網(wǎng)購問題中的購買頻數(shù)和產(chǎn)品關(guān)聯(lián)度以及促銷方案分析 數(shù)學(xué)建模參考模板

1、網(wǎng)絡(luò)購物分析【摘要】 本題是對網(wǎng)購問題的分析，由于商場旨在追求利益的最大化，因此對商品聚類分析、找出利益最高的組合，為商家呈現(xiàn)出最好的營銷方式，是本題主旨。同時由于本題數(shù)據(jù)繁雜龐多，其結(jié)果也與數(shù)據(jù)有著直觀和密切的聯(lián)系，所以對于數(shù)據(jù)的處理極其準(zhǔn)確程度也顯得尤為重要。（本題所給數(shù)據(jù)皆真實有效）。 對于問題一，求其商品之間的關(guān)聯(lián)程度，即指如果買一副鏡框,一般情況下也要買一副鏡片，此時可認(rèn)為鏡片和鏡框的關(guān)聯(lián)度很高。故解決此問題可以運用聚類的方法和概率論知識相結(jié)合的辦法，建立相應(yīng)的模型，找出關(guān)聯(lián)度很高的組合，即為所求的的結(jié)果。 對于問題二，利用窮舉法以及第一問的模型，便可以找出同時被頻繁購買的商品的組合

2、，便可以據(jù)此進行第三問的求解，所以第二問是一個承接的作用。對于問題三，在問題二的基礎(chǔ)上得出促銷方案。故需知道各種組合的利益，運用最優(yōu)解法，結(jié)合購買的次數(shù)最多以及商品的價格較高兩個因素，找出各種組合中的利益最大的組合，促銷在此基礎(chǔ)上進行。例如：在最大利益的組合中，有一利益最小的商品，則可以對此商品進行打折，以此達(dá)到薄利多銷的營銷策略。經(jīng)過市場調(diào)查，可以得到使其利潤最大的打折率f(i),，那么f(i)便是我們的促銷打折率，以此便可制定促銷方案。與此，也可運用其他的策略。問題一，問題二結(jié)果如下表所示：問題一結(jié)果：組合商品編號數(shù)目關(guān)聯(lián)度V368 6822860.07732872V368 5293290

3、.076986159V956 538 4131200.005608505V368 937 829 413720.00003998 問題二結(jié)果：組合商品編號數(shù)目V368 529329V368 829307 V368 489 682122V368 937 829 413721 / 17問題三結(jié)果：一種商品： 最高獲利382255.74元， 商品編號為368。二種商品組合：最高獲利189487.55元， 商品編號為（368 529）。三種商品組合：最高獲利76468元， 商品編號為（V368 829 529）。四種商品組合： 最高獲利737.6688元， 商品編號為（V489 438 956 722

4、）?！娟P(guān)鍵詞】0,1變量，關(guān)聯(lián)度，聚類分析，窮舉法，最優(yōu)解法，促銷，spss軟件，matlab軟件。一、問題重述網(wǎng)店老板經(jīng)常關(guān)心的問題是顧客的購物習(xí)慣，即什么商品組或集合顧客會在一次購物時同時購買。 他們可以把這些“同類商品”相互關(guān)聯(lián)在網(wǎng)頁內(nèi)，以便于顧客瀏覽商品，引導(dǎo)顧客消費，進而增加銷量。已知某購物網(wǎng)站一段時期所有顧客購買物品的清單和相應(yīng)商品的利潤，需要我們給網(wǎng)店老板一個合理的顧客購物習(xí)慣分析報告，并提供一個促銷計劃的初步方案。 問題1 試建立一種數(shù)學(xué)模型，該模型能定量表達(dá)網(wǎng)站中多種商品間的關(guān)聯(lián)關(guān)系的密切程度。數(shù)據(jù)見附件1. 問題2 根據(jù)在問題1中建立的模型，分析出哪些商品是最頻繁被同時購買

5、的，并且找到的最頻繁被同時購買的商品數(shù)量越多越好。例如：如果商品 1、商品 2、商品 3，商品 4 在 4625 個購物記錄中同時出現(xiàn)了 200 次，則可以認(rèn)為這三個商品同時頻繁出現(xiàn)了 200 次，商品數(shù)量是4。 問題3 附件 2 給出了這 999 中商品的對應(yīng)的利潤，根據(jù)在問題1、問題2中建立的模型，給出一種初步的促銷方案，使購物網(wǎng)站的效益進一步增大。二、問題分析本題旨在為商家做出商品分析報告，提出合理的建議，達(dá)到利益最大化的目標(biāo)。由于本題問題層層遞進，而且數(shù)據(jù)量龐大，問題所問與初始數(shù)據(jù)密切相關(guān)，故數(shù)據(jù)的處理顯得至關(guān)重要。對此，將matlab與spss，excel等軟件相結(jié)合，便可對原始數(shù)據(jù)

6、進行處理以得到更為直觀的數(shù)據(jù)。問題一運用聚類分析和概率相結(jié)合的辦法?，F(xiàn)將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為0,1變量，所謂0,1變量，即指把商品編號和人數(shù)組成二維表，若某人買了某編號的商品，則在此對應(yīng)的位置標(biāo)1，反之為0。這樣便得到利于計算和直觀反映的數(shù)據(jù)。此過程由spss和matlab進行，具體詳見模型解答過程。在0,1變量的基礎(chǔ)上，對商品進行各種組合，若某人買了一種組合中的全部商品，即對應(yīng)的0,1變量皆為1，則重新標(biāo)記為1，反之則為0。以之求和，便可得到購買數(shù)量最多的組合，再用其模型求得其關(guān)聯(lián)度。問題二在問題一的基礎(chǔ)上求解，利用窮舉法和問題一中的結(jié)果，可將頻繁購買的組合求出來。問題三利用最優(yōu)解法，把各種組合中

7、的最大利益求出來，在其組合中找出利益最小的商品，則此種商品為需要打折促銷的商品，再根據(jù)f(i)決定促銷策略。同時也根據(jù)問題二的結(jié)果，列出需要放在一起進行廣告的商品組合數(shù)，至此則此題已完全解決。三、模型假設(shè)1. 對于問題三中，各個商品利潤保持不變。2. 表格中的數(shù)據(jù)能真實反映當(dāng)?shù)叵M者購物情況。3. 短時期內(nèi)商品銷售不會變化，即種類數(shù)目不會有太大的變化。4. 關(guān)于商品的關(guān)聯(lián)度，如果買一種商品的同時買另一種商品，則就說明它們有關(guān)聯(lián)度，如眼鏡框和鏡片，排除無意間同時購買的因素，如面包和衣服等，故此題中的同時購買即認(rèn)為全為有關(guān)系的，即是有關(guān)聯(lián)度的。5. 題中的打折率f(i)可以從現(xiàn)實中得到，以至于促銷

8、策略可以實行。6. 不存在打破這種商品購買格局的因素。7. 商場是追求利潤的最大化，由于數(shù)據(jù)眾多，故提取單筆購買數(shù)量從大到小排列的5%作為數(shù)據(jù)樣本。對實際結(jié)果分析沒多大的影響。四、符號說明Ni 表示i商品購買的頻率； Nj 表示j商品購買的頻率；表示k商品購買的頻率；表示l商品購買的頻率； 表示i和j商品同時購買的頻率；表示打折后i和j商品同時購買的頻率；表示i，j，k商品同時購買的頻率；表示i，j，k，l商品同時購買的頻率；表示i，j商品的關(guān)聯(lián)度；表示i，j，k商品的關(guān)聯(lián)度；表示i，j，k，l商品的關(guān)聯(lián)度； T表示商品的總利潤； m表示購買的人數(shù)； n表示商品的數(shù)目； 表示購買商品i的利潤；

9、 d(i,j)表示第i人是否購買了第j種商品，用0,1表示買與不買，d為0,1的矩陣； f(i)表示打折率；Z表示促銷前銷售量；Z表示促銷后的銷售量。五、模型的建立對于此題的模型，為求其關(guān)聯(lián)度，我們運用概率方面的知識：P(A/B)=P(AB)/P(B)P(B/A)=P(AB)/P(A)則有：P(A/B) *P(B/A)= P(AB)/P(B)* P(AB)/P(A)；故此聯(lián)系上面的公式，我們可以得到以下模型：其中：Ni 表示i商品購買的頻率；Nj 表示j商品購買的頻率；表示i和j商品同時購買的頻率；表示i，j商品的關(guān)聯(lián)度。這樣便是兩個商品的模型。三個商品和四個商品等的以此類推：對于第二題的模型

10、，則在第一題基礎(chǔ)上，求出，中最大的幾組，便是可以得到結(jié)果。第三題模型：在第二組求出的最大的，中，求其組合中的最大利益：T1= Ni*；T2=*（+）；T3=*（+）；T4=*（+）； 其中T1，T2，T3，T4分別為一個商品，兩個商品組合，三個商品組合，四個商品組合的最大利潤。 在促銷過程中，設(shè)商品i在組合中利潤最小，則對其打折，打折率為f(i),打折前銷售量為Z，打折后銷售量為Z，購買i，j的人數(shù)為，則其利潤為：T=*（+* f(i)）則多獲益：t=*（+* f(i)）*（+）這樣以此類推，三種組合，四種組合皆為如此。六、模型求解 問題一：首先將消費記錄數(shù)據(jù)用spss進行整理，然后用matl

11、ab求其0,1矩陣，其程序如附錄中程序一。d(i,j)=1 第i人買了第j種商品0 第i人沒買第j種商品然后求和，求得各種商品的購買量，根據(jù)假設(shè)取其前50種，結(jié)果如下：（V368表示商品編號，第二列數(shù)字為購買量）V368 1314V8291079V5291070V510944V419927V217909V489868V438833V956824V914809V766807V682805V692802V937781V205768V722744V720741V883730V145676V362676V895669V897667V283660V8658V177647V480641V752636V96

12、6635V470633V71632V541622V204621V140620V12616V538616V775614V890611V120609V413607V450607V354606V676595V55592V694586V401581V597568V72553V236552V110549V161548然后對這五十種商品進行處理，任意進行組合，例如，對于i和j號商品，若某人同時買了，則記為1，反之為0。然后對4625名顧客求和，得到i和j商品共同購買的數(shù)目，再用公式，此過程用matlab做，其程序如附件中的程序2，取其前最高關(guān)聯(lián)度的十組，得到結(jié)果如下：組合商品編號數(shù)目關(guān)聯(lián)度V368 682

13、2860.07732872V368 5293290.076986159V529 6922510.07341576V368 4892890.073228577V368 829307 0.066475244V368 2172800.065638223V368 937258 0.0648624V829 6922360.064361802V529 4382370.063018478V368 7202460.062152219對于三種商品的組合，類似兩種組合的處理辦法，使用公式，利用matlab，其程序見附件程序3。取其前最高關(guān)聯(lián)度的四組，得到如下結(jié)果：組合商品編號數(shù)目關(guān)聯(lián)度V956 538 41312

14、00.005608505V368 489 6821220.001977737V368 529 2171010.00080616V368 829 5291000.000659173對于四種商品的組合，類似三種組合的處理辦法，使用公式，利用matlab，其程序見附件程序4。取其前最高關(guān)聯(lián)度的二組，得到如下結(jié)果：組合商品編號數(shù)目關(guān)聯(lián)度V368 937 829 413720.00003998 V489 438 956 722470.00001101 問題二：根據(jù)問題一得到的中間結(jié)果，得到組合為兩種，三種，四種的最高銷售量的組合，其銷售量和商品編號如下：1兩種組合：組合商品編號數(shù)目利潤V368 5293

15、29189487.55V368 829307 147249.48V368 48928985578.3332V368 68228690164.074V368 21728082913.264V368 41926683858.894V368 937258 76398.6504V368 510256100071.4242三種組合：組合商品編號數(shù)目利潤V368 489 68212239097.0716V956 538 41312057274.68V368 529 21710158697.0388V368 829 529100764683四種組合：組合商品編號數(shù)目利潤V368 937 829 413726

16、73.5788V489 438 956 72247737.6688問題三：在第二組求出的較大的，中，求其組合中的最大利益：T1= Ni*；T2=*（+）；T3=*（+）；T4=*（+）；得到結(jié)果如下：MaxT1=382255.74，說明368號商品獲利最高。MaxT2=189487.55，說明其組合為368號商品和529號商品在兩種商品的組合中獲利最高；MaxT3=76468，說明其組合為368號商品和829號商品以及529號商品在三種商品的組合中獲利最高；MaxT4=737.6688， 說明其組合為489號商品和438商品和956 號商品以及722號商品在四種商品的組合中獲利最高。在促銷中盈

17、利如下：兩種組合：其中529號商品盈利少，對其打折，設(shè)打折率為f(529)，打折后同時購買此兩種商品的數(shù)量增加u1，則獲利T=(368+u1)*（290.91+285.04*f(529)）較促銷之前多獲利：t=(368+u1)*（290.91+285.04*f(529)）- 189487.55三種組合：其中829號商品盈利少，對其打折，設(shè)打折率為f(829),打折后同時購買此三種商品的數(shù)量增加u2，則獲利T=(100+u2)*290.91+188.73*f(829)+285.04較促銷之前多獲利：t=(100+u2)*290.91+188.73*f(829)+285.04-76468四種組合：

18、其中489號 商品盈利少，對其打折，設(shè)打折率為f(489)，打折后同時購買此四種商品的數(shù)量增加u3，則獲利T=(47+u3)*（5.2088*f(489)+274.78+264.21+193.47）較促銷之前多獲利：t=(47+u3)*（5.2088*f(489)+274.78+264.21+193.47）-737.6688同時還有其他如下的促銷策略：把組合（368 529），（368 829），（368 489），（368 682），（368 217），（368 419），（368 937），（368 510），（368 489 682），（956 538 413)，（368 529 217

19、），（368 829 529），（368 937 829 413），（489 438 956 722)等組合中的商品在網(wǎng)站上置于同一板塊，便于吸引消費者的眼球，出于消費者省錢以及圖方便的心理，便可以增加商品的出售額，獲取更多的利益。七模型評價（一）.優(yōu)點：1、本題研究了網(wǎng)購情況，首先對于問題的較為龐雜的數(shù)據(jù)用matlab和spss等程序做了處理，使數(shù)據(jù)更為直觀明了，同時有利于計算。2、在具體題目中運用了聚類分析的方法，使結(jié)果更為直觀，形式更為簡明，由于本題討論市場商業(yè)問題，故此與商業(yè)方面報告的結(jié)論易讀化相吻合。3、本題還運用了最優(yōu)解法，使結(jié)論更具說服力，模型更加詳細(xì)。（二）.缺點：1、由于數(shù)據(jù)

20、量的龐大，本題取其前五十種商品，對結(jié)論有一定的影響，但是影響不大，一般情況下可以忽略不計。2、本題也采用了窮舉法，由于窮舉法的局限性，不能得到最好的效果，但由于此題數(shù)據(jù)的特殊性，對結(jié)果影響不大，也可以忽略不計。3、采用聚類分析時，在樣本量較大時，要獲得聚類結(jié)論有一定的困難在樣本量較大時。八、模型的推廣 本題是關(guān)于網(wǎng)購問題的分析，現(xiàn)代社會，經(jīng)濟日益發(fā)展，商品經(jīng)濟逐漸成為主流，電子商務(wù)更是重中之重，同時大型超市也將逐步替代小型商店，本題中的模型，既適用于電子商務(wù)方面，也適用與大型超市，也即“購物籃”問題。故此只要有商品經(jīng)濟存在的地方，本模型就會使用，并且有一定的效益。所以本模型的使用范圍也會越來越

21、廣。當(dāng)然，也不局限于商品經(jīng)濟中，但凡用到聚類的地方，就有本模型存在的價值。參考文獻(xiàn)1姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011年；2韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京市：高等教育出版社 ，2009年；3卓金武，MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，北京市：北京航空航天大學(xué)出版社，2011年；4赫孝良，數(shù)學(xué)建模實驗，西南交通大學(xué)出版社，1999.10；5雷功炎，中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，高等教育出版社，2001.12.附錄：程序一：b=zeros(4625,999);c=zeros(1,999);for i=1:4625 for j=1:72 l=a(i,j); if l>0 if l<1000 b(i,l)=1; c(1,l)=c(1,l)+b(i,l); end end enden