空間向量與立體幾何

1、空間向量和立體幾何1幾種空間向量之間的區(qū)別與聯(lián)系(1)a與其相反向量a為共線向量(平行向量)(2)相等向量為共線向量(平行向量)，但共線向量(平行向量)不一定為相等向量(3)若兩個(gè)非零向量共線，則這兩個(gè)向量所在的直線可能平行，也可能重合，空間中任意兩個(gè)向量都是共面的，這些概念一定要準(zhǔn)確理解2向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算的不同點(diǎn)(1)a·b0 a0或b0.(2)a·ca·b cb.(3)(a·b)c a·(b·c)(4)a·bk a.3向量共線充要條件及注意點(diǎn)(1)對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)

2、，使ab.(2)注意點(diǎn)：l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使ta.(3)坐標(biāo)表示下的向量平行條件設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則aba1b1，a2b2，a3b3(R)，這一形式不能等價(jià)于，只有在向量b與三個(gè)坐標(biāo)軸都不平行時(shí)才可以這樣寫(xiě)4向量共面充要條件及注意點(diǎn)(1)若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使pxayb.(2)注意點(diǎn)：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使xy；空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，滿足向量關(guān)系式

3、xyz(其中xyz1)，則點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面5.用向量法解決立體幾何問(wèn)題的步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；(3)進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)算；(4)寫(xiě)出幾何意義下的結(jié)論6利用向量法求空間角的注意事項(xiàng)(1)利用向量法求空間角時(shí)，要注意空間角的取值范圍與向量夾角取值范圍的區(qū)別例如，若ABC的內(nèi)角BAC，則與夾角為，而非.(2)特別地，二面角的大小等于其法向量的夾角或其補(bǔ)角，到底等于哪一個(gè)，要根據(jù)題目的具體情況看二面角的大小(3)對(duì)所用的公式要熟練，變形時(shí)運(yùn)用公式要正確并注意符號(hào)等細(xì)節(jié)，避免出錯(cuò)專題一空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算的知識(shí)與方法與平面向量及其運(yùn)算類似

4、，是平面向量的拓展，主要考查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運(yùn)算，是用向量法求解立體幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)典例已知正方體ABCD­A1B1C1D1中，若xy()，則x_，y_解析：由題知()，從而有x1，y. 變式訓(xùn)練已知a(2，3，5)，b(3，1，4)(1)若c(m，2，n)且ac，求c；(2)若p(1，x，y)且ap，bp，求p.解：(1)因?yàn)閍c，所以設(shè)ca. 所以(m，2，n)(2，3，5)，所以m，n，所以c.(2)因?yàn)閍p，bp，所以a·p0，b·p0，所以解得所以p(1，1，1). 空間向量與空間位置關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別

5、為u，v，則(1)線線平行：lmabakb，kR；(2)線面平行(l)： laua·u0；(3)面面平行：uvukv，kR；(4)線線垂直：lmaba·b0；(5)線面垂直：lauaku，kR；(6)面面垂直：uvu·v0.典例如圖，在多面體ABC­A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1BC，二面角A1­AB­C是直二面角求證：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C. 證明：因?yàn)槎娼茿1­AB­C是直二面角，所以平面A1ABB1平面ABC.又因?yàn)锳BAC，BCAB

6、，所以CAB90°，即CAAB.所以AB，AC，AA1兩兩互相垂直 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB2，則A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C (2，0，0)，C1(1，1，2)(1) (0，2，0)，(0，0，2)，(2，0，0)，設(shè)平面AA1C的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則即即取y1，則n(0，1，0)所以2n，即n. 所以A1B1平面AA1C.(2)易知(0，2，2)，(1，1，0)，(2，0，2)，設(shè)平面A1C1C的一個(gè)法向量m(x1，y1，z1)，則 即令x11，則y11，z11，即m(1，1，1)所以·m0×12×

7、;(1)2×10，所以m.又AB1平面A1C1C，所以AB1平面A1C1C. 變式訓(xùn)練如圖所示，已知PA平面ABCD，ABCD為矩形，PAAD，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)求證： (1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC.證明：(1)如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.設(shè)PAADa，ABb，則有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)因?yàn)镸，N分別為AB，PC中點(diǎn)，所以M，N.所以.法一：(0，0，a)，(0，a，0)，所以.又因?yàn)镸N平面PAD，所以MN

8、平面PAD.法二：易知為平面PAD的一個(gè)法向量(b，0，0)，所以·0，所以，又MN平面PAD，所以MN平面PAD.(2)由(1)可知：P(0，0，a)，C(b，a，0)，M，D(0，a，0)所以(b，a，a)，(0，a，a)設(shè)平面PMC的一個(gè)法向量為n1(x1，y1，z1)，則，所以，令z1b，則n1(2a，b，b)設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n2(x2，y2，z2)，則，所以令z21，則n2(0，1，1)，因?yàn)閚1·n20bb0，所以n1n2. 所以平面PMC平面PDC. 空間向量與空間角幾何法求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角時(shí)，都需要先作出(或證出)所求空

9、間角的平面角費(fèi)時(shí)費(fèi)力，難度很大而利用向量法，只需求出直線的方向向量與平面的法向量，即可求解，體現(xiàn)了向量法極大的優(yōu)越性(1)若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所成的角為，則cos |cos v1，v2|.(2)利用空間向量求直線與平面所成的角，可以有兩種方法：一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影所在直線的方向向量，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，則其余角就是斜線和平面所成的角(3)利用空間向量求二面角也可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)

10、向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大??；二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)利用空間向量求二面角時(shí)，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角典例如圖，在四棱錐A­EFCB中，AEF為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60°，O為EF的中點(diǎn)(1)求證：AOBE；(2)求二面角F­AE­B的余弦值；(3)若BE平面AOC，求a的值 (1)證明：因?yàn)锳EF是等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，所以AOEF.又因?yàn)槠矫鍭EF平面EFCB，AO平面AEF

11、，所以AO平面EFCB.所以AOBE.(2)取BC中點(diǎn)G，連接OG.由題設(shè)知EFCB是等腰梯形，所以O(shè)GEF.由(1)知AO平面EFCB，又OG平面EFCB，所以O(shè)AOG.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz，則E(a，0，0)，A(0，0，a)，B(2，(2a)，0)，(a，0，a)，(a2，(a2)，0)設(shè)平面AEB的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，則x，y1.于是n(，1，1)平面AEF的法向量為p(0，1，0)所以cosn，p.由題設(shè)知二面角F­AE­B為鈍角，所以它的余弦值為.(3)因?yàn)锽E平面AOC，所以BEOC，即·0.因?yàn)?a2，(a2

12、)，0)，(2，(2a)，0)，所以·2(a2)3(a2)2.由·0及0<a<2，解得a.變式訓(xùn)練如圖，在三棱錐P­ABC中，APB90°，PAB60°，ABBCCA，平面PAB平面ABC.(1)求直線PC與平面ABC所成角的正弦值；(2)求二面角B­AP­C的余弦值 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接CD，作POAB于點(diǎn)O.因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，所以PO平面ABC.所以POCD.由ABBCCA，知CDAB. 設(shè)E為AC中點(diǎn)，連接OE，則EOCD，從而OEPO，OEAB.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)

13、，OB，OE，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)PA2，由已知得AB4，OAOD1，OP，CD2.所以O(shè)(0，0，0)，A(1，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，)(1)(1，2，)，且(0，0，)為平面ABC的一個(gè)法向量設(shè)為直線PC與平面ABC所成的角，則sin .所以直線PC與平面ABC所成角的正弦值為.(2)易得(1，0，)，(2，2，0)設(shè)平面APC的法向量為n(x1，y1，z1)，則即取z11，可得n(，1，1)設(shè)二面角B­AP­C的平面角為，易知為銳角因?yàn)槠矫鍼AB的一個(gè)法向量為m(0，1，0)，所以cos .所以二面角B

14、3;AP­C的余弦值為. 空間向量與探索性問(wèn)題解決存在性問(wèn)題的基本策略是：通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在典例如圖，在三棱錐P­ABC中，ABAC，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)證明：APBC；(2)在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A­MC­B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 (1)證明：如圖

15、，以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OP為z軸正半軸，OD為y軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.則O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)，(0，3，4)，(8，0，0)，由此可得·0，所以，即APBC.(2)解：設(shè)，1，則(0，3，4)，(4，2，4)(0，3，4)(4，23，44)，(4，5，0)，(8，0，0)設(shè)平面BMC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)由得即可取n1.由即得可取n2(5，4，3)由n1·n20，得43·0，解得.又|5，故AM3.綜上所述，存在點(diǎn)M，

16、且AM3，使得二面角A­MC­B為直二面角變式訓(xùn)練如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60°，Q為AD的中點(diǎn)(1)若PAPD，求證：平面PQB平面PAD；(2)點(diǎn)M在線段PC上，試確定t的值，使PA平面MQB；(3)在(2)的條件下，若平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，求二面角M­BQ­C的大小 (1)證明：連接BD，因?yàn)锳DAB，BAD60°，所以ABD為正三角形因?yàn)镼為AD的中點(diǎn)，所以ADBQ.因?yàn)镻APD，Q為AD的中點(diǎn)，所以ADPQ.又BQPQQ，所以AD平面PQB.因?yàn)锳D平面PAD，所以平面PQB平面PAD.(2)解：連接AC，交BQ于N.由AQBC，可得ANQ CNB，所以.因?yàn)镻A平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQ