三角恒等變換復(fù)習(xí)導(dǎo)引

1、三角恒等變換常用的數(shù)學(xué)方法技巧 1.角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對(duì)角的變形 。     2.函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄?，變異名為同名。 3.常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，如常數(shù)"1"的代換。 4.冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較

2、高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪。 5.公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。  三角恒等變換復(fù)習(xí)導(dǎo)引山東 張玉寶本專題內(nèi)容主要包括兩角和、差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式及和差化積、積化和差等，它不僅是解決三角恒等變換問題的基礎(chǔ)，也是研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的工具，同時(shí)也是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，從近年高考的考查方向來看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，分值約占5%,如2007年山東卷的第5題，海南、寧夏卷的第9題等，都是對(duì)三角恒等變換的考查，因此能否掌握好本部

3、分的重點(diǎn)內(nèi)容，在一定的程度上制約著在高考中成功與否,對(duì)于本專題的復(fù)習(xí)過程中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：三角恒等變換的技巧與與策略（1）公式的變形及應(yīng)用運(yùn)用三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn)。（iii）對(duì)公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如:，。例1、求=_分析:將公式 變形為:即可得出答案,故原式等于（2）角的變換解決三角變換問題應(yīng)認(rèn)真分析已

4、知式中角與未知式中角的關(guān)系,再確定如何利用已知條件,采用哪些公式,避免盲目處理相關(guān)角的三角函數(shù)式,以免造成不必要的麻煩,要整體地把握公式,認(rèn)真考慮角的整體運(yùn)用,這往往要用到常見角的變換,即拼角與拆角，常見的變換如下:如，等。例2、已知,其中,求的值分析:已知角,與所求角的關(guān)系是,要求,即求解: =（3）函數(shù)名的變換對(duì)于函數(shù)名的變換主要是用誘導(dǎo)公式六“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”即：就可實(shí)現(xiàn)函數(shù)名的改變，同時(shí)還要同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，也是常用的三角變換。（4）常數(shù)“1”的變換及輔助角的引入（i）熟悉常數(shù)“1”的各種三角代換，常用的有=；，。 (ii)三角函數(shù)式asinx+bcosx是基

5、本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角，將它化為（?。┦浅Ｓ米冃问侄?。特別是與特殊角有關(guān)的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟練掌握這兩個(gè)變換技巧，在解題中將起到事半公倍的效果，同時(shí)還要熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。例3、化簡，（，2）分析：湊根號(hào)下為完全平方式，化無理式為有理式 原式= （，2） 當(dāng)時(shí)， 原式=當(dāng)時(shí)， 原式= 原式=三角恒等變換題型剖析（1）三角函數(shù)中的求值問題三角函數(shù)的求值就是利用題中的已知條件，正確、合理地應(yīng)用三角恒等變形公式，也即同角關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和差、倍角公式等三角函數(shù)公式，把角變化為特殊角，或三角函數(shù)化為

6、同名、同角三角函數(shù)進(jìn)行合并與化簡，最后求出三角函數(shù)（式）的值。掌握幾種主要題形的思路與方法：給角求值、給值求值、給值求角等。知角求值問題是三角變換中的難點(diǎn)之一，常見問題中角多為非特殊角，那么要解決這類問題，首先認(rèn)真觀察角的特點(diǎn)；其次從函數(shù)名的角度去思考，如切化弦，化同名等手段也是解決問題的途徑；第三，看其結(jié)構(gòu)符合不符合我們學(xué)過的公式或公式變形。給值求值也就是條件求值問題，即由給出的一些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)，關(guān)鍵在于“變角”使“目標(biāo)角”變換成“已知角”，若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分情況討論，應(yīng)注意公式的正用、逆用，變形運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要注意拆角、拼角等技巧的運(yùn)用。給值求

7、角實(shí)質(zhì)也是轉(zhuǎn)化為“”給值求值“關(guān)鍵也是變角，反所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合角的范圍求得角。（2）三角函數(shù)中的化簡化簡是三角函數(shù)式求值與證明的基礎(chǔ)，即通過一系列的恒等變形變異為同，化繁為簡，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的，原則是形式簡單，函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值，化簡過程要注意角的范圍，難點(diǎn)在于眾多的三角公式的靈活運(yùn)用和解題突破口的合理選擇，認(rèn)真分析所化簡式子的整體結(jié)構(gòu)，分析各個(gè)三角函數(shù)及角的相互關(guān)系是靈活運(yùn)用公式的基礎(chǔ)，是恰當(dāng)尋找解題思維起點(diǎn)的關(guān)鍵所在。（3）三角恒等式的證明三角恒等式的證明的思路是利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化

8、為同一形式，常用的方法是：（i）從等式一邊推出另一邊；（ii）證明等式都等于同一個(gè)式（或值）也就是兩邊夾法則；（iii）比差法，即證明等式左、右兩邊之差為零。（iv）運(yùn)用綜合法、分析法證明。命題趨勢及解答三角高考題的策略三角函數(shù)中的三角恒等變換涉及到的公式較多，表現(xiàn)形式靈活，所以它是高考中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能考查的重要內(nèi)容，從近幾年的高考新教材試題中，特別是07年各地實(shí)行新課標(biāo)的地區(qū)來看，該部分內(nèi)容不會(huì)出高難度題，而是以中檔題為主，因此高考中的三角試題必須做到不失分，特別注意新課標(biāo)對(duì)三角函數(shù)模型提高了要求，目的在于提高實(shí)踐能力，在08年高考試題中極有可能在這方面有所體現(xiàn)。解答本部分題目時(shí)的策略：（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化?？傊白儭笔潜竟?jié)的主線，變換主要體現(xiàn)在角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換以及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的變換等比比皆是，在強(qiáng)化訓(xùn)練中，應(yīng)加強(qiáng)變換意識(shí)，掌握最基本的變換技巧，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，