備一些例、習(xí)題，通過分析，引導(dǎo)幫助學(xué)生總結(jié)，提高分析、解決問題司機能力。三角函數(shù)式有三類基本題：化簡、求值、證明，本節(jié)只涉及兩類：化簡、求值。3德育目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)，了解二倍角公式間及它們與和角公式間內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力進行辯證唯物主義觀點教育。作為一名數(shù)學(xué)老師，不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)意識，因此本節(jié)課在教學(xué)中力圖培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和用聯(lián)系的觀點看待事物。二倍角公式是兩角和公式的特殊形式，體現(xiàn)了由一般到特殊的化歸思想；同時二倍角的“倍”是相對于“半”而言的，是相對的，在整個教學(xué)過程中自始至終要貫穿這一辯證思想。（三）、本著新課程標(biāo)準，在

14、吃透教材的基礎(chǔ)上，我確立了如下的教學(xué)重點，難點。重點：二倍角三角函數(shù)公式及公式的應(yīng)用難點：二倍角公式的逆用公式的正用符合學(xué)生認知規(guī)律，學(xué)生往往很容易學(xué)會，而逆用公式實際上是在原公式基礎(chǔ)上的一種逆向思維，學(xué)生不太容易接受，故設(shè)計為難點。這一節(jié)在適當(dāng)?shù)臅r候?qū)θ亲儞Q中的數(shù)學(xué)思想方法作了明確的總結(jié)。例如，在旁白中有“倍是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的，2 是 的二倍  是 的二倍，這里蘊含著換元的思想”等，都是為了加強思想方法而設(shè)置的。例題分析例2的旁邊有這樣一個注意：通過開平方求三角函數(shù)值時，一定要根據(jù)角所在的象限，確定三角函數(shù)值的符號。這樣我們就能很方便的判斷出正弦和正切的正負號了。例3則是在具體的圖形中運用公式，做此類題是要把圖畫出來更方便同學(xué)解題。例5 相當(dāng)于半角公式，它是以例題的形式給出，這里強調(diào)根號前得符號由/2所在象限相應(yīng)的三角函數(shù)值得符號來確定，如果/2所在象限無法確定，則應(yīng)保留根號前面的正、負兩個符號。例6則是對半角公式的一個應(yīng)用，這樣有